高三数学易错数列多选题 易错题综合模拟测评学能测试

高三数学易错数列多选题 易错题综合模拟测评学能测试
一、数列多选题
1．已知等比数列{}n a 首项11a >，公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，函数
()()()()127f x x x a x a x a =+++，若()01f '=，则（ ）
A ．{}lg n a 为单调递增的等差数列
B ．01q <<
C ．11n a S q ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭
为单调递增的等比数列
D ．使得1n T >成立的n 的最大值为6
【答案】BCD 【分析】
令()()()
()127g x x a x a x a =+++，利用()()12
7001f g a a a '===可得
3411a a q ==，01q <<，B 正确；由()
()111lg lg lg 1lg n n a a q a n q -==+-可得A 错误；
由()111111111
n n n a a a q
S q q q q q --
=--=⋅---可得C 正确；由11a >，01q <<，41a =可推出671T T >=，81T <可得D 正确. 【详解】
令()()()
()127g x x a x a x a =+++，则()()f x xg x =， ()()()f x g x xg x ''∴=+，()()127001f g a a a '∴===，
因为{}n a 是等比数列，所以712741a a a a ==，即3
411a a q ==，
11a >，
01q ∴<<，B 正确；
()()111lg lg lg 1lg n n a a q a n q -==+-，{}lg n a ∴是公差为lg q 的递减等差数列，A 错
误；
()111111111n n n a a a q S q q q q q --
=--=⋅---，11n a S q ⎧⎫
∴-⎨⎬-⎩
⎭是首项为101a q q <-，公比为q 的递增等比数列，C 正确；
11a >，01q <<，41a =，
3n ∴≤时，1n a >，5n ≥时，01n a <<，4n ∴≤时，1n T >，7712
741T a a a a ===，8n ∴≥时，789
71n n T T a a a T =<=，又7
567
1T T a a =
>，7
67
1T T a =
>，所以使得1n T >成立的n 的最大值为6，D 正确. 故选：BCD 【点睛】
关键点点睛：利用等比数列的性质、通项公式、求和公式、数列的单调性求解是解题关键.
2．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列命题中正确的是（ ）
A ．若
为等差数列，则1
12d
a =
B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=
C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==
D ．若*
n b N ∈，则{}
n b a 也为等差数列，且公差为12d d +
【答案】AB 【分析】
对于A ，利用=
对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案； 对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案； 对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案. 【详解】
对于A ，因为
为等差数列，所以=
即== 化简得()2
1120d a -=，所以112d a =，故A 正确；
对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++， 所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++， 所以120d d +=，故B 正确；
对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+， 所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++， 化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；
对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*
n b N ∈，所以
11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，
所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，
所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =， 所以{}
n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】
关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.
3．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ） A ．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则数列{}n a 为等差数列
B ．若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列
C ．若等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >
D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，仍为等比数
列 【答案】AB 【分析】
对于A ，求出 42n a n =-，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ， 求出
2n n a =，则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，有可能
10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，比如公比1q =-，n 为偶
数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 【详解】
对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2
2n S n =，所以212(1)(2)n S n n -=-≥，所以
142(2)n n n a S S n n -=-=-≥，适合12a =，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正
确；
对于B ，若数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，所以122(2)n
n S n -=-≥，所以
12(2)n n n n a S S n -=-=≥，又1422a =-=，2218224a S S =-=--=， 212a a =
则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；
对于选项C ，若等比数列{}n a 是递增数列，则有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；
对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 故选：AB 【点睛】
方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
4．在数列{}n a 中，如果对任意*n N ∈都有
21
1n n n n
a a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为等
差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（ ） A ．等差数列一定是等差比数列
B ．等差比数列的公差比一定不为0
C ．若32n
n a =-+，则数列{}n a 是等差比数列
D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 【答案】BCD 【分析】
考虑常数列可以判定A 错误，利用反证法判定B 正确，代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】
对于数列{}n a ，考虑121,1,1n n n a a a ++===，21
1n
n n n
a a a a +++--无意义，所以A 选项错误；
若等差比数列的公差比为0，21
2110,0n n n n n n
a a a a a a +++++---==，则1n n a a +-与题目矛盾，所
以B 选项说法正确；
若32n
n a =-+，
21
13n n n n
a a a a +++-=-，数列{}n a 是等差比数列，所以C 选项正确； 若等比数列是等差比数列，则1
1,1n n q a a q -=≠，
()()
11211111
111111n n n
n n n n n n n a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---，所以D 选项正确. 故选：BCD 【点睛】
易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1.
5．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）
A ．3m =
B ．1818
1
10335
4kk i a =⨯+=∑
C ．(31)3ij j
a i =-⨯ D ．()1
(31)314
n S n n =
+- 【答案】ABD
【分析】
根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，进而可得ii a ，根据错位相减法可求得18
1
kk
i a
=∑，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由
此可以判断各选项的真假． 【详解】
∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 1
2
=-（舍去），A 正确； ∴()()1
11
13
213313j j j ij i a a i m i ---⎡⎤=⋅=+-⨯⋅=-⋅⎣⎦，C 错误；
∴()1
313i ii a i -=-⋅，
0171811223318182353533S a a a a =+++⋯+=⨯+⨯+⋯+⨯① 12181832353533S =⨯+⨯+⋯+⨯②,
①-②化简计算可得：181810335
4
S ⨯+=,B 正确；
S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )
(
)()(
)1121
113131313
13
13
n
n
n
n a a a ---=
++
+
---
()
()231131.22
n
n n +-=
- ()1
=(31)314
n n n +-，D 正确； 故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；
（4）对于11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法
求和.
6．已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，当n 为偶数时，11n n a a --=；当n 为奇数且1n >时，121n n a a --=.若4000m S >，则m 的值可以是（ ） A ．17
B ．18
C ．19
D ．20
【答案】BCD 【分析】
由已知条件得出数列奇数项之间的递推关系，从而得数列21{3}k a -+是等比数列，由此可求得奇数项的表达式（也即得到偶数项的表达式），对2k S 可先求得其奇数项的和，再得偶数项的和，从而得2k S ，计算出与4000接近的和，184043S =，173021S =，从而可得结论． 【详解】
依题意，2211k k a a -=+，21221k k a a +=+，*k N ∈，所以2211k k a a -=+，
2122121212(1)123k k k k a a a a +--=+=++=+,∴()2121323k k a a +-+=+.
又134a +=，故数列{}213k a -+是以4为首项，2为公比的等比数列，所以
121423k k a --=⋅-，
故S 奇
()21321141232
(44242)43321k k k k k a a a k k -+-===
+⨯+
+⨯--+++-=---，
S 偶21232412()242k k k a a a k k a a a +-=+=++
+=+++
--，故2k S S =奇＋S 偶
3285k k +=--，
故12
1828454043S =--=，173021S =，故使得4000m S >的最小整数m 的值为18.
故选：BCD . 【点睛】
关键点点睛：本题考查数列的和的问题，解题关键是是由已知关系得出数列的奇数项满足的性质，求出奇数项的表达式（也可求出偶数项的表达式），而求和时，先考虑项数为偶数时的和，这样可分类求各：先求奇数项的和，再求偶数项的和，从而得所有项的和，利用这个和的表达式估计和n S 接近4000时的项数n ，从而得出结论．
7．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，且11
2
n n n S a a +=⋅-，则（ ）
A ．12
d =
B ．11a =
C ．数列{}n a 中可以取出无穷多项构成等比数列
D ．设(1)n
n n b a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2n T n =
【答案】AC 【分析】
利用已知条件可得1121
2
n n n S a a +++=-与已知条件两式相减，结合{}n a 是等差数列，可求d
的值即可判断选项A ，令1n =即可求1a 的值，可判断选项B ，分别计算{}n a 的通项即可判断选项C ，分别讨论两种情况下2121
2
n n b b -+=，即可求2n T 可判断选项D. 【详解】 因为112n n n S a a +=-
，所以11212
n n n S a a +++=-， 两式相减，得()11212n n n n n a a a a da ++++=-=， 因为0d ≠，所以21d =，1
2
d =
，故选项 A 正确； 当1n =时，1111122a a a ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭，易解得11a =或112
a =-，故选项B 不正确；
由选项A 、B 可知，当112
a =-
，12d =时，()1111222n n
a n =-+-⨯=-，
{}n a 可取遍所有正整数，所以可取出无穷多项成等比数列，
同理当()()11
11122
n a n n =+-⨯=+时也可以取出无穷多项成等比数列，故选项C 正确； 当()112n a n =
+时，()221212n n b a n ==+，()21211
2112
n n b a n n --=-=--+=-， 因为21221212
n n n n b b a a --+=-+=，
所以()()()212342122
n n n n T b b b b b b -=++++++=
， 当12n n a =
-时，2212112n n b a n n ==⨯-=-，2121213
122
n n n b a n ---⎛⎫=-=--=-
⎪⎝⎭， 所以22131
122
n n b b n n -+=-+
-=， 此时()()()22212223212
n n n n n n
T b b b b b b ---=++++++=
， 所以2n T n ≠，故选项D 不正确． 故选：AC. 【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如
()()1n
n a f n =-类型，可采用两项合并求解.
8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =
C ．3430a a +=
D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值
【答案】AC 【分析】
先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，
则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.
所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】
本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：
（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；
（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；
二、平面向量多选题
9．设O ，A ，B 是平面内不共线的三点，若()1,2,3n OC OA nOB n =+=，则下列选项正确的是（ ）
A ．点1C ，2C ，3C 在同一直线上
B ．123O
C OC OC ==
C ．123OC OB OC OB OC OB ⋅<⋅<⋅
D ．123OC OA OC OA OC OA ⋅<⋅<⋅
【答案】AC 【分析】
利用共线向量定理和向量的数量积运算，即可得答案；
【详解】
()
12212()C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，()()2332
32C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，所以1
2
23C C
C C =，A 正确.
由向量加法的平行四边形法则可知B 不正确.
21OC OA OC OA OA OB ⋅-⋅=⋅，无法判断与0的大小关系，而()
2
1OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=+⋅=⋅+，
()2
2
22OC OB OA OB OB OA OB OB
⋅=+⋅=⋅+，
同理2
33OC OB OA OB OB ⋅=⋅+，所以C 正确，D 不正确. 故选：AC . 【点睛】
本题考查向量共线定理和向量的数量积，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
10．已知向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数t 可以为（ ） A ．-2 B ．
12
C ．1
D ．-1
【答案】ABD 【分析】
若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，即向量,AB BC 不共线，计算两个向量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解 【详解】
若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，则向量,AB BC 不共线， 由于向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-， 故(3,4)AB OB OA =-=-，(5,9)BC OC OB t t =-=+- 若A ，B ，C 三点不共线，则 3(9)4(5)01t t t ---+≠∴≠ 故选：ABD 【点睛】
本题考查了向量共线的坐标表示，考查了学生转化划归，概念理解，数学运算能力，属于中档题.。