排列组合典型题汇总

排列组合典型题汇总
排列、组合题型与解题⽅法
撰写⼈：胡清涛
⼀：可重复排列求幂法
1、有4名同学报名参加，数学、物理、化学三科竞赛，每⼈限报⼀科，有多少种不同的报名⽅法？
解析：本题题意是让4同学选择3个科⽬，⼈是主动的，科⽬是被选的是被动的，于是完成这件事，需要4个步骤
第⼀步：同学甲从3个科⽬中选择⼀科有3种选择。

第⼆步：同学⼄从3个科⽬中选择⼀科有3种选择。

第三步：同学丙从3个科⽬中选择⼀科有3种选择。

第四步：同学丁从3个科⽬中选择⼀科有3种选择。

完成这件事共有4
33333=种⽅法
2、有4名学⽣参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，多少种不同的结果？解析：每科的冠军都产⽣于这4名同学中，所以3科竞赛的冠军是主动的，⽽4名同学是被选的，是被动的。

于是完成这件事，分3个步骤
第⼀步：数学科⽬的冠军是从4名同学中选1名有4种选择
第⼆步：物理科⽬的冠军是从4名同学中选1名有4种选择
第三步：化学科⽬的冠军是从4名同学中选1名有4种选择
完成这件事共有34444??=种⽅法
解决这种问题的关键在于分清哪个是主动哪个是被动，再按照分步计数原理的⽅法将每个步骤中的⽅法数相乘，从⽽得到所求结果。

3、将3封不同的信投⼊4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 34
4、把6名实习⽣分配到7个车间实习共有多少种不同⽅法？ 67
5、8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有多少种？ 38
6、⼀个六位的密码，每⼀位都是由0到9⼗个数字中的⼀个所构成，⼀
共能组成多个密码？ 6
10
⼆：多排问题单排法
12、6个⼈排成前后两排，每排3个元素，有多少种不同的排法？
解析：6个⼈站成两排每排三个，可以看做是将6个⼈排成⼀列，再从中
间断成两段，分为前后两排，因此：
总的排法数为66720A =种
另解：第⼀步排列前排：从6个⼈中选出3个⼈排列，即36A
第⼆步排列后排：剩余的3个⼈排列，即33A
总的排法数为3363720A A ?=种
13、6个⼈排成前后两排，前排2⼈，后排4⼈，有多少种不同的排法？
解析：第⼀步前排：从6个⼈中选出2个⼈排列，即26A
第⼆步后排：剩余的4⼈排列，即44A
总的排法数为246646
654321A A A ?==相当于6⼈排成⼀直排.
14、把15⼈分成前后三排，每排5⼈，有多少种不同的排法？
解析：第⼀步前排：5
151514131211A =
第⼆步中排：510109876A =
第三步后排：5554321A = 总排法数为55515
15105151514321A A A A ??== 种
15、把15⼈分成前、中、后三排，前排4⼈，中排5⼈，后排6⼈，有
多少种不同的排法？
解析：第⼀步前排：41515141312A =
第⼆步中排：5111110987A =
第三步后排：66654321A =
总排法数为4561515116151514321A A A A ??== 种
以上问题都是求“将n 个元素排成若⼲排”的问题，有上⾯各题的难
得出这样的结论：“⽆论排成⼏排，⽆论每排中元素有⼏个，都可以当做
将这n 个不同的元素排成⼀个直排来看待”
16、8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，，有多少种不同排法？88
A
17、8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排
在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
解析：先按照排成⼀排来看待，则相当于有⼋个位置。

如图：—— —— —— —— ︱ —— —— —— ——
左边4个位置相当于前排,右边4个位置相当于后排，先从前排的4个位置
中选择两个位置排列这两个⼈，即24A ；再从右边的4个位置选择⼀个位置排列另外1⼈，即14A ；其余的5个⼈随便排列，即55A
总的排法数为24A 14A 55
A
三、相同元素的分配问题隔板法
18、10个三好学⽣名额分到7个班级，每个班级⾄少⼀个名额，有多少种不同分配⽅案？
解析：本题题意就是将10个名额，分给7个班级，每班都能分到名额。

由
于名额与名额之间⽆任何差别。

因此本题即是10个相同的元素分成7堆。

具体操作如下：。

这10个⼩圆圈就相当于10个相同的元素，可以想象将⽊板插在这10个元
素之间空当中，就可以将这10个元素分成若⼲份。

本题中要求分成7分，所以只需要6块⽊板就可以了，10个元素之间
形成了9个空，所以只需将这6块⽊板插到这9个空中即可。

⼀种⽊板的
插⼊⽅式就对应着⼀种名额的分配⽅式。

因此有多少种插法就有多少种分
配⽅法。

于是：
不同分配⽅案共有39C 种。

能够⽤“隔板法“解决的拍列组合问题是：“对n 个相同的元素分成
m 份”。

这⾥要特别注意的是:“所研究的元素必须是相同的。

”
19、某校要组建⼀个12⼈的篮球队，这12个⼈分别由8个班的学⽣组成，
每班⾄少⼀名，共有多少种选派⽅案？ 711C
20、6名同学带13瓶百事去春游，每⼈⾄少带⼀瓶，有多少种不同的带法？
512
C 21、⽅程 8x y z ++= 正整数解有多少组？ 27C
22、把20个相同的球全放⼊编号分别为1，2，3的三个盒⼦中，要求每
个盒⼦中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？
解析：由题意可知，1号盒⾥⾄少放1个球；2号盒⾥⾄少放2个球；3号
盒⾥⾄少放3个球。

要保证上述条件只需先将1号盒⾥放0个球；
2号盒⾥放1个球；3号盒⾥放2个球，其余的17个球在进⾏隔板，
即:将17个球⽤2块⽊板隔成3分。

C种不同的放法。

共有2
16
23、25个相同的⼩球，分别投到编号为1、2、3、4的四个盒⼦中，要求
C 每个盒⼦中的球数不少于盒⼦的编号数，有多少种不同的⽅法？3
19
四、相邻问题捆绑法
24、A、B、C、D、E五⼈站成⼀排，其中A、B必须相邻，有多少种不同的
排法？
解析：既然A、B必须相邻，则把它们捆绑到⼀起看成是⼀个元素，这样⼀来五个⼈可以看成是4个元素排列，但是在捆绑A、B的时候，⼆者也有顺序，所以在捆绑的同时也要把A、B进⾏排列。

A A
总的排法数为24
25、A、B、C、D、E五⼈站成⼀排，其中A、B必须相邻，且A必须在B的
左边，有多少种不同的排法？
解析：分析⽅法同上题相同，唯⼀不同的是在本题中，捆绑A、B的同时不需要对A、B进⾏排列，因为A必须在B的左边，这实际上已经确定了A、B的顺序，所以本题直接将5个⼈看成是4个不同的元素排列。

A
总的排法数为4
4
在解决两个或多个元素相邻问题时我们选择“捆绑法”，在捆绑的时候要注意，“被捆绑的的元素与元素之间是否有顺序，如果有则需要在捆绑的同时，先将元素排列。

”
26、3名男⽣5名⼥⽣站成⼀排，3名男⽣必须站在⼀起，有多少种不同
A A
的排法36
36
27、4名男⽣和3名⼥⽣并坐在⼀起，男⽣相邻，⼥⽣也相邻，共有多少
A A A
种不同的坐法？342
342
五、不相邻问题插空法
28、七⼈并排站成⼀⾏，如果甲⼄两个必须不相邻，有多少种不同的排法？解析：由于甲⼄两⼈不相邻，除去甲⼄还有5个⼈，先将这5个⼈排列，此时5个⼈之间包括两端共有6个空位，将甲⼄两个元素分别插⼊到这6个空中即可。

A A
总排法数为52
56
29、4名男⽣，3名⼥⽣，站成⼀排，3名⼥⽣互不相邻，有多少种不同排
法？
解析：仿照上题，3名⼥⽣不相邻，则先排列4名男⽣，4名男⽣之间包括两端共有5个空位，再将3名⼥⽣分别插⼊到这5个空位中。

A A
总排法数为43
45
在解决两个或多个元素不相邻问题时我们选择“插空法”，需要注意的是：“在插空时是⽤不相邻的元素去插其他元素的空”
30、4名男⽣，3名⼥⽣，站成⼀排，男⼥⽣相间，有多少种不同排法？解析：“男⼥⽣相间”即是“男⽣不相邻⼥⽣也不相邻”A；再把3个⼥⽣插空，但此时的插空同上题不同的先排4个男⽣4
4
是，⼥⽣能可以选择的空位只能是中间的3个空，不能选择两端的两个空，因为如果选择了两端的两个空位，必然会使其中的两名男
⽣相邻，即3
3
A A
总的排法数为43
43
本题中应当注意的是，“男⽣⼥⽣相间”的意思是“男⽣不相邻且⼥⽣也不相邻”，此时插空时要注意不能选择两端的两个空位。

31、4名男⽣，4名⼥⽣，站成⼀排，男⼥⽣相间，有多少种不同排法？
解析：本题也是男⼥⽣相间问题，但与上题不同的是：男⽣⼈数与⼥⽣⼈数相等，则先把男⽣和⼥⽣分别排列，再插空。

如下图：
男男男男
⼥⼥⼥⼥
或
⼥⼥⼥⼥
男男男男
2A A
总的排法数为44
44
如果男⽣⼥⽣⼈数相同时，要求那⼥相间，要注意有两种不同的情况，⼀是男⽣打头，⼆是⼥⽣打头。

31、⽤1、2、3、4、5五个数字组成没有重复数字的五位数，且1、2不
相邻，这样的五位数共有多少个？
32
A A
34 32、班学要安排毕业晚会的4各⾳乐节⽬，2个舞蹈节⽬和1个曲艺节⽬
的演出顺序，要求两个舞蹈节⽬不连排，有多少种不同排法？
52
A A
56 33、在马路上有编号为1、2、3、4、5、6、7、8、9的九盏路灯，为了节
约⽤电需要关掉其中的3盏路灯，但是不能关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，共有多少种不同的关灯⽅法？
解析：关掉其中的三盏，则还有六盏灯亮着，那么我们只需⽤三盏关掉的路灯，去插亮着的六盏灯的空，由于要求不能关掉两端的两盏，所
以，只能选择六盏亮着的路灯之间的5个空，另外我们要知道，关
掉的路灯之间没有区别，亮着的路灯之间也没有区别，所以灯与灯
之间没有顺序，于是：
C
关灯的⽅法共有3
34、3个⼈坐在⼀排8把椅⼦上，若每个⼈的两边都有空位，共有多少种不同的坐法？
，○*○*○*○，解析：解法1、先将3个⼈（各带⼀把椅⼦）全排列有A3 3
在四个空中分别放⼀把椅⼦，还剩⼀把椅⼦再去插空有A1
种，所以每个
4
⼈左右两边都空位的排法有331
4A A =24种.
解法2：先拿出5个椅⼦排成⼀排，在5个椅⼦中间出现4个空，
*○*○*○*○*再让3个⼈每⼈带⼀把椅⼦去插空，于是有A 3
4=24种.
六：捆绑法和插空法的综合问题
35、4名男⽣和3名⼥⽣站成⼀排，要求3名⼥⽣中有2名站在⼀起，有
多少种不同的站法？
422435A A A
36、停车场划出⼀排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在⼀起，不同的停车⽅法有多少种？
8189A A
37、停车场划出⼀排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求4个空车位中的3个空车位连在⼀起，不同的停车⽅法有多少种？
832849A C A
38、某⼈射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在⼀起的情形有多
少种？
25A
39、计划展出10幅不同的画,其中1幅⽔彩画,４幅油画,５幅国画, 排成
⼀⾏陈列,要求同⼀品种的必须连在⼀起，并且⽔彩画不在两端，那
么共多少种陈列⽅式
254254A A A
七：特殊位置、特殊元素优先法
40、由1,2,3,4,5，6可以组成多少个没有重复数字五位奇数？
解析：我们要构造的是个五位奇数，所以个位数字只能是1、3、5中的⼀个来充当。

也就是说我们要构造的五位数的个位是特殊的，所以我
们要先解决这个特殊位置，也就是先给个位选数字，即1
3C ；接下来
给剩余的4个数位选数字，由于我们已经从1、3、5中选出了⼀个数字，所以还有5个数字可供选择，⼜因为构造⼀个五位数，其实就是给数字排队，所选的数字之间是有顺序的，所以是从剩余的5
A
个数字中选择4个进⾏排列，即4
5
C A个
这样的五位数⼀共有14
35
41、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数？
解析：本题也是构造五位奇数但上题不同的是，五个数字有⼀个是0，⽽且我们还知道，五位数的⾸位不能是0，所以我们所构造的五位数中⾸位
C；接下来选⾸位数字，1、3、5三个数和末位都是特殊位置，先选末位1
3
字被选出了⼀个数字，还剩下5个数字，且这5个数字中有⼀个是0，因
C；最后给中间的三个数位此⾸位的选择只能从4个数字中选择⼀个，即1
4
选数字，中间的三个数位没有特殊要求，选什么数字都可以，⼀共6个数
A
字，⾸位和末位个占去了⼀个数字，还成4个数字可供选择，即3
4
C C A个
这样的五位数⼀共有113
344
42、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位偶数？
解析：要构造⼀个五位偶数，则个位数字必须从0、2、4中选择⼀个，我们知道0是不能在⾸位的，但如果末位选择的是0，那么⾸位就不⽤特殊考虑了，⽽末位选择的不是0，则需要对⾸位特殊考虑，在本题中不但位置有特殊，元素也有特殊，因此本题应该分为两种情况：
⑴末位数字是0：
此时的前4位不⽤担⼼0会出现在⾸位，所以直接从除0以外的
A个。

5个数字中选4个进⾏排列，即有4
5
⑵末位数字不是0：
末位不是0，则末位是从2、4中选⼀个，即12C ；⾸位不能是0，
所以只能从剩余的4个数字中选⼀个，，即14C ；中间三个数位的
数字可以⾃由选择并排列，，即34A 。

则共有113244C C A 个。

综上这样的五位数共有41135244A C C A 个
上述问题的特点是，在某些位置或某些元素有特殊要求时要优先解决，
解决完特殊，再解决没有特殊要求的位置或是元素。

43、1名⽼师和4名获奖同学排成⼀排照相留念，若⽼师不站两端则有不同的排法有多少种？
1434C A
44、7种不同的花种在排成⼀列的花盆⾥,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆⾥，问有多少不同的种法？
2565A A
45、2010年⼴州亚运会组委会要从⼩张、⼩赵、⼩李、⼩罗、⼩王五名志愿者中选派四⼈分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同⼯作，若
其中⼩张和⼩赵只能从事前两项⼯作，其余三⼈均能从事这四项⼯
作，则不同的选派⽅案共有多少种
2233A A
46、有七名学⽣站成⼀排，甲不排在⾸位也不排在末位的排法有多少种？1656C A
47、有七名学⽣站成⼀排，甲不排在⾸位，⼄不排在末位的排法有多少种解析：本题采取“遇难则反”的解题思维。

即：
在总的排法数中减去不符合题意的排法数，就是所求问题的排法数
总的排法数：77A
不符合题意的排法：①甲在⾸位：66A
②⼄在末位：66A
总的排法数—不符题意的排法数 = 77A —66A —66A ，
甲在⾸位的情况中包含了“甲在⾸位且⼄在末位”
⼄在末位的情况中包含了“⼄在末位且甲在⾸位”
于是77A —66A —66A 中把“甲在⾸位且⼄在末位”的情况减了两次
所以需要加回⼀个“甲在⾸位且⼄在末位”的情况。

“甲在⾸位且⼄在末位”的情况数为：55A
本题所求的排法数为77A —66A —66A ＋55A
另解：
分类：（1）甲在末位，则剩余的6个⼈（包括⼄）可以随便排列66A （2）甲不在末位，则甲的位置只能从5个位置中选1个15C ，⼄的位
置也是从5个位置中选1个15C ，其余的5个⼈随便排列55A ，
在此类中的排法数为15C 15C 55
A 总的排法数为66A +15C 15C 55
A
附加题：某⾼校从某系的10名优秀毕业⽣中选4⼈分别到西部四城市参
加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，⼄不到西宁，共有多少
种不同派遣⽅案？
解析：因为甲⼄有限制条件，所以按照是否含有甲⼄来分类：
①若甲⼄都不参加，则有派遣⽅案4
8A 种；
②若甲参加⽽⼄不参加，先安排甲有3种⽅法，然后安排其余学⽣有38A ⽅法，所以共有383A ；
③若⼄参加⽽甲不参加同理也有383A 种
④若甲⼄都参加，则先安排甲⼄，有7种⽅法，然后再安排其余8⼈到另
两个城市有28A 种，共有287A ⽅法.所以共有不同的派遣⽅法总数为433288883374088
A A A A +++=种
⼋：定序问题
48、已知A 、B 、C 、D 、E 五个⼈站成⼀排，B 必须站在A 的左边，（A 、B 可以不相邻）共有多少种不同的排法？
解析：因为五⼈排队，则⼈与⼈之间是有顺序的，所以这是⼀个排列问题，
⽽题中说B 必须站在A 的左边因此，A 、B 的顺序是确定的不需要再
排列了。

因此解决该问题有两种⽅法。

⽅法⼀：
五⼈站成⼀排，则需要5个位置，由于A 、B 的顺序确定，则先不
考虑A 、B 。

直接排C 、D 、E 三⼈，即从五个位置中选三个位置排列这三
个⼈，即35A 种排法，当排完这三⼈之后，必然会给A 、B 剩下两个位置
,由于A 、B 位置关系是确定的，则不需要再排列。

共有3560A =种排法
⽅法⼆：
先不考虑A 、B 顺序已经确定这⼀问题，把五个⼈全排列，即55A ，
接下来在考虑A 、B 顺序已经确定这⼀问题，既然⼆者的顺序已经确定了那
么在55A 中把A 、B ⼜进⾏了排列，也就是多排了22A 倍，因此：
总的排法数为5522
60A A =种
定序问题中，有些元素的顺序已经固定了，不需要再排列，我们只需
要排列那些顺序不固定的元素即可。

49、书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，
有多少种不同的插法？
3
9A 或 9966
A A 50、将A 、
B 、
C 、
D 、
E 、
F 这6个字母排成⼀排，若A 、B 、C 必须按A 在
前，B 居中，C 在后的原则（A 、B 、C 允许不相邻），有多少种不同的排
法？
3
6A 或 6633
A A 51、某⼯程队有6项⼯程需要先后单独完成，其中⼯程⼄必须在⼯程甲完
成后才能进⾏、⼯程丙必须在⼯程⼄完成后才能进⾏、⼜⼯程丁必须
在⼯程丙完成后⽴即进⾏。

那么安排这6项⼯程有多少种不同安排⽅
法？
3
6A 或 6633
A A 52、某班新年联欢会原定的5个节⽬已排成节⽬单，开演前⼜增加了2个
新节⽬，如果将这两个新节⽬插⼊原节⽬单中，那么有多少种不同的
插法种数？
27
A 或 7755A A 53、某式春节晚会原定10个节⽬，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的的新节⽬，但是赈灾节⽬部不排在第⼀个也不排在最后⼀个，
并且原定的10个节⽬相对顺序不变，有多少种不同的排法？
311A
54、⼈⾝⾼各不相等,排成前后排，每排5⼈,要求从左⾄右⾝⾼逐渐增共
有多少排法？
510
C 九：涂⾊问题
55、⽤6种颜⾊给图中4个格⼦涂⾊，每个格⼦涂⼀种颜⾊，要求相邻两
解析：
⽅法⼀：逐⼀涂⾊
此时要分析1号格与3号格颜⾊是相同还是不同，因为1号格与3号
格颜⾊是否相同直接影响了4号格颜⾊的选择，所以分为两种情况：
第⼀种情况：1号格与3号格同⾊
1号格有6种颜⾊可供选择，即16C 。

由于相邻两个格⼦不能⽤同⼀种颜⾊，所以:
2号格有5种颜⾊可供选择，即15C 。

由于3号格与1号格同⾊，所以3号格的颜⾊已确定不需选。

4号格的颜⾊只要不与3号格颜⾊相同即可，因此：
4号格有5种颜⾊可供选择，即15C
第⼀种情况的涂⾊⽅案有16C 15C 15
C 种第⼆种情况：1号格与3号格异⾊
1号格有6种颜⾊可供选择，即16C 。

由于相邻两个格⼦不能⽤同⼀种颜⾊，所以:
2号格有5种颜⾊可供选择，即15C 。

3号格与1号格颜⾊不同，与2号格颜⾊也不同，所以：
3号格有4种颜⾊可供选择，即14C
4号格与1号格和3号格颜⾊都不同，所以：
4号格有4种颜⾊可供选择，即14C
第⼆种情况的涂⾊⽅案有16C 15C 14C 14
C 种总的涂⾊⽅案共有16C 15C 15C +16C 15C 14C 14
C ≒630种⽅法⼆：⽤颜⾊来分类
第⼀类：⽤4种颜⾊
从6种颜⾊中选出4种颜⾊排列即可，即46A 种
第⼆类：⽤3种颜⾊
⽤3种颜⾊时，四个格⼦中必须有两个格⼦颜⾊相同，在四个格
⼦中颜⾊相同的，有两种可能：“1号和3“号同⾊或”2号4号
同⾊”，⽤3种颜⾊的涂⾊⽅案为1326C A 种
第三类：⽤2种颜⾊
⽤2种颜⾊时，只要“1号和3号同⾊”同时“2号与4号也同⾊”
于是⽤2种颜⾊的涂⾊⽅案为26A 种
总的涂⾊⽅案为46A ＋1326C A ＋26A ≒630种
56、⽤5种颜⾊给下⾯五个区域涂颜⾊，要求相邻区域不能⽤同⼀种颜⾊，共有多少种不同的涂⾊⽅案？
⽅法⼀：
第⼀类:2、4同⾊ 5×4×3×1×3＝180
第⼆类:2、4异⾊ 5×4×3×2×2＝240
涂⾊⽅案总数为180+240=420
⽅法⼆：
第⼀类：⽤5种颜⾊ 55A
第⼆类：⽤4种颜⾊ 1425C A
第三类：⽤3种颜⾊ 35A
涂⾊法案总数为55A +1425C A +35A =420
57、⼀花坛分为A 、B 、C 、D 四块区域，现有4种不同的花卉可供选则，每块区域种⼀种花卉，相邻两块不能种同⼀种，有多少种不同的种花⽅案。

84
58、将如图的四棱锥的每个顶点涂⾊，要求同⼀条棱上的两个顶点不能⽤同⼀种颜⾊，现有5种颜⾊可供选择，共有多少种不同的着⾊⽅案？
59、某⼈有4种颜⾊的灯泡（每种颜⾊的灯泡⾜够多），要在如图所⽰的
6个点A 、B 、C 、A 1、B 1、C 1上各装⼀个灯泡，要求同⼀条线上的灯泡不能同⾊，每种颜⾊的灯泡⾄少⽤⼀个，有多少种不同的安装⽅式？
解析：
先确定A 、B 、C 的的颜⾊，有3
4A 种，第四种颜⾊的灯可能安装在A 1、B 1、
C1三处中的⼀处，有1
3
C种（例如把第四种颜⾊放在C1处），下⾯给A1、B1选择颜⾊，由于A1与B不在同⼀条棱上，所以分两种情况：A1与B同⾊：则A1处没有选择只能和B颜⾊相同，B1处有两种颜
⾊可选，此时有2种情况。

A1与B异⾊：则A1处只有⼀种颜⾊可选，B1处也只有⼀种颜⾊可供选择，此时只有1种情况
不同的安装⽅法有31
43(21)216
A C+=种
60、⽤四种不同的颜⾊给图中A、B、C、D、E、F六个点涂⾊，要求每个
点涂⼀种颜⾊，线段的两个端点涂不同颜⾊，有多少种的涂⾊⽅案？
解析：
1.⽤四种颜⾊
先确定A、D、E的颜⾊，即3
4
A种。

再确定第四种颜⾊的位置：有1
3
C种。

（假设第四种颜⾊的位置在F处）接下来确定B、C的颜⾊：①,B、D同⾊，B点颜⾊与D颜⾊相同所以没
有选择，则C处有2种颜⾊可供选择，因
此有2种选择。

②,B、D异⾊，B点只有1种颜⾊可供选择，C处也只有1种颜⾊可供选
择。

⽤“四种颜⾊”的涂⾊⽅案有31
43(21)216
A C+=种。

2.⽤三种颜⾊
先从4种颜⾊中选3种颜⾊: 34C 种。

确定A 、D 、E 的颜⾊，即33A 种。

给B 涂⾊：
①若B 、E 颜⾊相同，则B 、D 颜⾊不同，所以C 、A 同⾊，
则F 的颜⾊只有1中选择，即F 、D 同⾊。

因此B 、E 同⾊时，只有1种情况。

②若B 、D 颜⾊相同，则B 、E 颜⾊不同，所以F 、A 同⾊，
则C 的颜⾊只有1种选择，即C 、E 同⾊。

因此B 、D 同⾊时，只有1种情况。

⽤“四种颜⾊”的涂⾊⽅案有3343(11)48C A +=
综上涂⾊⽅案共有216 + 48 = 264种
⼗：多⾯⼿问题
61、某公司的11⼈中，有4⼈只会唱歌，4⼈只会跳舞，另有3⼈既会唱
歌⼜会跳舞，现要从这11⼈中选出3⼈唱歌，3⼈跳舞，共有多少种不同的选法？
解析：以多⾯⼿参加某⼀项活动来分类，中途不能改变分类标准。

第⼀类，3个多⾯⼿没有⼈去跳舞跳舞的⼈只能从“只会跳舞的4个⼈”中选3个，即34C 种；因
为3个多⾯⼿都没去跳舞，所以能唱歌的⼈有7⼈，选唱歌的⼈有37C 种。

共有34C 37
C 种第⼆类，3个多⾯⼿中有1⼈去跳舞
有1个多⾯⼿去跳舞，即13C ；剩余的2个跳舞的⼈只能从“只会
跳舞的4个⼈”中选2个⼈，即24C ；此时能唱歌的⼈共有6个⼈，所以唱
歌的3⼈是从6个⼈中选3个，即36C 。

共有13C 24C 3
6C 种
第三类，3个多⾯⼿中有2⼈去跳舞
有2个多⾯⼿去跳舞，即23C ；剩余的1个跳舞的⼈只能从“只会
跳舞的4个⼈”中选1个⼈，即14C ；此时能唱歌的⼈共有5个⼈，所以唱
歌的3个⼈是从5个⼈中选3个，即35C 。

共有23C 14C 35
C 种第四类，3个多⾯⼿中3⼈都去跳舞
跳舞的3个⼈，只能选择3个多⾯⼿，即33C ，由于3个多⾯⼿都
去跳舞了，所以唱歌的⼈只能从“只会唱歌的4个⼈”中选3个，即34C
共有3334C C 种
总的选法数为34C 37C +13C 24C 36C +23C 14C 35C +3334C C
62、某车间中有5⼈会钳⼯，有3⼈会车⼯，2⼈即会钳⼯⼜会车⼯，要
从这10个⼈中选3⼈去钳⼯，2⼈去车⼯有多少种不同的选法？
解析：2个多⾯⼿没有⼈去钳⼯：3255C C
2个多⾯⼿有1⼈去钳⼯：122254C C C
2个多⾯⼿都去钳⼯：212253C C C
共有3255C C +122254C C C +122254C C C 种
63、有11名外语翻译⼈员，其中5名是英语译员，4名是⽇语译员，另外
2名是英、⽇语均精通，从中找出8⼈，使他们可以组成翻译⼩组，其中4⼈翻译英语，另4⼈翻译⽇语，这两个⼩组能同时⼯作，问这样的8⼈名单可以开出⼏张？
64、在⼀次演唱会上共10名演员,其中8⼈能唱歌,5⼈会跳舞,现要演出
⼀个2⼈唱歌2⼈伴舞的节⽬,有多少选派⽅法
解多⾯⼿问题的关键在与分类，分类的⽅法是：“按多⾯⼿中有⼏个⼈参加某⼀项活动”为标准来分类。