河北省邯郸市大名一中、磁县一中,邯山区一中等六校2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题

河北省邯郸市大名一中、磁县一中，邯山区一中，永年一中等六校2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）
(i为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点位于()
1.复数z=i
1+i
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.下列结论错误的是()
A. 圆柱的每个轴截面都是全等矩形
B. 一个棱锥至少有四个面
C. 一个棱柱至少有两个面平行
D. 用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台
3.在▵ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，它的面积为b2+c2−a2
，则角A=()
4
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
4.已知向量a⃗=(1,√3)，a⃗+b⃗ =(0,√3)，设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则θ=()
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
5.如图，用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形，其直观图是一个底角为45°，腰长为√2，上底为
1的等腰梯形，那么原平面图形的最长边长为()
A. 2√2
B. 2√3
C. 2
D. 3
6.如图，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续
沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东
75°处，且与它相距4√2海里，则此船的航行速度是()
A. 16海里/小时
B. 15海里/小时
C. 9√3海里/小时
D. 10√2海里/小时
7.已知圆台的上底面面积是下底面面积的1
倍，母线长为4，若圆台的侧面积为16π，则圆台的高为()
9
A. 2
B. 2√3
C. 5
D. 2√2
8. 在▵ABC 中，已知点P 在线段BC 上，点Q 是AC 的中点，AP
⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，x >0，y >0，则1x +1y 的最小值为( ) A. 32 B. 32+√2 C. 4 D. 3+2√2 二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 已知z 1与z 2是共轭虚数，以下4个命题一定正确的是( )
A. z 1z 2=|z 1z 2|
B. z 12<|z 2|2
C. z 1+z 2∈R
D. z 1
z 2∈R 10. 在△ABC 中，角A 、B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a +b):(a +c):(b +c)=9:10:11，则下列结
论正确的是( )
A. sin A:sin B:sin C =4:5:6
B. △ABC 的最小内角是最大内角的一半
C. △ABC 是钝角三角形
D. 若c =6，则△ABC 的外接圆直径为8√
77
11. 已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M ，N ，若线段MN 的最大值为√3+1，则( )
A. 正方体的外接球的表面积为12π
B. 正方体的内切球的体积为16π3
C. 正方体的棱长为2
D. 线段MN 的最小值为√3−1
12. 若O 为坐标原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,m)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4n
,p)，F(4,0)，|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=m +1，|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=p +1，则m +p 的取值可能是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知复数z 满足，则|z|= ．
14. 已知单位向量a ⃗ ，向量b ⃗ =(√3,−√2)，且|a ⃗ −b ⃗ |=2，则a ⃗ ⋅b ⃗ = ．
15. 在平行四边形ABCD 中，AB =2BC =2，M 是CD 中点．若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3，则∠BAD = ．
16. 在▵ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，π3<C <π2，b a−b =sin2C
sinA−sin2C ，a =2，sinB =√154，则b = ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知复数z =m (m −2)+mi (m ∈R )是纯虚数．
(1)求实数m 的值；
(2)若复数ω满足|ω|=|z |，ω+ω=2，求复数ω．
18. 已知平面内三个向量a ⃗ =(7,5)，b ⃗ =(−3,4)，c
⃗ =(1,2)． (1)求|a ⃗ +2b ⃗ −3c ⃗ |；
(2)求满足a ⃗ =m b ⃗ +n c ⃗ 的实数m ，n ；
(3)若(k a ⃗ +c ⃗ )//(b ⃗ −c ⃗ )，求实数k ．
19. 在▵ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b a +a b =sin 2
C+sinAsinB sinAsinB ． (1)求角C 的大小；
(2)已知▵ABC 的面积为√3，求CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB
⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．
20.已知在底面半径为3、母线长为5的圆锥中内接一个高为2的圆柱．
(1)求圆柱的体积；
(2)在该圆锥中是否存在另外一个内接的圆柱与(1)中圆柱体积相等？若存在，求出另一个圆柱的高；
若不存在，请说明理由．
21.已知向量a⃗=(sin (π
2−x),√3sin (3π
2
−x))，b⃗ =(sin x,cos x)，f(x)=a⃗⋅b⃗ ．
(1)求f(x)的最小值及f(x)取得最小值时x的取值集合M；
(2)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若C
2+π
4
∈M且c=2√2，求△ABC面积的最大值．
22.已知两个不共线的向量a⃗，b⃗ 的夹角为θ，且|a⃗|=3，|b⃗ |=1，x为正实数．
(1)若a⃗−2b⃗ 与a⃗+4b⃗ 垂直，求tanθ；
(2)若θ=π
，求|x a⃗+b⃗ |的最小值及对应的x的值，并指出此时向量a⃗与x a⃗+b⃗ 的位置关系；
6
(3)若θ为锐角，对于正实数t，关于x的方程|x a⃗−b⃗ |=|t a⃗|有两个不同的正实数解，且x≠t，求t 的取值范围．
答案和解析1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查复数的几何意义及共轭复数的知识，属于基础题．将复数化简，然后得出共轭复数，即可得到答案．
【解答】
解：z=i(1−i)
(1+i)(1−i)=1
2
(1+i)，z=1
2
−1
2
i，对应的点位于第四象限．
故答案选D．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查锥体、柱体的几何特征，属于基础题．
用一个平行于底面的平面截圆锥才可以得到一个圆台和一个圆锥，即可得到答案．
【解答】
解：对于A，圆柱的每个轴截面都是全等矩形，故A正确;
对于B，棱锥的侧面最少有三个，故一个棱锥最少有四个面，故B正确;
对于C，根据棱柱的概念可知，棱柱必有一组底面平行，故C正确;
对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥才可以得到一个圆台和一个圆锥，故D错误．故选D．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
由已知利用余弦定理，三角形的面积公式可得cosA=sinA，即tanA=1，结合范围A∈(0°,180°)，可求A 的值．
【解答】
解：∵△ABC的面积为S=b2+c2−a2
4=1
2
bcsinA，
∴2bccosA
4=1
2
bcsinA，可得cosA=sinA，即tanA=1，
∵A∈(0°,180°)，
∴A=45°．
故选：B．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查两向量间的夹角问题，属于基础题．
根据题意，求出b⃗ ，再利用数量积的坐标运算求向量的夹角．【解答】
解：由已知得b⃗ =(−1,0)，则cosθ=a⃗ ⋅b
|a⃗ |⋅|b⃗|=−1
2×1
=−1
2
，∴θ=120∘．
故选C．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查斜二测画法的知识，属于基础题．把直观图还原出原平面图形，即可得到答案．【解答】
解：
把直观图还原出原平面图形，则这个平面图形是直角梯形，所以BC=1，OC=2√2，AB=√4+8=2√3，
所以原平面图形的最长边长为2√3，故选B．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查利用正弦定理解决实际问题，属于基础题．
求出∠ASB的度数，再利用正弦定理得出AB的长，即可求出船的航行速度．
【解答】
解：由图可知BS=4√2，∠ASB=75∘−30∘=45∘，
则在△ABS中，AB
sin45∘=4√2
sin30∘
，得AB=8，
所以该船的航行速度为AB÷1
2
=16(海里/小时)．
故选A．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查圆台的表面积知识，属于基础题．
根据圆台的上下底面积的关系以及圆台的侧面积，即可上下底面半径，从而得出圆台的高．【解答】
解：设上底面的半径为r，
因为圆台的上底面面积是下底面面积的1
9
倍，
所以下底面的半径为3r ，
又母线长为4，圆台的侧面积为16π， 所以
，解得r =1，
所以3r =3，
所以圆台的高为√42−(3−1)2=2√3，
故答案选：B ．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量中三点共线问题、利用基本不等式求最值，属于中档题．
根据题意可知P ，B ，C 三点共线，，得到x +y 2=1，再利用基本不等式即可求出1x +1y 的最小值．
【解答】
解：由题意可知AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y 2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵P ，B ，C 三点共线，∴x +y 2=1，x >0，y >0， ∴1x +1y =(1x +1y )(x +y 2)=32+x y +y 2x ≥32+√2，当且仅当x y =y 2x ，即x =2−√2，y =2√2−2时取等号． 故选B ．
9.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题主要考查复数的运算，复数的模以及共轭复数的知识，属于中档题．
设z 1=a +bi(a,b ∈R,b ≠0)，z 2=a −bi(a,b ∈R)，根据复数的运算，逐个选项判断．
【解答】
解：z 1与z 2是共轭虚数，设z 1=a +bi(a,b ∈R,b ≠0)，z 2=a −bi(a,b ∈R)，
z 1z 2=(a +bi)(a −bi)=a 2+b 2，|z 1z 2|=a 2+b 2，A 正确;
z 12=a 2−b 2+2abi ，因为虚数不能比较大小，因此B 不正确;
z 1+z 2=2a ∈R ，C 正确;
z 1
z 2=a+bi a−bi =(a+bi)2(a−bi)(a+bi)=a 2−b 2
a 2+
b 2+2ab a 2+b 2i 不一定是实数，因此D 不一定正确，
故选AC ．
10.【答案】AB
【解析】
【分析】
本题主要考查利用正、余弦定理解三角形，属于中档题．
设a +b =9m ，a +c =10m ，b +c =11m ，解得a =4m ，b =5m ，c =6m ，再利用正余弦定理逐个判断．
【解答】
解：不妨设a +b =9m ，a +c =10m ，b +c =11m ，
解得a =4m ，b =5m ，c =6m ．
由正弦定理知sinA:sinB:sinC =a:b:c =4:5:6，即A 正确;
∵c >b >a ，
∴最大的内角为C ，最小的内角为A ，
由余弦定理知，cosA =
b 2+
c 2−a 22bc =25m 2+36m 2−16m 22×5m×6m =34，
cosC =a 2+b 2−c 22ab
=16m 2+25m 2−36m 22×4m×5m =18>0，
cos2A =2cos 2A −1=2×(34)2−1=18=cosC ，
故A =12C ，即B 正确;
∵cosC >0，
∴C 为锐角，△ABC 是锐角三角形，即C 错误;
∵cosC =18，
∴sinC =
3√78， ∵c sinC =2R ，
∴△ABC 的外接圆直径2R =3√78=16√77，即D 错误．
故选AB ．
11.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题主要考查关于正方体中外接球和内切球的问题，属于中档题． 设正方体的棱长为a ，根据线段MN 的最大值为√3+1，即可得出正方体外接球与内切球的半径，然后逐个选项判断即可．
【解答】 解：设正方体的棱长为a ，则正方体的外接球的半径为对角线的一半，即R =√3
2a ⋅内切球的半径为棱长的一半，即r =a 2⋅由于M 和N 为外接球和内切球上的动点，
故MN max =√32a +a 2
=√3+1，解得a =2，故 C 正确; 外接球的表面积为S =4·π⋅(√3)2=12π，故 A 正确;
内切球的体积为V =43⋅π⋅13=
4π3，故B 错误; 线段MN 的最小值为√3a 2−a 2=√3−1.故D 正确．
故选ACD ．
12.【答案】CD
【解析】
【分析】
本题考查向量的运算及坐标表示、向量模的坐标表示，考查二次函数求最值问题，属于拔高题．
根据题意，利用|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=m +1，|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=p +1得到方程组，再得出m +p 与n 之间的函数关系，换元后利
用二次函数性质求出取值范围．
【解答】
解：由题意知：OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−n,−m ),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−4n ,−p),|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=m +1，|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=p +1
∴{m 2+(n −4)2=m 2+2m +1,
(4n
−4)2+p 2=p 2+2p +1. 整理得2(m +p)=(n 2+16n 2)−8(n +4
n )+30．
令t =n +4n ，则n 2+16n 2=t 2−8，且t ∈(−∞，−4]∪[4,+∞)，
∴2(m +p)=t 2−8t +22=(t −4)2+6≥6，
∴m +p ≥3，∴m +p 的取值可能是3，6．
故选CD ．
13.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了复数的模，属于基础题．
由复数的模的性质：|a+bi c+di
|=|a+bi||c+di|=√a 2+b 2√c 2+d 2，可直接得答案． 【解答】
解：因为
， 所以|z|=|√2i|
|1+i|=√2
√1+1=1，
故答案为1．
14.【答案】1
【解析】
【分析】
本题主要考查了向量数量积的运算性质的简单应用，属于基础题．
由已知结合向量数量积的公式将|a ⃗ −b ⃗ |=2展开，即可求解．
【解答】
解：因为|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=√5，|a ⃗ −b ⃗ |=2，
所以4=a ⃗ 2+b ⃗ 2
−2a ⃗ ⋅b ⃗ =1+5−2a ⃗ ⋅b ⃗ ， 所以a ⃗ ⋅b
⃗ =1， 故答案为：1．
15.【答案】π3
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的数量积运算，属于基础题.
向量的数量积运算一般有两种方法，即坐标法和基底法，特殊图形中要优先考虑坐标法，
根据AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3，利用向量的数量积公式求解方程即可． 【解答】
解：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=1×2×cos∠BAD +12×4=3． ∴cos∠BAD =12
，∴∠BAD =π3． 故答案为：π3
16.【答案】√6
【解析】
【分析】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握相关公式定理及其变形应用是解题的关键．
由正弦定理化简已知等式，结合sinA ≠0，可得sinB =sin2C ，可得B =2C ，或B +2C =π，若B =2C ，可得B +C >π推出矛盾，可得B +2C =π，根据三角形内角和定理可得A =C ，可求范围0<B <π3，利用同角三角函数基本关系式可求cos B 的值，进而根据余弦定理可求b 的值．
【解答】
解：∵b a−b =sin2C sinA−sin2C ，
∴bsinA −bsin2C =asin2C −bsin2C ，
∴bsinA =asin2C ，由正弦定理可得：sinBsinA =sinAsin2C ，
∵sinA ≠0，∴sinB =sin2C ，
可得B =2C ，或B +2C =π，
若B =2C ，由于π3<C <π2，可得2π3<B <π，可得B +C >π(舍去)，
∴B +2C =π，可得A =C ，可得：a =c =2，
∵π3<C <π2，
2π3<A +C <π， ∴0<B <π3，
∴由sinB =√154，可得cosB =14， ∴由余弦定理可得b =√a 2+c 2−2accosB =√4+4−2×2×2×14=√6． 故答案为：√6．
17.【答案】解：(1)由复数z 为纯虚数，有{m(m −2)=0m ≠0
，得m =2． (2)由(1)知z =2i ，令ω=a +bi(a,b ∈R )，有|ω|=√a 2+b 2=2．
又由ω+ω=(a +bi )+(a −bi )=2a =2，得a =1，故b =±√3．
由上知ω=1+√3i 或ω=1−√3i ．
【解析】本题考查了复数的四则运算、复数的概念、复数的模、共轭复数，考查了学生的运算能力，属于基础题．
(1)由复数z 为纯虚数，可得m 的方程，解之即可；
(2)令ω=a +bia ，b ∈R ，，结合|ω|=|z |，ω+ω=2可解得a ，b 的值，故得复数ω．
18.【答案】解：(1)∵a ⃗ +2b ⃗ −3c ⃗ =(7,5)+2(−3,4)−3(1,2)=(−2,7)，
∴|a ⃗ +2b ⃗ −3c ⃗ |=√(−2)2+72=√53；
(2)由a ⃗ =m b ⃗ +n c ⃗ ，得(7,5)=(−3m +n,4m +2n)，
∴{−3m +n =74m +2n =5
，解得m =−910,n =4310； (3)k a ⃗ +c ⃗ =(7k +1,5k +2)，b ⃗ −c ⃗ =(−4,2)，
∵(ka ⃗⃗⃗⃗ +c ⃗ )//(b ⃗ −c ⃗ )，∴2(7k +1)+4(5k +2)=0，
解得k =−517．
【解析】本题考查了平面向量的坐标运算，向量的平行，考查了计算能力，属于基础题．
(1)可求出向量a ⃗ +2b ⃗ −3c ⃗ 的坐标，然后求出|a ⃗ +2b ⃗ −3c ⃗ |的值；
(2)根据a ⃗ =m b ⃗ +n c ⃗ ，即可得出{−3m +n =74m +2n =5
，然后解出m ，n 的值即可； (3)由k a ⃗ +c ⃗ =(7k +1,5k +2)，b ⃗ −c ⃗ =(−4,2)，然后根据(k a ⃗ +c ⃗ )//(b ⃗ −c ⃗ )，即可得出关于k 的方程，
再解出k 的值即可．
19.【答案】解：(1)∵b a +a b =sin 2C+sinAsinB sinAsinB ，∴由正弦定理得b a +a b =c 2
+ab ab ． ∴b 2+a 2=c 2+ab ，b 2+a 2−c 2=ab ．
由余弦定理得cosC =
a 2+
b 2−
c 22ab =ab 2ab =12． ∵C ∈(0,π)，∴C =π3．
(2)由题可得S ▵ABC =√3=12absinC =√34ab ，∴ab =4． ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =abcos C =12
ab =2．
【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及向量的数量积 ，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．
(1)由正弦定理化简得b 2+a 2−c 2=ab ，由余弦定理得cos C ，故得答案．
(2)由三角形面积公式可得ab 的值，故可求得CA
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．
20.【答案】解：(1)如图，
已知OA =3，PA =5，BC =2，
圆锥的高OP =√52−32=4，
∵BC =2，∴BC =12OP ，
又OP ⊥OA ，BC ⊥OA ，
∴AB =12OA =32，∴OB =32，
∴圆柱的体积V =π×(32)2×2=9π2．
(2)假设存在另一个符合题意的圆柱，设其高为h ，底面半径为r ．
则ℎOP =3−r OA ，即ℎ4=3−r 3，∴r =3−34ℎ，∴π×(3−34ℎ)2×ℎ=9π2，
整理得(ℎ2−6ℎ+4)(ℎ−2)=0，
解得ℎ=2或ℎ=3±√5，
∵ℎ=3+√5>4，∴不符合题意，舍去，
∴存在另外一个内接的圆柱与(1)中圆柱体积相等，该圆柱的高为3−√5．
【解析】本题主要考查圆锥的结构特征与圆柱的体积．
(1)根据题意可得出圆锥的高，再得出圆柱底面半径，即可求出圆柱的体积；
(2)假设圆柱存在，设其高为h ，底面半径为r.则ℎOP =3−r OA ，得出圆柱的高，即可得到答案．
21.【答案】解：(1)a ⃗ =(sin(π2−x),√3sin(3π2
−x))=(cosx,−√3cosx), b
⃗ =(sinx,cosx)， 即f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =sinxcosx −√3cos 2x
=12sin2x −√32cos2x −√32
=sin(2x −π3)−√32
， ∴f(x)的最大值为1−√32
，
此时2x−π
3=2kπ+π
2
，即x=kπ+5π
12
,k∈Z，
∴M={x|x=kπ+5π
12
,k∈Z}；
(2)∵C
2+π
4
∈M，
∴C
2+π
4
=kπ+5π
12
,k∈Z，
即C=2kπ+π
3
,k∈Z，
∵C∈(0,π)，
∴C=π
3
，
即c2=8=a2+b2−2abcosC=a2+b2−ab≥ab，∴ab≤8，当且仅当a=b=2√2时等号成立，
∴S△ABC=1
2absinC=√3
4
ab≤2√3，
故△ABC面积的最大值为2√3．
【解析】本题考查向量的数量积，余弦定理，三角形的面积，函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属中档题．
(1)利用向量的数量积，结合三角恒等变换化简函数的解析式，然后求解函数取得最大值时的x的集合即可．
(2)利用(1)求解C，利用余弦定理，结合基本不等式求出ab的范围，然后求解三角形的面积的最大值即可．
22.【答案】解：(1)∵a⃗−2b⃗ 与a⃗+4b⃗ 垂直，
∴(a⃗−2b⃗ )·(a⃗+4b⃗ )=0，
∴a⃗2+2a⃗⋅b⃗ −8b⃗ 2=0，
∵|a⃗|=3，|b⃗ |=1，
∴9+6cosθ−8=0，
∴cosθ=−1
6
，
∵θ∈[0,π]，
∴sinθ=√35
6
，
∴tanθ=sinθ
cosθ
=−√35；
(2)θ=π
6，|x a⃗+b⃗ |2=9x2+2x×3×√3
2
+1
=9x 2+3√3x +1，
∴x =−3√318=−√36时，|x a ⃗ +b ⃗ |的最小值为12，
此时a ⃗ ·(x a ⃗ +b ⃗ )=9x +3×√32
=0， ∴a ⃗ 与x a ⃗ +b ⃗ 垂直；
(3)方程|x a ⃗ −b ⃗ |=|t a ⃗ |，等价于9x 2−6cosθx +1−9t 2=0，
∵关于x 的方程|x a ⃗ −b ⃗ |=|t a ⃗ |有两个不同的正实数解，
∴{ 36cos 2θ−36(1−9t 2)>02cosθ3>01−9t 29
>0, 得13sinθ<t <13，
若x =t 则方程①可以化为−(6cosθ)x +1=0，
则x =16cosθ，即t =16cosθ.由题知x ≠t ，故t ≠16cosθ．
令13sinθ<16cosθ<13，得{sin2θ<1cosθ>12，故0<θ<π3，且θ≠π4．
当0<θ<π3，且θ≠π4时，t 的取值范围为{t|13sinθ<t <13，且t ≠16cosθ}；
当π3≤θ<π2，或θ=π4时，t 的取值范围为{t|13sinθ<t <13}．
【解析】本题考查向量的数量积公式，考查方程根的研究，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．
(1)利用a ⃗ −2b ⃗ 与a ⃗ +4b ⃗ 垂直，(a ⃗ −2b ⃗ )·(a ⃗ +4b ⃗ )=0，化简可得cosθ，进而得到sinθ，即可求出tanθ；
(2)将模平方，结合二次函数的性质，可求|x a ⃗ +b ⃗ |的最小值及对应的x 的值，利用数量积公式，可确定向
量a ⃗ 与x a ⃗ +b
⃗ 的位置关系； (3)方程|x a ⃗ −b ⃗ |=|t a ⃗ |，等价于9x 2−6cosθx +1−9t 2=0，利用关于x 的方程|x a ⃗ −b ⃗ |=|t a ⃗ |有两个不同的正实数解，建立不等式，即可确定结论．。