高一数学人教B版必修4精练：2.1.2 向量的加法 Word版含解析(数理化网)

第二章 2.1 2.1.2
一、选择题
1．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →
等于( ) A ．BC → B ．AB →
C ．AC →
D ．AM →
[答案] C
[解析] 原式＝AB →＋BC →＋MB →＋BO →＋OM →＝AC →＋0＝AC →
. 2．若a 、b 为非零向量，则下列说法中不正确的是( )
A ．若向量a 与b 方向相反，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同
B ．若向量a 与b 方向相反，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同
C ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与a 的方向相同
D ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与b 的方向相同 [答案] B
[解析] ∵a 与b 方向相反，且|a |<|b |时，a ＋b 与a 的方向相反，a ＋b 与b 的方向相同，故B 不正确．
3．a 、b 、a ＋b 为非零向量，且a ＋b 平分a 与b 的夹角，则( ) A ．a ＝b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．以上都不对 [答案] C
[解析] 由向量加法的平行四边形法则知，若a ＋b 平分a 与b 的夹角，则四边形是菱形，因此|a |＝|b |.
4．(2015·四川德阳市第五中学高一月考)如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( )
A ．AD →＋BE →＋CF →
＝0 B ．BD →＋CF →＋DF →＝0 C ．AD →＋CE →＋CF →
＝0 D ．BD →＋BE →＋FC →＝0
[答案] A
[解析] ∵D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，∴DE ∥AC ，DF ∥BC ． ∴四边形DECF 是平行四边形． ∴ED →＝CF →.
又AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋CF →＝DE →＋CF →＝DE →＋ED →
＝0，故选A ．
5．已知下列各式：①AM →＋M B →＋B A →；②A B →＋C A →＋B D →＋D C →；③O A →＋O C →＋BO →
＋C O →
.其中结果为零向量的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
[答案] C
[解析] AM →＋M B →＋B A →＝0，A B →＋C A →＋B D →＋D C →＝A B →＋B D →＋D C →＋C A →＝0，O A →
＋O C →＋B O →＋C O →＝O A →＋B O →
，故选C ．
6．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →
，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形 [答案] D
[解析] 在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋BC →
， 又AC →＝AB →＋AD →，∴BC →＝AD →， ∴四边形ABCD 是平行四边形． 二、填空题
7．如图所示，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则OA →＋AB →＋BC →
＝________.
[答案] OC →
[解析] OA →＋AB →＋BC →＝OB →＋BC →＝OC →
. 8．根据右图填空： b ＋c ＝________； a ＋d ＝________； b ＋c ＋d ＝________； f ＋e ＝________； e ＋g ＝________. [答案] a f f b δ
[解析] 由向量加法的多边形法则可知． 三、解答题
9.已知下图中电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力F 1＝24 N ；绳BO 与墙壁垂直，所受拉力F 2＝12 N ．求F 1和F 2的合力．
[解析] 如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F ＝F 1＋
F 2＝OC →.
在△OCA 中，|F 1|＝24，|AC →
|＝12，∠OAC ＝60°， ∴∠OCA ＝90°.∴|OC →|＝12 3.
∴F 1与F 2的合力为12 3 N ，与F 2成 90°角竖直向上．
10．两个力F 1和F 2同时作用在一个物体上，其中F 1＝40N ，方向向东，F 2＝403N ，方向向北，求它们的合力．
[解析]
如图所示，OA→表示F1，OB→表示F2，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则OC→表示合力F.
易知F＝80N，合力F与F1的夹角为60°.
一、选择题
1．已知向量a表示“向东航行1 km”向量b表示“向南航行1 km”则a＋b表示() A．向东南航行 2 km B．向东南航行2 km
C．向东北航行 2 km D．向东北航行2 km
[答案] A
[解析]如图所示，故选A．
2．在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →
＝d ，则下列各式中不成立的是( )
A ．a ＋b ＝c
B ．a ＋d ＝b
C ．b ＋d ＝a
D ．|a ＋b |＝|c |
[答案] C [解析] 如图，
a ＋
b ＝
c ，|a ＋b |＝|c |，a ＋
d ＝b ，b ＋d ≠a ，故选C ．
3．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a 、BC →＝b 、AC →
＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( ) A ．0 B ．3 C ． 2
D ．2 2
[答案] D
[解析] ∵AB →＋BC →＝AC →
，∴|a ＋b ＋c |＝|2c |， ∵|c |＝2，∴|a ＋b ＋c |＝22，故选D ．
4.如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则OA →＋AB →＋CD →＋BC →
等于( )
A ．DO →
B ．OD →
C ．B
D → D ．DB →
[答案] B
[解析] OA →＋AB →＋CD →＋BC →＝OA →＋AB →＋BC →＋CD →＝OB →＋BC →＋CD →＝OC →＋CD →＝OD →
. 二、填空题
5．在静水中划船的速度是20 m/min ，水流速度是10 m/min ，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为________．
[答案]
3
[解析] 如图，设AB →为水流的速度，AD →为划船的速度，则AC →＝AB →＋AD →，其中AC →
为船垂直到达对岸的速度，即为船速与水速的和速度，在Rt △ABC 中，|AB →|＝10，|BC →
|＝20，
∴tan ∠ABC ＝|AC →|
|AB →|＝
|BC →|2－|AB →|2
|AB →|
＝
202－102
10
＝3， ∴tan ∠ADC ＝tan ∠ABC ＝ 3.
6.如图所示，△ABC 中，AD DB ＝AE EC ＝12
，且BC ＝3，则|BC →＋ED →
|＝________.
[答案] 2
[解析] ∵AD DB ＝AE EC ＝1
2
，
∴DE ∥BC ，且DE ＝1
3BC ＝1，
如图所示，作CF →＝ED →
，连DF ， 则BC →＋ED →＝BC →＋CF →＝BF →， ∴|BC →＋ED →|＝|BF →|＝|BC →|－|CF →
|＝2. 三、解答题
7．如图所示，在△ABC 中，P 、Q 、R 分别为BC 、CA 、AB 边的中点，求证AP →＋BQ →
＋CR →
＝0.
[解析] 解法一：AP →＝AB →＋BP →，BQ →＝BC →＋CQ →，CR →＝CA →＋AR →
.又∵P 、Q 、R 分别为BC 、CA 、AB 的中点，
∴BP →＝12BC →，CQ →＝12CA →，AR →＝12
AB →，
∴AP →＋BQ →＋CR →＝(AB →＋BC →＋CA →)＋12BC →＋12CA →＋12AB →＝32(AB →＋BC →＋CA →
)＝0.
解法二：AP →＝12(AB →＋AC →)，BQ →＝12(BA →＋BC →)，CR →
＝12
(CA →＋CB →
)， ∴AP →＋BQ →＋CR →＝12
(AB →＋AC →＋BA →＋BC →＋C A →＋CB →
)＝0.
8. 轮船从A 港沿东偏北30°方向行驶了40 n mile(海里)到达B 处，再由B 处沿正北方向
行驶40 n mile到达C处．求此时轮船关于A港的相对位置．
→、BC→分别表示轮船的两次位移，则AC→表示轮船的和位移，AC→＝AB→[解析]如下图，AB
＋BC→.
在△ADB中，∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，|AB→|＝40，
所以|DB→|＝20，|AD→|＝20 3.
在△ADC中，∠ADC＝90°，|DC→|＝60，
所以|AC→|＝|AD―→|2＋|DC―→|2
＝(203)2＋602＝403(n mile)．
因为|AC→|＝2|AD→|，所以∠CAD＝60°.
答：轮船此时位于A港东偏北60°，且距A港403n mile的C处．。