高三数学第二学期平面向量多选题单元 期末复习专题强化试卷学能测试

高三数学第二学期平面向量多选题单元 期末复习专题强化试卷学能测试
一、平面向量多选题
1．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则（ ）
A ．||||a b =
B ．()a b a -∥
C ．()a b a -⊥
D ．a 与b 的夹角为
4
π 【答案】CD 【分析】
根据平面向量的模､垂直､夹角的坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果. 【详解】 对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误； 对于B ，
(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则
()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误；
对于C ，又()
()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确；
对于D ，又cos ,22
a b a b a b
⋅<>=
=
=
⋅，又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为
π
4，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】
关键点点睛：本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.
2．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知
()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）
A ．::7:5:3sinA sin
B sin
C = B ．0AB AC ⋅>
C ．若6c =，则ABC 的面积是
D ．若8+=b c ，则ABC 的外接圆半径是3
【答案】ACD 【分析】
先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到
3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选
项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】
依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=， 所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，
由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==， 故选项A 正确；
222222
cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=
222222.5 1.5 3.515
028
k k +-==-<，
故选项B 不正确；
若6c =，则4k =， 所以14,10a b ==，
所以222106141
cos 21062
A +-==-⨯⨯，
所以sin 2
A =
，
故ABC 的面积是：11sin 61022bc A =⨯⨯= 故选项C 正确；
若8+=b c ，则2k =， 所以7,5,3a b c ===，
所以2225371
cos 2532
A +-==-⨯⨯，
所以sin A =
， 则利用正弦定理得：
ABC 的外接圆半径是：12sin 3
a A ⨯=
， 故选项D 正确； 故选：ACD. 【点睛】
关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设
4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本
题的关键.
3．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，2DE EC =，AE 交BD 于F 且
2AE BD ⋅=-，则下列说法正确的有（ ）
A ．1233AE AC AD =+
B ．2
5
DF DB =
C ．,3
AB AD π
=
D ．27
25
FB FC ⋅=
【答案】BCD 【分析】
根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】
对于选项A ：()
222
33
133AE AD DE AD DC AD AD D C A A A C =+=+=+-=+，故选项A 不正确； 对于选项B ：易证DEF BFA ，所以
23DF DE BF AB ==，所以22
35
DF FB DB ==，故选项B 正确；
对于选项C ：2AE BD ⋅=-，即()
223AD A B D AB A ⎛
⎫
+
-=- ⎪⎝⎭
，所以 2
221233AD AD AB AB -⋅-=-，所以114233
2
AD AB -⋅-⨯=-，解得：1AB AD ⋅=，
11
cos ,212
AB AD AB AD AB AD
⋅=
=
=⨯⨯，因为[],0,AB AD π∈，所以,3
AB AD π
=
，
故选项C 正确； 对于选项D ：()()
33
255
5AB FB FC DB FD DC AD BD AB ⎛⎫
⋅=
⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭
(
)()()3
23325
5555AD AD AB AB AD A AB AB B AD ⎡⎤⎛⎫=
-⋅-+=-⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
229693627
34252525252525AB AB AD AD =
⨯-⋅-⨯=⨯--=，故选项D 正确. 故选：BCD
【点睛】
关键点点睛：选项B 的关键点是能得出DEF
BFA ，即可得
2
3
DF DE BF AB ==，选项D 的关键点是由于AB 和AD 的模长和夹角已知，故将FB 和FC 用AB 和AD 表示，即可求出数量积.
4．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是（ ）
A ．若a b ⊥，则tan θ=
B ．若b 在a 上的投影为12
-
，则向量a 与b 的夹角为23π
C ．存在θ，使得||||||a b a b +=+
D ．a b 【答案】BCD 【分析】
若a b ⊥，则tan θ=A 错误； 若b 在a 上的投影为12
-，且||1b =，则2π
cos ,3a b 〈〉=，故B 正确；
若b 在a 上的投影为1
2
-
，且||1b =，故当a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；
2cos sin a b θθ+==)θϕ+， a b D 正确.
【详解】
若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ+==，则tan θ=A 错误； 若b 在a 上的投影为12
-
，且||1b =，则1||cos 2b a b 〈〉=-，，2π
cos ,3a b 〈〉=，故B 正确；
若2()2a b a b a b =+2
2
++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b 〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C
正确；
2cos sin a b θθ+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π
02ϕ<<，则当π2
θϕ+=时，
a b ，故D 正确，
故选：BCD ． 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2π
θθ⎛⎫
≠
⎪⎝
⎭
角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若
12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在
23
π
θ=
的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（ ）
A ．()1,3a b -=-
B ．5a =
C ．a b ⊥
D ．a 在b 上的投影为37
14
-
【答案】AD 【分析】
123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；3
2
a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b 上的投影为3
372147a b b
-
⋅==-，故D 正确.
【详解】
()(
)
121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；
()
2
12
2254cos
33
a e e π
=
+=+=B 错误；(
)()
2
2
121211223
222322
a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-
，故C 错误； 由于()
2
2
2
27b e e =-=a 在b 上的投影为3
3727a b b
-
⋅==，故D 正确。

故选：AD 【点睛】
本题主要考查新定义，考查向量的坐标运算和模的计算，考查向量的投影的计算，考查向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A ．已知A 、
B 、
C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =
C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=
D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 【答案】AC 【分析】
根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】
解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；
由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以
||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；
设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而
2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；
()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a
与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；
故选：AC ． 【点睛】
本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．
7．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，
则（ ）
A ．1
2
AF AD AB =+ B ．1
()2
EF AD AB =
+ C ．2133
AG AD AB =
- D ．3BG GD =
【分析】
由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+
、1
()2
EF AD AB =+、21
33AG AD AB =
+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 11
22
AF AD DF AD DC AD AB =+=+
=+，即A 正确 11
()()22
EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确
连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示
由其性质有||||1
||||2
GF GE AG CG == ∴211121
()333333
AG AE AC AD AB BC AD AB =
+=++=+，即C 错误 同理21212
()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =
+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1
()3
GD AD AB =-
∴2BG GD =，即D 错误 故选：AB 【点睛】
本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系
8．在ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是（ ） A ．0AB AC AD +-= B ．0DA EB FC ++= C ．若
3||||||
AB AC AD
AB AC AD +=，则BD 是BA 在BC 的投影向量 D ．若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+，则λμ的最大值为
18
【分析】
对选项A ，B ，利用平面向量的加减法即可判断A 错误，B 正确.对选项C ，首先根据已知得到AD 为BAC ∠的平分线，即AD BC ⊥，再利用平面向量的投影概念即可判断C 正确.对选项D ，首先根据,,A P D 三点共线，设(1)BP
tBA t BD ，01t ≤≤，再根据已知得
到
12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩
，从而得到21111()(
)2228
t
y
t t ，即可判断选项D 正确. 【详解】 如图所示：
对选项A ，20AB AC AD AD AD AD +-=-=≠，故A 错误. 对选项B ，111
()()()222
DA EB FC AB AC BA BC CA CB ++=-
+-+-+ 111111
222222
AB AC BA BC CA CB =------
111111
0222222
AB AC AB BC AC BC =--+-++=，故B 正确.
对选项C ，
||AB AB ，||AC AC ，||
AD
AD 分别表示平行于AB ，AC ，AD 的单位向量， 由平面向量加法可知：
||||
AB AC
AB AC +为BAC ∠的平分线表示的向量. 因为
3||||||
AB AC AD
AB AC AD +=，所以AD 为BAC ∠的平分线， 又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，如图所示：
BA 在BC 的投影为cos BD BA B
BA
BD BA
，
所以BD 是BA 在BC 的投影向量，故选项C 正确. 对选项D ，如图所示：
因为P 在AD 上，即,,A P D 三点共线， 设(1)BP
tBA t BD ，01t ≤≤.
又因为1
2BD BC =
，所以(1)2
t BP tBA BC . 因为BP BA BC λμ=+，则12t
t λμ=⎧⎪
⎨-=⎪⎩
，01t ≤≤.
令21111()2
228
t y
t
t ， 当12t =时，λμ取得最大值为1
8.故选项D 正确.
故选：BCD 【点睛】
本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.
9．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa b
B ．若a b ⊥，则a b a b +=-
C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为a
D ．若存在实数λ使得λa b ，则a b a b +=-
【答案】AB 【分析】
根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、
C 、
D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A
选项正确，D 选项错误；
若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】
本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.
10．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（ ）
A ．1-
B ．
113
C D 【答案】BCD 【分析】
由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】
若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅=
230k ∴+=解得23
k =-
若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅=
()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--
2390k ∴-+-=解得113
k =
若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=
()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--
()130k k ∴-+-=解得k =
综合可得，k 的值可能为211,33-
故选：BCD
【点睛】
本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.。