【信息卷】2018年好教育云平台高三文科数学最新信息卷(九)(教师版)

绝密 ★ 启用前
2018年好教育云平台最新高考信息卷
文 科 数 学（九）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合{}|2M x x =≥-，{}
210x
N x =->，则()M
C N =R （ ）
A ．{}
0x x > B ．{}|2x x ≥- C ．{}|20x x -≤<
D ．{}|20x x -≤≤
【答案】D
【解析】求解指数不等式可得：{}
0N x x =>，则：{}|0C N x x =≤R ，
(){}|20M
C N x x =-≤≤R ，本题选择
D 选项．
2．若复数i
1i
a z +=-（i 为虚数单位，a ∈R ）是纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．1- B ．1 C ．12- D ．1
2
【答案】B
【解析】令()i
i 1i
a z
b b +==∈-R ，则：()i i 1i i a b b b +=-=+， 据此可得：1a b
b
==⎧⎨
⎩，1a b ∴==，本题选择B 选项． 3．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若4a ，10a 是方程2
810x x -+=的两根，则13S =（ ） A ．58 B ．54
C ．56
D ．52
【答案】D 【解析】由韦达定理可得：4108a a +=，4101a a =，
结合等差数列的性质可得：1134108a a a a +=+=， 则：()
1131313138
522
2
a a S ⨯+⨯=
=
=．本题选择D 选项． 4．已知两个单位向量a 和b 夹角为60︒，则向量-a b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．1- B ．1
C ．12
-
D ．
12
【答案】D
【解析】由题意可得：1==a b ，且：1cos 602
⋅=⨯⨯︒=
a b a b ， ()211122
⋅-=-⋅=-
=a a b a a b ， 则向量-a b 在向量a 方向上的投影为：
()1
1212
-⋅==a b a a ．本题选择D 选项．
5．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为2
s ，则（ ）
A ．4x =，2
2s < B ．4x =，2
2s > C ．4x >，2
2s < D ．4x >，2
2s >
【答案】A
【解析】 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，
方差为2s ，74448x ⨯+∴==，()2
2
72447284
s ⨯+-==<，故选A ． 6．双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线与直线210x y -+=平行，则它的离心率为（ ）
A
B
C
D
【答案】A
【解析】由双曲线的渐近线方程可得双曲线的渐近线方程为：b y x a =±，其斜率为：b a
±， 其中一条渐近线与直线210x y -+=平行，则：
2b
a
=，
则双曲线的离心率：e ===A 选项．
7．已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（ ）
此
卷
只
装
订
不密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
A ．644π-
B ．642π-
C ．643π-
D ．64π-
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体是一个正方体挖去一个半圆柱形成的组合体， 其中正方体的棱长为4，半圆柱的底面直径为2，高为4， 据此可得，几何体的体积为：()
321
4π14642π2
-
⨯⨯⨯=-．本题选择B 选项． 8．已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民．若乙的年龄比农民的年龄大；丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是（ ） A ．甲是军人，乙是工人，丙是农民 B ．甲是农民，乙是军人，丙是工人 C ．甲是农民，乙是工人，丙是军人 D ．甲是工人，乙是农民，丙是军人 【答案】A
【解析】丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则甲丙均不是工人，故乙是工人；乙的年龄比农民的年龄大，即工人的年龄比农民的年龄大，而工人的年龄比甲的年龄小，故甲不是农民，则丙是农民；最后可确定甲是军人．本题选择A 选项． 9．执行如图所示的程序框图，输出的n 值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．2
D ．4
【答案】B
【解析】程序流程图执行如下：
首先初始化数据：0S =，1a =，1n =，进入循环体执行循环：
第一次循环：2S S a n =++=，不满足10S ≥，执行：1
22
a a ==，22n n ==； 第二次循环：142S S a n =++=，不满足10S ≥，执行：1
24a a ==，24n n ==；
第三次循环：384S S a n =++=，不满足10S ≥，执行：1
28a a ==，28n n ==；
第四次循环：7
168
S S a n =++=，满足10S ≥，
此时跳出循环，输出8n =．本题选择B 选项．
10．已知实数x ，y 满足30
200x y x y x y +-≥-≤-≥⎧⎪⎨⎪⎩
，若()22
1z x y =-+，则z 的最小值为（ ）
A ．1 B
C ．2
D ．
52
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数的几何意义为可行域内的点与点()1,0之间距离的平方， 如图所示数形结合可得，当目标函数过点()2,1P 时取得最小值，
最小值为：()()2
2
22
min 12112z x y =-+=-+=．本题选择C 选项．
11．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()1f x f x '+>，()10f =，则不等式
()1
e 110x
f x --+
≤的解集是（ ）
A ．(],1-∞
B ．(],0-∞
C ．[)0,+∞
D ．[)1,+∞
【答案】A
【解析】令()()1
1e
e 1x x g x
f x --=-+，则：()()()()1e 1x
g x f x f x -''=+-，
由题意可知：()0g x '>，则函数()g x 在R 上单调递增，
且()110110g =⨯-+=，不等式()1
e
110x f x --+
≤即()11e 1e 0x x f x ---+≤，
即：()()1g x g ≤，结合函数的单调性可得不等式的解集为：1x ≤， 表示为区间形式即为(],1-∞．本题选择A 选项． 12．已知抛物线24x y =的焦点为F ,的右焦点为()1,0F c ，过点F ，1F 的直线与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线ab 的最大值为（ ）
A
B
C
D ．2
【答案】B
【解析】由题可知抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，
11010FF k c c -∴=
=--，过F ，1F
，
，即得223a b +=，
故选B ． 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()5,12P --，则
c o s α=__________．
【解析】
角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()5,12P --，
14．一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行，当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全飞行，则这只蚊子安全飞行的概率是__________． 【答案】
π6
【解析】设正方体的棱长为2a ，其体积()2
3
128V a a ==，
内切球直径为2a ，其体积：33
244ππ33
V R a =
=， 利用几何概型公式结合题意可得这只蚊子安全飞行的概率是：21π
6
V p V =
=． 15．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n
S ，若15323S S S +=，则{}n a 的公比等于__________． 【解析】由15323S S S +=得()53312S S S S -=-，所以()54322a a a a +=+，
，因为{}n a 的各项均为正数，所以0q >，所以
16．边长为2的等边ABC △的三个顶点A ，B
，C 都在以O 为球心的球面上，若球O 的表面积为
，则三棱锥O ABC -的体积为__________．
【解析】设球半径为R ，则
设ABC △所在平面截球所得的小圆的半径为r ，则 故球心到ABC △所在平面的距离为
即为三棱锥O ABC -的高，所以 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在圆内接四边形ABCD 中，8AB =，7BD =，5AD =．
（1）求BCD ∠的大小； （2）求BCD △面积的最大值． 【答案】（1）120；（2
）
12
． 【解析】（1）在ABD △中，由余弦定理得
222cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠=
⋅22
2
8571
2852
+-==⨯⨯，
解得60BAD ∠=︒，注意到180BAD BCD ∠+∠=︒，可得120BCD ∠=︒． （2）法1：在BCD △中，由余弦定理得
2222cos BD BC DC BC DC BCD =+-⋅∠，
即22272cos120BC DC BC DC =+-⋅︒22
BC DC BC DC =++⋅， ∵2
2
2BC DC BC DC +≥⋅，∴349BC DC ⋅≤，即493
BC DC ⋅≤
．
∴11sin sin12022BCD S BD DC BCD BC DC BC DC ∆=
⋅⋅∠=⋅⋅︒=⋅≤
． 当且仅当BC CD =，BCD △为等腰三角形时等号成立，即BCD △
． 法2：如图，当C 为弧BC D 中点时，BD 上的高最大，此时BCD △是等腰三角形，易得
30CBD CDB ∠=∠=︒，作BD 上的高CE ，
在Rt BCE △中，由30B ∠=︒，72BE =
，得CE =
可得72BCD S BE CE =⋅=
=△，综上知，即BCD △
．
18．（12分）在梯形ABCD 中（图1），A B C D ∥，2AB =，5CD =，过A 、B 分别作CD 的垂
线，垂足分别为E 、F ，已知1DE =，2AE =，将梯形ABCD 沿AE 、BF 同侧折起，使得
AF BD ⊥，DE CF ∥，得空间几何体ADE BCF -（图2）．
（1）证明：BE ∥平面ACD ；
（2）求三棱锥E ACD -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）
2
3
． 【解析】（1）证明：连接BE 交AF 于O ，取AC 的中点H ，连接OH ，则OH 是AFC △的中位
，连接DH ，
又因为EO ⊄面ADC ，DH ⊂面ADC ，所以EO ∥面ACD ，即BE ∥面ACD ．
（2）解：由已知得，四边形ABFE 为正方形，且边长为2，则在图2中，AF BE ⊥，由已知AF BD ⊥，
BE BD B =，可得AF ⊥面BDE ，又DE ⊂平面BDE ，所以AF DE ⊥，又AE DE ⊥，AF
AE A =，所以DE ⊥平面ABFE ，且AE EF ⊥，所以AE ⊥面CDE
，所以
AE 是三棱锥
A
DEC -
的高，四边形DEFC 是直角梯形，
19．（12分）某教育主管部门到一所中学检查高三年级学生的体质健康情况，从中抽取了n 名学生的体质测试成绩，得到的频率分布直方图如图1所示，样本中前三组学生的原始成绩按性别分类所得的茎叶图如图2所示．
（1）求n ，a ，b 的值；
（2）估计该校高三学生体质测试成绩的平均数x 和中位数m ；
（3）若从成绩在[)40,60的学生中随机抽取两人重新进行测试，求至少有一名男生的概率．
【答案】（1）40n =，0.03a =，0.005b =；（2）74x =，75m =；（3
【解析】（1）由茎叶图可知分数在[)50,60的有4人， ，2
0.0051040
b ==⨯，
()100.0050.010.020.0250.011a ⨯+++++=，解得0.03a =．
（2
由()100.0050.0100.020⨯++()700.030.5m +-⨯=，得75m =． （3）两名男生分别记为1B ，2B ，四名女生分别记为1G ，2G ，3G ，4G ，
从中任取两人共有()12,B B ，()11,B G ，()11,B G ，()12,B G ，()13,B G ，()14,B G ，()21,B G ，()22,B G ，
()23,B G ，()24,B G ，()12,G G ，()13,G G ，()14,G G ，()23,G G ，()24,G G ，()34,G G ，共
15
种结果，至少有一名男生的结果有()12,B B ，()11,B G ，()12,B G ，()13,B G ，()14,B G ，()21,B G ，
()22,B G ，()23,B G ，
()24,B G ，共9种结果，
20．（12分）已知()2,0A -，()2,0B ，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为34
-． （1）求动点C 的轨迹方程；
（2）设直线l 与（1）中轨迹相切于点P ，与直线4x =相交于点Q ，判断以PQ 为直径的圆是否过
x 轴上一定点？
【答案】（1）()22
1043
x y y +=≠；
（2）()1,0． 【解析】（1）设(),C x y ，则依题意得3
4
AC BC k k ⋅=-
，又()2,0A -，()2,0B ，所以有 ()30224y y y x x ⋅=-≠+-，整理得()22
1043
x y y +=≠，即为所求轨迹方程． （2）法1：设直线l ：y kx m =+，与223412x y +=联立得
()2
23412x kx m ++=，即()2223484120k x kmx m +++-=，
依题意()(
)()
2
2
2
84344120km k m
∆=-+-=，即2234k m +=，
∴122834km x x k -+=+，得12
2
434km
x x k -==+， ∴2243,3434km m P k k -⎛⎫
⎪
++⎝⎭，而22
34k m +=，得43,k P m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭
，又()4,4Q k m +， 设(),0R t 为以PQ 为直径的圆上一点，则由0RP RQ ⋅=， 得()43,4,40k
t t k m m
m ⎛⎫--⋅-+= ⎪⎝⎭，整理得()241430k t t t m -+-+=，
由
k m
的任意性得10t -=且2
430t t -+=，解得1t =， 综上知，以PQ 为直径的圆过x 轴上一定点()1,0． 法2：设()00,P x y ，则曲线C 在点P 处切线PQ ：
00143
x x y y
+=，令4x =，得 00334,x Q y ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，设(),0R t ，则由0RP RQ ⋅=得
()()004330x t t x -⋅-+-=，即()201430t x t t -+-+=，
由0x 的任意性得10t -=且2
430t t -+=，解得1t =，
综上知，以PQ 为直径的圆过x
轴上一定点()1,0． 21．（12 （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若(]0,e
x ∈，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2
【解析】（1）由题得，()f x 的定义域为()0,+∞，()22
11
a ax f x x x x
='-=-， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，故()f x 在区间()0,+∞上单调递减，无递增区间； 当0a >，由()0f x '<，得，由()0f x '>，得 所以()f x 的单调递减区间为
（2）若(]0,e x ∈，()0f x ≥恒成立， 即()f x 在区间(]0,e 上的最小值大于等于0， 由（1）可知，当0a ≤时，()0f x '<恒成立， 即()f x 在区间(]0,e 上单调递减， 故()f x 在区间(]0,e
上的最小值为
当0a >时， 时，()0f x '≤对(]0,e x ∈恒成立， 所以()f x 在区间(]0,e 上单调递减， 则()f x 在区间(]0,e 上的最小值为 显然()f x 的区间(]0,e 上的最小值大于等于0成立．
所以()f x 在区间(]0,e 上的最小值为 ，得1ln 0a -≥，解得e a ≤，即 综上所述，实数a 的取值范围是
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程是：
()
2
2510x y -+=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）设过原点的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且2AB =，求直线l 的斜率． 【答案】（1）210cos 150ρρθ-+=；（2）3
4
k =±
． 【解析】（1）曲线C ：()2
2
510x y -+=，即2210150x y x +-+=，
将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入得，曲线C 的极坐标方程为210cos 150ρρθ-+=．
（2）法1：由圆的弦长公式2222r d -
=及2
10r =，得圆心()5,0C 到直线l 距离3d =，
如图，在Rt OCD △中，易得3tan 4DOC ∠=
，可知直线l 的斜率为3
4
±．
法2：设直线l ：cos sin x t y t αα
==⎧⎨
⎩（t 为参数）
，代入()22
510x y -+=中得 ()
()2
2
cos 5sin 10t t αα-+=，整理得2
10cos 150t t α-+=，
由2AB =得122t t
-=2=，
解得4
cos 5α=±
，从而得直线l 的斜率为3tan 4
α=±． 法3：设直线l ：y kx =，代入()2
2
510x y -+=中得
()()
22
510x kx -+=，即()22110150k x x +-+=，
由2AB =122x -=2=，
解得直线l 的斜率为34
k =±
． 法4：设直线l ：y kx =，则圆心()5,0C 到直线l
的距离为d =
由圆的弦长公式2=及2
10r =，得圆心()5,0C 到直线l 距离3d =，
3=，解得直线l 的斜率为34
k =±
． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()3f x x x x =--∈R ． （1）求()f x 的最大值m ；
（2）设a ，b ，c +
∈R ，且234a b c m ++=，求证：111
3234a b c
++≥． 【答案】（1）3m =；（2）证明见解析．
【解析】（1）法1：由()3,023,0 3 3,3x f x x x x -≤⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
知()[]3,3f x ∈-，即3m =．
法2：由三角不等式()333f x x x x x =--≤-+=得，即3m =．
法3：由绝对值不等式的几何意义知()[]()33,3f x x x x =--∈-∈R ，即3m =． （2）法1：∵()2343,,0a b c a b c ++=>，
∴
()11111
112342343234a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭
1232434333324243a b a c b c b a c a c b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
． 当且仅当234a b c ==，即12a =
，13b =，14c =时取等号，即
111
3234a b c
++≥． 法2：∵()2343,,0a b c a b c ++=>， ∴由柯西不等式得
3=≤
整理得1113234a b c ++≥，当且仅当234a b c ==，即12a =，13b =，1
4
c =时取等号．。