2020-2021高中必修一数学上期中试题(附答案)(1)

2020-2021高中必修一数学上期中试题(附答案)(1)
一、选择题
1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U I
A ．{1,1}-
B ．{0,1}
C ．{1,0,1}-
D ．{2,3,4}
2．在下列区间中，函数()43x
f x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭
C ．11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．13,24⎛⎫
⎪⎝⎭
3．设log 3a π=，0.32b =，21
log 3
c =，则（ ） A ．a c b >>
B ．c a b >>
C ．b a c >>
D ．a b c >>
4．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>
B ．a b c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
5．若函数()(1)(0x
x
f x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则
()log ()a g x x k =+的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,1)(1,)-∞-+∞U
7．函数()1
11
f x x =-
-的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x
D ．3y <2x <5z
9．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．[]
1,4-
C ．1,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D ．[]
5,5-
10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()
1(2)f x f x +=-
，且在()0,1上()3x
f x =，则()3lo
g 54f =（ ）
A ．
32
B ．23
-
C ．
23
D ．32
-
11．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-
B ．()0,1
C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
12．函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为1
4
-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ） A ．
52
B ．
52
22
+
C ．
32
D ．2
二、填空题
13．已知函数2
()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________.
14．已知偶函数()f x 满足3
()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___
15．已知函数2,()24,x x m
f x x mx m x m
⎧≤=⎨
-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的
方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 16．函数
的定义域为______________．
17．已知函数()()212
log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m
的取值范围为______．
18．已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________．
19．计算：
__________．
20．关于函数()24
11
x x f x x -=--的性质描述，正确的是__________.①()f x 的定义域为
[)(]1,00,1-U ；②()f x 的值域为()1,1-；③()f x 的图象关于原点对称；④()f x 在定
义域上是增函数.
三、解答题
21．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，()111
f x x =+-. (1)求f (2)的值；
(2)用定义法判断y ＝f (x )在区间(－∞，0）上的单调性． (3)求0()x f x >时，的解析式
22．已知函数()()()
sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12
x π
=时，()f x 取得最大值4：当712
x π
=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若,66x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 23．2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆），需另投入成本()f x 万元，且
210200,050()10000
6019000,50x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩
，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）
（2）2019年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 24．求关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件.
25．某厂生产某产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本（万
元），若年产量不足
千件，
的图象是如图的抛物线，此时
的解集为
，且的最小值是，若年产量不小于千件，
，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商
品能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
26．已知函数24
,02
()(2)2,2
x x f x x x a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．
（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．
（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围．
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪
⎝⎭
⎨
⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭
⎩
,利用零点存在定理可得结果.
【详解】
因为函数()43x
f x e x =+-在R 上连续单调递增，
且11
44
11
22114320
4411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭
⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
内，故选C. 【点睛】
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】 由题得2
1
log 3
c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.
故答案为C 【点睛】
(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.
4．A
解析：A 【解析】
由0.5
0.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，
所以a c b >>，故选A .
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】
∵函数()(1)x
x
f x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，
∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)
定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】
本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】
由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，
所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】
本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】 把函数1
y x
=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1
y x =
的图象向右平移一个单位得到11
y x =-的图象，
把1
1y x =
-的图象关于x 轴对称得到11
y x =--的图象， 把11y x =-
-的图象向上平移一个单位得到()1
11
f x x =--的图象， 故选：B . 【点睛】
本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.
8．D
解析：D 【解析】
令235(1)x y z
k k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k
∴
22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8
x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32
x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的
,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其
是换底公式以及0与1的对数表示.
9．C
解析：C 【解析】
∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−
1
2
⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
，
本题选择C 选项.
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】
由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -
+，且()()
3
31
log 21log 21f f +=--，
由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2
333log 211log 232
f f --=--=-=-，
据此可得：()()3312
log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32
-.
本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】
对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有10
10x x +>⎧⎨
->⎩
，解得11x -<<， 则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，
()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，
所以，函数()y f x =为奇函数，
由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，
所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，
所以，11
112121a a a a -<<⎧⎪
-<-<⎨⎪>-⎩
，解得01a <<.
因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】
本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x的取值，然后利用数形结合即可得到结论．
【详解】
当x≥0时，f（x）=x（|x|﹣1）=x2﹣x=（x﹣1
2
）2﹣
11
44
≥-，
当x＜0时，f（x）=x（|x|﹣1）=﹣x2﹣x=﹣（x+1
2
）2+
1
4
，
作出函数f（x）的图象如图：
当x≥0时，由f（x）=x2﹣x=2，解得x=2．
当x=1
2
时，f（
1
2
）=
1
4
-．
当x＜0时，由f（x）=）=﹣x2﹣x=
1
4 -．
即4x2+4x﹣1=0，解得x=
2
4444432
-±+⨯-±
==
44212
82
-±-±
=，
∴此时x=
12
2
--
，
∵[m，n]上的最小值为
1
4
-，最大值为2，
∴n=2，
121
2
m
--
≤≤，
∴n﹣m的最大值为2﹣
12
--
=
52
2
+，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．
二、填空题
13．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属
解析：±1. 【解析】 【分析】
设2
()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案． 【详解】
解：设2()()1
()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22
()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩
， 则()()()()()f x g x h x g x h x =++-2(),()()
2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨
<⎩
，
由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，
结合图象，210x -=，得1x =±， 所以1a =±， 故答案为：±1． 【点睛】
本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．
14．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能 解析：{|40}x x x ><或
【解析】 【分析】
通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式.
根据题意可知(2)0f =，令2x t -=，则转化为()(2)f t f >，由于偶函数()f x 在
()0,∞+上为增函数，则()(2)f t f >，即2t
>，即22x -<-或22x ->，即0x <或
4x >.
【点睛】
本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.
15．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数
解析：()3+∞，
【解析】
试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.
【考点】分段函数，函数图象
【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.
16．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx -1>0⇒-1≤x≤1cosx>12cosx>12⇒x ∈-π3+2kππ3+2kπ 解析：
【解析】 【分析】
根据定义域基本要求可得不等式组，解不等式组取交集得到结果. 【详解】 由题意得：
，
函数定义域为：
本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是根据定义域的基本要求得到不等式组.
17．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没
解析：{|2m m >或2}3
m <- 【解析】 【分析】
分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】
解：∵函数()()2
12
log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，
则函数2
(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.
当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.
故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 2
4(2)(2)
04m m m m
--->，
求得 2m >；
当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.
故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 2
4(2)(2)
04m m m m
--->，
求得2
3
m <-
. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3
m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3
m <-. 【点睛】
本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.
18．；【解析】【分析】分为和两种情形分类讨论利用复合函数的单调性结合对数函数的性质求出取值范围【详解】∵函数（且）在上是减函数当时故本题即求在满足时函数的减区间∴求得当时由于是减函数故是增函数不满足题意
解析：(1,4)； 【解析】 【分析】
分为1a >和01a <<两种情形分类讨论，利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质求出a 取值范围． 【详解】
∵函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数， 当1a >时，故本题即求4t ax =-在满足0t >时，函数t 的减区间， ∴40a ->，求得14a <<，
当01a <<时，由于4t ax =-是减函数，故()f x 是增函数，不满足题意， 综上可得a 取值范围为(1,4)， 故答案为：(1,4)． 【点睛】
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数，理解“同增异减”以及注意函数的定义域是解题的关键，属于中档题．
19．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填4 解析：
【解析】
原式=
,故填.
20．①②③【解析】【分析】由被开方式非负和分母不为0解不等式可得f （x ）的定义域可判断①；化简f （x ）讨论0＜x≤1﹣1≤x ＜0分别求得f （x ）的范围求并集可得f （x ）的值域可判断②；由f （﹣1）＝f （
解析：①②③ 【解析】 【分析】
由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得f （x ）的定义域，可判断①；化简f （x ），讨论0＜x ≤1，﹣1≤x ＜0，分别求得f （x ）的范围，求并集可得f （x ）的值域，可判断②；由f （﹣1）＝f （1）＝0，f(x)不是增函数，可判断④；由奇偶性的定义得f （x ）为奇函数，可判断③． 【详解】
①，由240110x x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩
，解得﹣1≤x ≤1且x ≠0，
可得函数()24
11
x x f x x -=--的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，故①正确；
②，由①可得f （x 24x x -，即f （x 2||1x x
-，
当0＜x ≤1可得f （x 21x -1，0]；当﹣1≤x ＜0可得f （x 21x -[0，
1）．
可得f （x ）的值域为（﹣1，1），故②正确；
③，由f （x
）＝﹣||x x 的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，关于原点对称，
f （﹣x
）＝|x x
＝﹣f （x ），则f （x ）为奇函数，即有f （x ）的图象关于原点对
称，故③正确．
④，由f （﹣1）＝f （1）＝0，则f （x ）在定义域上不是增函数，故④错误； 故答案为：①②③ 【点睛】
本题考查函数的性质和应用，主要是定义域和值域的求法、单调性的判断和图象的特征，考查定义法和分类讨论思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．
三、解答题
21．（1）23-；（2）见解析；（3）()1
x f x x -=+ 【解析】 【分析】
(1)利用函数的奇偶性求解.
(2)函数单调性定义，通过化解判断函数值差的正负；
（3）函数为R 奇函数，x 〈0的解析式已知，利用奇函数图像关于原点对称，即可求出x 〉0的解析式. 【详解】
（1）由函数f (x )为奇函数，知f (2)＝-f (－2)＝2
3
-· (2)在(－∞，0）上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，
则()()12121
21111111111f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ ()()211211x x x x -=
-- 由x 1－1<0，x 2－1<0，x 2－x 1>0，知f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 由定义可知，函数y ＝f (x )在区间(－∞，0]上单调递减．· （3）当x >0时，－x <0，()1
11
f x x -=-
+ 由函数f (x )为奇函数知f (x )＝-f (－x )，
()1111
x f x x x -∴=-+
=++ 【点睛】
本题考查了函数奇偶性的应用和单调性的定义，利用奇偶性求函数值和解析式主要应用奇偶性定义和图像的对称性；利用定义法证明函数单调性关键是作差后式子的化解，因为需
要判断结果的正负，所以通常需要将式子化成乘积的形式. 22．（1）()4sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
（2
）19t +< 【解析】 【分析】
（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式； （2）先确定23
x π
+范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果.
【详解】
（1）解：由题意知74,212122
T A πππ==-=，得周期T π= 即
2π
πω
=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ϕ=+
当12x π
=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412πϕ⎛⎫
⨯+= ⎪⎝⎭，得πsin φ16骣琪+=琪桫
得
2()6
2k k Z π
π
ϕπ+=+
∈，，得23
()k k Z π
ϕπ=+∈，
,ϕπ<∴Q 当0k =时，=
3
πϕ，因此()4sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
（2）()()210h x f x t =+-=，即()1
2
t f x -= 当,66x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
当23
2
x π
π
+
=
时，4sin
42π
=
要使()12t f x -=
有两个根，则1
42
t -≤
<
，得19t +≤< 即实数t
的取值范围是19t +< 【点睛】
本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.
23．（1）()2104003000,050
10000
6000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨--+≥⎪
⎩
；（2）2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元. 【解析】 【分析】
（1）先阅读题意，再分当050x <<时，当50x ≥时，求函数解析式即可；
（2）当050x <<时，利用配方法求二次函数的最大值，当50x ≥时，利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，再综合求分段函数的最大值即可. 【详解】
解：（1）由已知有当050x <<时，
()22600(10200)3000104003000L x x x x x x =-+-=-+-
当50x ≥时，()1000010000
600(6019000)30006000L x x x x x x
=-+
--=--+， 即()2104003000,050
10000
6000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨--+≥⎪⎩
， （2）当050x <<时，()2
2
10400300010(20)1000L x x x x =-+-=--+，
当20x =时，()L x 取最大值1000， 当50x ≥时，(
)10000600060005800L x x x =--+≤-+=， 当且仅当10000
x x
=
，即100x =时取等号， 又58001000>
故2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元. 【点睛】
本题考查了函数的综合应用，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题. 24．充要条件是1a ≤． 【解析】 【分析】
当0a ≠时，根据根为“1正1负”、“2负根”进行讨论，由此求得a 的范围.当0a =时，直接解出方程的根.由此求得a 的取值范围. 【详解】
①0a ≠时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则0a <；
若方程有两个负的实根，则必有102{001440
a
a a
a >-<∴≤∆=-≥＜．．
②若0a =时，可得1
2
x =-也适合题意．
综上知，若方程至少有一个负实根，则1a ≤．反之，若1a ≤，则方程至少有一个负的实根，
因此，关于x 的方程2210ax x ++=至少有一负的实根的充要条件是1a ≤． 【点睛】
本小题主要考查根据含有参数的一元二次方程根的分布求参数，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
25．(1) ；(2) 当年产量千件时，该厂在这一
商品的生产中所获利润最大为万元.
【解析】 【分析】
（1）由题可知，利润=售价-成本，分别对年产量不足件，以及年产量不小于件计
算，代入不同区间的解析式，化简求得；
（2）分别计算年产量不足件，以及年产量不小于件的利润，当年产量不足80件时，
由配方法解得利润的最大值为950万元，当年产量不小于件时，由均值不等式解得利润最大值为1000万元，故年产量为件时，利润最大为
万元.
【详解】 （1）当
时，
；
当
时，
，
所以（）.
（2）当时，
此时，当时，
取得最大值
万元．
当
时，
此时，当时，即
时，
取得最大值万元，
,
所以年产量为
件时，利润最大为
万元．
考点：•配方法求最值 均值不等式 26．（1）2a ≤（2）03a ≤< 【解析】 【分析】
（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；
（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围． 【详解】
（1）由题意，当02x <≤时，4
()f x x x
=
-为减函数， 当2x >时，()()2
22f x x a x a =-++-，
若2a ≤时，()()2
22f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=，
此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件； 若2a >时，()()2
22f x x a x a =-++-在22,
2a +⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，则不满足条件． 综上所述，2a ≤．
（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==， 当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；
当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件； 当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，
对于2x >上，()f x 的最大值为2
2(2)
1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪
⎝⎭
， 不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；
当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，
对于2x >上，22(2)(4)123
444
a a a ----=<-，
不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件； 综上所述，03a ≤<． 【点睛】
本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．。