2010工科数分第二学期期中试题解答

2010-2011工科数学分析第二学期期中试题解答
一. 1.
3
2 2. 3
6arcsin 3. }2,4
,2{
2e e ，（与此方向相同的都对） 4. )()2(2
1
22ρo y xy y +-+
5. ⎰
⎰
⎰-x
z
dy z y x f dx dz 0
10
10
),,(
二. 设点 )1,0,1(-B ，)2,1,1(=s
，
|
|||s s BA d
→
⨯= …………………………(3分) |||
}2,1,1{}3,2,2{|s
⨯-=
……………………….(5分) |||
}0,7,7{|s -=
………………………..(7分) 3
72
11)7(72
2
2
22=
++-+= ……………………………(9分)
三. 00
0lim )0,0()0,(lim
)0,0(00
=-=-='→→x
x f x f f x x x …………………………(3分) 000lim )0,0(),0(lim
)0,0(00
=-=-='→→y
y f y f f y y y …………………………(6分) 沿x y =， 0lim ),(lim 24
3
00
0=+=→→→x x x y x f x y x …………………………….(7分) 沿2
x y =， )0,0(21
lim ),(lim 44
400
0f x x x y x f x y x ≠=+=→→→ ……………………….(8分) 即),(lim 0
y x f y x →→不存在，),(y x f 在点)0,0(处不连续 ………………………..(9分)
四. }1,1{=→AB ，}2,0{-=→
AC ，}2
1,
2
1{
=→
AB ，}1,0{0-=→
AC ……………(2分)
222121=∂∂+∂∂=
∂∂→
y z
x z AB
z ……………………………(4分)
3-=∂∂-
=∂∂→
y
z
AC
z …………….……………..(5分) 解得：
1=∂∂x z ， 3=∂∂y
z ……………………………….(7分) }2,1{--=→
AO ， }5
2,5
1{0-
-
=→
AO ………………………………. .(8分)
5
7
5251-
=∂∂-∂∂-
=∂∂→
y z x z AO
z ………………………….(9分) 五.
g x f y
f x z '+'+'=∂∂21
21 ……………………………(3分) g x g f y f y f y f x
z ''+'+''+''+''+''=∂∂222211211
2242)1
(11 g x g f y
f y f ''+'+''+''+''=22221211
421
2 ………………………………… (6分) g xy y
x f y f y y x f y x z ''+-⋅''+'--⋅''=∂∂∂41122222212
2 g xy f y f y x f y x ''+'-''-''-
=41
22
312
2 ………………………….(9分)
六. 由228y x z --=和x z 2=消去z 得D 的边界9)1(22=++y x …………… (2分) ⎰⎰---=D
dxdy x y x V )28(22 ………………………… (4分)
令 θ
ρc o s 1+-=x ， θρs i n =y ………………………... (5分) ⎰⎰
-=3
220
)9(ρρρθπ
d d V …………………….... (7分)
ππ2
81
4812=⋅
= …………………….... (9分)
七. ⎪⎩
⎪⎨⎧=+++=0
64222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz
………………………………(3分) 将点)2,1,1(-代入得 ⎪⎩
⎪⎨⎧=+--=0
62122dx dz
dx dy y dx dy dx dz 解得： 1413=dx dy ， 71=dx dz ……………………… (6分) 切向量 }7
1
,1413,1{=s ………………………… (7分)
切线 22
131141-=+=-z y x …………………….. (9分) 八.
设),,(z y x 是曲面上的任一点，此点处法向量为
},,{31
31
31
---=z y x n
.......................................... (2分)
切平面
0)(1)(1
)(1
3
3
3
=-+-+
-z Z z
y Y y
x X x
.............................. (4分)
即
411
1
3
23
23
23
3
3
=++=++
z y x Z z
Y y
X x
………………… (6分)
三截距为 34x a =，34y b =，34z c = ............................ (8分) 6444)(423
23
23
22222=⨯=++=++z y x c b a ……………… (9分)
九. 将D 分成两块：π≤+y x D :1，π≥+y x D :2 ⎰⎰+=D
dxdy y
x I 2
cos 22
........................................... (1分) ⎰⎰⎰⎰+-+=2
1
2cos 22cos
2D D dxdy y
x dxdy y x ........................ (3分) ⎰⎰⎰
⎰--+-+=x x y
y
dy y x dx dx y x dy πππππ
2cos 22cos 22
2
....................... (7分)
⎰⎰---=π
ππ
2
20
)1(sin 22)sin 1(22dx x dy y ....................... (8分)
)2(22-=π ....................... (9分)
十. V 由曲面221y x z --=和)(322y x z +=围成 ....................... (2分) ⎰⎰⎰
+=1
06
26020
1s i n dr r r d d I ϕ
ϕθπ
π
....................... (6分) ⎰⎰+=1
06
2
60
1s i n 2dr r r d π
ϕϕπ ....................... (7分)
)2
3
1(6
2
-
=π ....................... (9分)
十一. 设),(y x C ，ABC ∆的面积为S ，则 |24|2
1
--=
y x S ....................... (2分) 令 2)24(),(--=y x y x f
约束条件 122=-y x ....................... (4分) 设 )1()24(),(222--+--=y x y x y x F λ ....................... (5分) 令 02)24(8),(=+--='x y x y x F x λ
02)24(2),(=----='y y x y x F y λ ....................... (7分) 解得 15
1±
=y ，15
4±
=x （负值舍去） ...................... (8分)
由实际问题，最小值存在，故当15
4=
x ，15
1=
y 时，
ABC ∆的面积最小，点)15
1,15
4(C 即为所求。

...................... (9分)。