【精编】2013-2014年河南开封市高一(上)数学期末试卷及答案

2013-2014学年河南省开封市高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5.00分）已知全集I={0，1，2，3，4}，集合M={1，2，3}，N={0，3，4}，则（∁I M）∩N=（）A．∅B．{3，4}C．{1，2}D．{0，4}2．（5.00分）已知直线的倾斜角为45°，在y轴上的截距为2，则此直线方程为（）A．y=x+2 B．y=x﹣2 C．y=﹣x+2 D．y=﹣x﹣23．（5.00分）在区间[3，5]上有零点的函数是（）A．f（x）=2x﹣4 B．f（x）=﹣x3﹣3x+5 C．f（x）=2xln（x﹣2）﹣3 D．4．（5.00分）某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为5的等腰三角形、则该儿何体的体积为（）A．24 B．80 C．64 D．2405．（5.00分）已知函数，则的值是（）A．9 B．C．D．﹣96．（5.00分）直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线是（）A．3x﹣2y+2=0 B．2x+3y+7=0 C．3x﹣2y﹣12=0 D．2x+3y+8=07．（5.00分）已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）A．B．C．D．8．（5.00分）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a，b与α所成的角相等，则α∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b9．（5.00分）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0相交，则圆C1与圆C2的公共弦长为（）A．B．C．D．10．（5.00分）Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则三棱锥A﹣BCO的体积是（）A．32 B．64 C．96 D．12811．（5.00分）由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B．2 C．D．312．（5.00分）已知点P（a，b）（ab≠0）是圆O：x2+y2=r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax+by=r2，则（）A．m∥n且n与圆O相离B．m∥n且n与圆O相交C．m与n重合且n与圆O相离 D．m⊥n且n与圆O相离二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5.00分）在z轴上与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离的点C 的坐标为．14．（5.00分）设圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=4，过点（﹣1，﹣1）作圆的切线，则切线方程为．15．（5.00分）定义在R上的奇函数y=f（x），当x＞0时，y=f（x）单调递减，且f（1）•f（2）＜0，则y=f（x）的零点个数是．16．（5.00分）若函数满足对任意x1≠x2都有成立，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+（a﹣2）y+a=0．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．18．（12.00分）已知一个四棱锥P﹣ABCD的三视图（正视图与侧视图为直角三角形，俯视图是带有一条对角形的正方形）如下，E是侧棱PC上的动点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）是否不论点E在何位置都有BD⊥AE，证明你的结论．19．（12.00分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0．当直线l被圆C截得的弦长为时，求（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．20．（12.00分）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面PAD．（Ⅱ）若CM=PM，MN⊥AB，证明：平面PAD⊥平面PDC．21．（12.00分）已知函数．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性和单调性．（Ⅱ）若f（x）＜0，求x的范围．22．（12.00分）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．2013-2014学年河南省开封市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5.00分）已知全集I={0，1，2，3，4}，集合M={1，2，3}，N={0，3，4}，则（∁I M）∩N=（）A．∅B．{3，4}C．{1，2}D．{0，4}【解答】解：∵全集I={0，1，2，3，4}，集合M={1，2，3}，N={0，3，4}，∴C I M={0，4}，∴（C I M）∩N={0，4}．故选：D．2．（5.00分）已知直线的倾斜角为45°，在y轴上的截距为2，则此直线方程为（）A．y=x+2 B．y=x﹣2 C．y=﹣x+2 D．y=﹣x﹣2【解答】解：∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为k=tan45°=1，由斜截式可得方程为：y=x+2，故选：A．3．（5.00分）在区间[3，5]上有零点的函数是（）A．f（x）=2x﹣4 B．f（x）=﹣x3﹣3x+5 C．f（x）=2xln（x﹣2）﹣3 D．【解答】解：要使函数f（x）在区间[3，5]上有零点，需f（3）f（5）≤0．对于A中的函数，由于函数在区间[3，5]上单调递增，且f（3）=23﹣4=4＞0，故函数在区间[3，5]上无零点．对于B中的函数，由于函数在区间[3，5]上单调递减，且f（3）=﹣27﹣9+5=﹣31＜0，故函数在区间[3，5]上无零点．对于C中的函数，由于f（3）=0﹣3=﹣3＜0，f（5）=10ln3﹣3＞0，满足f（3）f（5）≤0，故函数在区间[3，5]上有零点．对于D中的函数，由于函数在区间[3，5]上单调递增，且f（3）=﹣+2=＞0，故函数在区间[3，5]上无零点．经过检验，只有C中的函数f（x）=2xln（x﹣2）﹣3满足条件，故选：C．4．（5.00分）某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为5的等腰三角形、则该儿何体的体积为（）A．24 B．80 C．64 D．240【解答】解：结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥的底面是边长为8和6的长方形，棱锥的高是5，∴由棱锥的体积公式得，故选：B．5．（5.00分）已知函数，则的值是（）A．9 B．C．D．﹣9【解答】解：=f（log2）=f（log22﹣2）=f（﹣2）=3﹣2=，故选：B．6．（5.00分）直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线是（）A．3x﹣2y+2=0 B．2x+3y+7=0 C．3x﹣2y﹣12=0 D．2x+3y+8=0【解答】解：直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线，和直线2x+3y﹣6=0平行，排除A、C，在直线2x+3y﹣6=0选特殊点（0，2），它关于点（1，﹣1）对称点（2，﹣4），显然（2，﹣4）不在2x+3y+7=0上．故选：D．7．（5.00分）已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，所以圆锥的底面周长为：2π，圆锥的母线长为：2，圆锥的高为：；圆锥的体积为：π×12×=．故选：A．8．（5.00分）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a，b与α所成的角相等，则α∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b【解答】解：A、直线a，b的方向相同时才平行，不正确；B、用长方体验证．如图，设A1B1为a，平面AC为α，BC为b，平面A1C1为β，显然有a∥α，b∥β，α∥β，但得不到a∥b，不正确；C、可设A1B1为a，平面AB1为α，CD为b，平面AC为β，满足选项C的条件却得不到α∥β，不正确；D、∵a⊥α，α⊥β，∴a⊂β或a∥β又∵b⊥β∴a⊥b故选：D．9．（5.00分）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0相交，则圆C1与圆C2的公共弦长为（）A．B．C．D．【解答】解：∵圆，圆，∴公共弦所在的直线方程为：6x+12y﹣6=0，即x+2y﹣1=0．由圆配方为（x﹣2）2+（y﹣2）2=10，得到圆心C 2（2，2），半径r=．∴圆心C2（2，2）到直线x+2y﹣1=0的距离d==．∴圆C1与圆C2的公共弦长=2==2．故选：B．10．（5.00分）Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则三棱锥A﹣BCO的体积是（）A．32 B．64 C．96 D．128【解答】解：∵Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，∴球心O在Rt△ABC的射影为斜边AC的中点D，即OD⊥面ABC，设AB=6．BC=8，则AC=10，CD=5．∵OC=13，∴∴三棱锥A﹣BCO的体积是．故选：C．11．（5.00分）由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B．2 C．D．3【解答】解：切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为d=，圆的半径为1，故切线长的最小值为，故选：C．12．（5.00分）已知点P（a，b）（ab≠0）是圆O：x2+y2=r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax+by=r2，则（）A．m∥n且n与圆O相离B．m∥n且n与圆O相交C．m与n重合且n与圆O相离 D．m⊥n且n与圆O相离【解答】解：直线m是以P为中点的弦所在的直线∴直线m⊥PO，∴m的斜率为﹣，∵直线n的斜率为﹣∴n∥m圆心到直线n的距离为∵P在圆内，∴a2+b2＜r2，∴＞r∴直线n与圆相离故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5.00分）在z轴上与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离的点C 的坐标为（0，0，）．【解答】解：由题意设C（0，0，z），∵C与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离，∴|AC|=|BC|，∴=，∴18z=28，∴z=，∴C点的坐标是（0，0，）故答案为：（0，0，）14．（5.00分）设圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=4，过点（﹣1，﹣1）作圆的切线，则切线方程为x=﹣1或y=﹣1．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y+3）2=4，可得圆心C（1，﹣3），半径r=2．①过点（﹣1，﹣1）与x轴垂直的直线x=﹣1，∵圆心C（1，﹣3）到直线x=﹣1的距离d=1﹣（﹣1）=2=r，因此此直线是圆的切线；②设过点（﹣1，﹣1）的圆的切线为y+1=k（x+1），化为kx﹣y+k﹣1=0，∴圆心C到直线的距离d=，化为k=0．∴圆的切线为：y=﹣1．综上可得：圆的切线为：x=﹣1或y=﹣1．故答案为：x=﹣1或y=﹣1．15．（5.00分）定义在R上的奇函数y=f（x），当x＞0时，y=f（x）单调递减，且f（1）•f（2）＜0，则y=f（x）的零点个数是3．【解答】解：∵当x＞0时，y=f（x）单调递减，且f（1）•f（2）＜0，∴根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数f（x）存在一个零点，∵函数f（x）是奇函数，∴根据奇函数的对称性可知，在区间（﹣2，﹣1）内函数f（x）也存在一个零点，又∵f（x）在原点处还有一个零点故y=f（x）的零点个数是3个．故答案为：3．16．（5.00分）若函数满足对任意x1≠x2都有成立，则a的取值范围是（0，] ．【解答】解：由题意可得，函数的图象上任意两点连线的斜率都小于零，故函数是定义域内的减函数，∴，解得0＜a≤，故答案为：（0，]．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知直线l1：ax+3y+1=0，l2：x+（a﹣2）y+a=0．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．【解答】解：（1）由l1⊥l2可得：a+3（a﹣2）=0，…4分解得；…6分（2）当l1∥l2时，有，…8分解得a=3，…9分此时，l1，l2的方程分别为：3x+3y+1=0，x+y+3=0即3x+3y+9=0，18．（12.00分）已知一个四棱锥P﹣ABCD的三视图（正视图与侧视图为直角三角形，俯视图是带有一条对角形的正方形）如下，E是侧棱PC上的动点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）是否不论点E在何位置都有BD⊥AE，证明你的结论．【解答】解：（1）由三视图可知，PC⊥面ABCD，且PC=2，底面ABCD是正方形，故体积；（6分）（2）是，在任何位置都有BD⊥AE，理由如下：（8分）连接AC，则AC⊥BD，PC⊥BD且PC交AC于C点，故BD⊥面PAC，因为E是PC上的动点，所以AE在平面PAC内，所以BD⊥AE不论E在何位置都正确．（12分）19．（12.00分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0．当直线l被圆C截得的弦长为时，求（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．【解答】解：（Ⅰ）依题意可得圆心C（a，2），半径r=2，则圆心到直线l：x﹣y+3=0的距离，由勾股定理可知，代入化简得|a+1|=2，解得a=1或a=﹣3，又a＞0，所以a=1；（Ⅱ）由（1）知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，圆心坐标为（1，2），圆的半径r=2∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y﹣5=k（x﹣3）由圆心到切线的距离d==r=2，化简得：12k=5，可解得，∴切线方程为5x﹣12y+45=0；②当过（3，5）斜率不存在直线方程为x=3与圆相切．由①②可知切线方程为5x﹣12y+45=0或x=3．20．（12.00分）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面PAD．（Ⅱ）若CM=PM，MN⊥AB，证明：平面PAD⊥平面PDC．【解答】证明：（Ⅰ）作PB的中点G，连结NG，MG，∵N，G，均为中点，∴NG∥BC，∵BC∥AD，∴NG∥AD，∵AD⊂平面PAD，NG⊄平面PAD，∴NG∥平面PAD，同理可知MG∥平面PAD，∵MG⊂平面MNG，NG⊂平面MNG，MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面PAD，∵MN⊂平面MNG，∴MN∥平面PAD．（Ⅱ）∵CM=PM，N为中点，∴MN⊥PC，∴MN⊥CD，∵CD⊂平面PDC，PC⊂平面PDC，CD∩PC=C，∴MN⊥平面PDC，∵MN∥平面PAD．∴平面PAD⊥平面PDC．21．（12.00分）已知函数．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性和单调性．（Ⅱ）若f（x）＜0，求x的范围．【解答】解：（Ⅰ）由2﹣x﹣1＞0，可得x＜0，故函数的定义域为（﹣∞，0），不关于原点对称，故f（x）为非奇非偶函数．由于函数t=2﹣x﹣1=﹣1在定义域（﹣∞，0）上是减函数，根据复合函数的单调性，函数在定义域（﹣∞，0）上是减函数．（Ⅱ）若f（x）＜0，∵f（﹣1）=log2（2﹣1）=0，函数在定义域（﹣∞，0）上是减函数，∴x＞﹣1．再结合函数的定义域为（﹣∞，0），可得所求的x的范围为（﹣1，0）．22．（12.00分）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．【解答】解：（1）（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，∴方程表示圆时，m＜5；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1=4﹣2y1，x2=4﹣2y2，得x1x2=16﹣8（y1+y2）∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0，∴16﹣8（y1+y2）+5y1y2=0①，由，得5y2﹣16y+m+8=0，∴，．代入①得．（3）以MN为直径的圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0，即x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y=0，∴所求圆的方程为．。