【备战】北京人民大学附中高考数学综合能力题选讲讲结论开放的探索性问题(含详解)

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北京中国人民大学附中高考数学(题型预测范例选讲)综合能力题选讲第07讲等差数列与等比数列(含详解)

等差数列与等比数列题型预测两个基本数列（等差数列和等比数列），以及通过适当转化可化成这两个数列的问题是高考考查的重点．要注意n S q d a n n ,,,,之间的内在联系，注意相邻项，相邻若干项之间的内在联系及相互转化．范例选讲例1 已知数列{}n a 的前n 项和=n S 292++-n n ()N n ∈．(Ⅰ) 判断数列{}n a 是否为等差数列； (Ⅱ) 设n n a a a R +++= 21，求n R ； (Ⅲ) 设n n n n b b b T N n a n b +++=∈-=21),()12(1，是否存在最小的自然数0n ，使得不等式32n T n <对一切自然数n 总成立？如果存在，求出0n 的值；如果不存在，说明理由．讲解：本题中，求出数列{}n a 的通项公式是关键．(Ⅰ) ∵ =n S 292++-n n ()N n ∈，∴ 当1=n 时，1011==S a ，当2≥n 时，=-=-1n n n S S a ()292++-n n ()()[]21912+-+---n n n 210-=，∴ ⎩⎨⎧≥-==2210110n n n a n ．∴ 数列{}n a 不是等差数列．(Ⅱ) 由⎩⎨⎧≥-==2210110n n n a n 可知：当5≤n 时，n n a a =，当5>n 时，n n a a -=．∴当5≤n 时，2922121++-==++=+++=n n S a a a a a a R n n n n ，当5>n 时，n n a a a R +++= 21 ()()n a a a a a a +++-+++= 76521 52S S n +-=()4292452522922+-=++-+--=n n n n ．即：⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤++-=542952922n n n n n n R n ．(Ⅲ) 当1=n 时，02112111>=-=a b ，2111==b T ，当2≥n 时，()()011121121210121)12(1>⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=+-=-=n n n n n n a n b n n ，n n b b b T +++= 21441311212121++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=n n n ．由()N n b n ∈>0可知：n T 随n 的增大而单调递增．所以，要使不等式32n T n <对一切自然数n 总成立，需且只需32lim 0n T n n ≤∞→．又322443lim ==∞→n n T ，所以，满足题意的自然数240=n ．点评：利用前n 项和n S 与通项n a 的关系求通项公式时，要注意n=1时的特殊情况．例2 已知数列{}n a 中，651=a ，且对任意正整数n 都有112131++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a ．数列{}n b 对任意自然数n 都有n n n a a b 211-=+．（Ⅰ）求证数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，求n n S ∞→lim 的值．讲解：已知条件中，数列{}n a 的通项公式是通过相邻两项之间的关系给出的，而数列{}n b 的通项公式则是通过数列{}n a 给出．因此，解答本题自然有两种思路：一是从数列{}n b入手，这就应该通过代数变形，致力于证明nn b b 1+为定值；二是从数列{}n a 的通项公式入手．如何求出数列{}n a 的通项公式呢？由于已知条件112131++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a 与等比数列很相似，结合上下文，则可以考虑设法构造出一个与n a 及n⎪⎭⎫⎝⎛21有关的新的等比数列．解1：（1）∵ 112131++⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a a ，∴ 11112133213++++⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n a a a ．∴ 一方面，n n n a a b 211-=+n n n a a 2121311-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n a 61211-⎪⎭⎫⎝⎛=+，另一方面，n b ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛⋅--⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎭⎫⎝⎛=++++++12111161213213361216121n n n n n n n a a a ，∴3161213612112121=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=+++++n n n n nn a a b b ．又916561416121121=⋅-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b ，∴ 数列{}n b 是以911=b 为首项，以31为公比的等比数列．（2）由（1）可知：11313191+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=n n n b ，又n b n n a 61211-⎪⎭⎫⎝⎛=+， ∴ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++11131216216n n n n n b a ，N n ∈．（3）231131211216lim 22=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→n n S ．解2：设数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-nn r a 21为等比数列，则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-++nn n n r a s r a 212111，对照112131++⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a a ，不难解得：3=r ，31=s ． ∴ 数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-nn a 213是以322131-=⋅-a 为首项，以31为公比的等比数列．∴ nn n n a ⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--31231322131．∴ nnn a ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=312213．∴ n n n a a b 211-=+=1113131221321312213+++⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n n ．∴ n S ∑∑∑∑====⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==n k kn k k nk k k nk k a 1111312213312213．∴ 23113221123lim =---=∞→n n S ．点评：解1按照题目设问由易到难的顺序，思路自然顺畅；解2虽不失为巧思妙解，但其思路的获得一方面源于对112131++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a 的认识，另一方面，题目的设问也给了我们一定的提示．。

高考数学探究型、探索型及开放型问题选讲新题赏析讲义理

探究型、探索型及开放型问题选讲新题赏析金题精讲题一：设 [x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x ，y ，有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[2x ]＝2[x ]C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]题二：设整数n ≥4,集合X ={1,2,3,…，n }.令集合S ={(x ，y ，z )| x ，y ，z ∈X ，且三条件x <y <z ，y <z <x ，z <x <y 恰有一个成立}，若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S 中，则下列选项正确的是( )A ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∉ SB ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈SC ．(y ，z ，w )∉ S ，(x ，y ，w )∈SD ．(y ，z ，w )∉ S ，(x ，y ，w ) ∉S题三：曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1, 0)和F 2(1, 0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于212a ．其中，所有正确结论的序号是．题四：古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+.记第n 个k 边形数为N (n ,k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n = 五边形数 ()231,522N n n n =- 六边形数 ()2,62N n n n =- ……可以推测N (n ,k )的表达式，由此计算N (10,24)= ．题五：当x ∈R ，|x |<1时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得： 111112222220000011.......1n dx xdx x dx x dx dx x +++++=-⎰⎰⎰⎰⎰ 从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：2311021111111()()...()_____C C C C 2223212n n n n n n n +⨯+⨯+⨯++⨯=+．题六：对于集合A ={1,2,3，…，n }的每一个子集，定义“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数．例如，集合{1,2, 4,6,9}的交替和是9－6+4－2+1=6，集合{5}的交替和是5，∅的交替和为0．定义S n 为集合A 的所有子集的交替和的总和．求S n ．探究型、探索型及开放型问题选讲新题赏析讲义参考答案金题精讲题一：D题二：B 题三：②③ 题四：1000 题五：113[()1]12n n +-+ 题六：n 2n －1。

北京中国人民大学附中高考数学(题型预测+范例选讲)综

集合与简易逻辑题型预测《考试说明》中，对于集合、充要条件已做出明确的要求. 高考中，对于这一部分的考查，主要集中在：（1）集合本身的性质和运算；（2）集合语言和集合思想的运用；（3）充分条件和必要条件的判定.范例选讲例1 命题甲：2≠x 或3≠y ；命题乙：5≠+y x ，则（）A.甲是乙的充分非必要条件；B.甲是乙的必要非充分条件；C. 甲是乙的充要条件；D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.讲解为了进行判断，首先需要构造两个命题：甲=>乙；乙=>甲.但是，这两个命题都是否定性的命题，正面入手较为困难. 考虑到原命题与逆否命题的等价性，可以转化为判断其逆否命题是否正确.“甲=>乙”，即“2≠x 或3≠y ” =>“5≠+y x ”，其逆否命题为：“5=+y x ” =>“2=x 且3=y ”显然不正确. 同理，可判断命题“乙=>甲”为真命题.故选择B.点评本题虽然看上去是一个基本的不等量关系，但实质逻辑性很强，容易选错，解本题的关键：一是从反面入手，利用原命题与逆否命题的等价性，二是要对逻辑联结词“或”“且”深刻理解与领悟.例2 已知集合{}{}R t tx x x t t A =≠--+=03422使，集合=B {}{}∅≠=-+0222t tx x x t t 使，其中t x ,均为实数.（1）求B A ⋂；（2）设m 为实数，()32-=m m g ，求(){}B A m g m M ⋂∈=. 讲解（1）集合A 实际上是：使得03422>--+t tx x 恒成立的所有实数t 的集合. 故令0)34(4)2(21<---=∆t t ，解得：13-<<-t .集合B 实际上是：使得方程0222=-+t tx x 有解的所有实数t 的集合. 故令()0)2(4222≥-⋅-=∆t t ，解得：0≥t 或2-≤t所以，()1,3--=A ，(][)+∞⋃-∞-=,02,B ，()2,3--=⋂B A . （2）设()u m g =，则问题（2）可转化为：已知函数()m g u =的值域（()2,3--∈u ），求其定义域.令2332-<-<-m ，可解得：1001<<<<-m m 或.所以，M ={}1001<<<<-m m m 或.点评学习数学，需要全面的理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用. 而集合作为近、现代数学的重要基础，集合语言、集合思想也已经渗透到数学的方方面面. 集合和简易逻辑，是学习、掌握和使用数学语言的基础. 本题以集合和逻辑为背景，主要考查对数学符号语言的阅读、理解以及迁移转化的能力.。

【备战】北京中国人民大学附中高考数学(题型预测+范例选讲)综合能力题选讲第23讲方案优化型综

方案优化型综合问题题型预测寻找问题的最优解，是这一类题目的共同特点．解决问题的方法涉及均值不等式、单调性等求最值的方法，有些时候也用穷举法．由于与实际问题联系较紧密，此类问题在高考中往往以应用题的面目出现．范例选讲例1．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？讲解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为360030001250-=，所以这时租出了88辆车．（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为： ()()30003000100150505050x x f x x --⎛⎫=---⨯ ⎪⎝⎭．整理得：()()2211622100040503070505050x f x x x =-+-=--+．所以，当4050x =时，()f x 最大，最大值为307050．即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元．点评：实际问题的最值要注意自变量的取值范围．例2．某工厂生产容积为π23立方米的圆柱形无盖容器，制造底面的材料每平方米30元，制造侧面的材料每平方米20元，设计时材料的厚度及损耗可以忽略不计．(Ⅰ) 把制造容器的成本y （元）表示成容器底面半径x （米）的函数，并指出当底面半径为多少时，制造容器的成本最低？求出最低成本；(Ⅱ) 若为某种特殊需要，要求容器的底面半径不小于2（米），此时最低成本为多少元？（精确到1元）讲解：（Ⅰ）设圆柱形容器的高为h ，则232x h ππ=．所以，22603020230y x xh x xππππ=⨯+⨯=+．因为0x >，所以， ()226011303030390283y x x x x x πππππ⎛⎫=+=++≥⋅=≈ ⎪⎝⎭元，等号当且仅当21x x=，即1x =时取得． (Ⅱ) 当2x ≥时，由（Ⅰ）可知，不能利用均值不等式来求解y 的最小值，所以，我们可以考虑函数26030y x xππ=+的单调性．任取12,[2,)x x ∈+∞，且设12x x <，则()221212121212122223030y y x x x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于122x x ≤<，所以，12121220, 0x x x x x x -<+->，所以，12y y <，所以，函数26030y x xππ=+在区间[2,)+∞上单调递增．所以，当2x =时，y 取得最小值为：150471π≈（元）．点评：运用均值不等式要注意等号成立的条件．例3．小红现在是初一的学生，父母准备为他在银行存20000元，作为5年后上大学的费用，如果银行整存整取的年利率如下：利息税为20%，则小红父母应该选择怎样的存款方式，可使5年后所获收益最大．请说明理由．讲解：小红父母存款的方式可以有多种选择，但为了确保最大利润，应该遵循如下原则：（1）5年结束时，所存款项应该恰好到期（否则以活期记，损失较大）；（2）如果存两次（或两次以上），则第2次存款时，应该将第1次存款所得本息和全部存入银行．为叙述方便，用n m P +表示把a 元本金，先存一次n 年期，再存一次m 年期所得本息和．如：112P ++表示先存2个1年期，再存一个2年期所得本息和．首先，可以考虑下面的问题：n m m n P P ++=是否成立？即把a 元本金，先存一次n 年期，再存一次m 年期与先存一次m 年期，再存一次n 年期，所得本息和是否相同？因为44155k k k P a a k r a k r ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，441155n m n m m n P a n r m r P ++⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭根据以上分析，我们只需考虑下面的几种情况：11111111112,,P P +++++++++1113P +++，1122P +++，15123,P P +++，222P ++，33P +．方法之一是直接计算，但运算量相对较大．为此，我们可以考虑下面的办法：（1）比较11P +与2P 的大小关系：因为221114411 1.98% 1.03255P a r a a +⎛⎫⎛⎫=+=+⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22441212 2.25% 1.03655P a r a a ⎛⎫⎛⎫=+⋅=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，11P +<2P ．所以，只需考虑上述八种情况中的：15123,P P +++，222P ++，33P +．（2）比较21P +和3P 的大小． 12441 1.98%12 2.25% 1.05255P a a +⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯≈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 3413 2.52% 1.0605P a a ⎛⎫=+⨯⨯≈ ⎪⎝⎭，所以，21P +<3P ．所以，只需比较15P +，222P ++，33P +．因为：15441 1.98%15 2.79% 1.12955P a a +⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯≈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 3222412 2.25% 1.1125P a a ++⎛⎫=+⨯⨯≈ ⎪⎝⎭，233413 2.52% 1.1255P a a +⎛⎫=+⨯⨯≈ ⎪⎝⎭．所以，15P +最大，即小红父母应该选择先存一次1年期，再存一次5年期（或先存一次5年期，再存一次1年期）获利最多．这与我们通常的认识是一致的．点评：本题的目的是通过分析、计算寻找问题的最优解．然而，如果通过穷举得出结论，计算可能就较为复杂了，因此，需要优化的不只是结果，还有运算的过程．。

必备北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲：第讲参数范围型综合问题含详解

必备北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲：第讲－参数范围型综合问题（含详解)
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数学高考综合能力题选讲22
参数范围型综合问题
题型预测
参数范围的问题,内容涉及代数和几何的多个方面,综合考查学生应用数学知识解决问题的能力。在历年高考中占有较稳定的比重。解决这一类问题,常用的思想方法有:函数思想、数形结合等。
综上。
解法２:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到:判别式往往是产生不等关系的根源。由判别式非负可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来。一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称式．问题找到后,解决的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称式: 。简解如下：
(3）当，即时，是Ｒ上的减函数,此时也无最小值，与题设矛盾；
所以,由(1）(２）（３）可得：当 ,即时，
。
等号当且仅当 ,即时成立。
由及 ,可得:
。
解之得: 。
从另一个角度考虑,“ 的最小值是且 ”，也就是说恒成立。于是，我们可以得到下面的解法:
解法二。由可得: 。
令，则命题可转化为:当时, 恒成立。
讲解:首先,不难得到: = 。要求的取值范围,不外乎两条路:其一是构造所求变量关于某个（或某几个)参数的函数关系式（或方程),通过求函数的值域来达到目的；其二则是构造关于所求量的一个不等关系。由此出发,可得到下面的两种解法。
解法1：ﻩ在 = 中，有两个变量，但这两个变量的范围很难确定,故需要利用第３个变量。比较自然的想法是“直线AB的斜率ｋ”。于是,问题就转化为“如何将转化为关于k的表达式”。

北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲建构数列模型的应用性问题（含详解）

建构数列模型的应用性问题题型预测数列作为特殊的函数，在高中数学中占有相当重要的位置，涉及实际应用的问题广泛而多样，如：增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，注意其间的递推关系，建立出等差、等比、或递推数列的模型．建立数列的递推关系来解题将有可能成为高考命题革新的一个方向．范例选讲例1．某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30%．从202X 年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠．（Ⅰ）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80%（Ⅱ）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%讲解：本题为实际问题，首先应该读懂题意，搞清研究对象，然后把它转化为数学问题．不难看出，这是一道数列型应用问题．因此，我们可以设：全县面积为1，记2000年底的全县绿地面积占总面积的百分比为0a ，经过n 年后全县绿地面积占总面积的百分比为n a ，则我们所要回答的问题就是：（Ⅰ）是否存在自然数n ，使得n a >80%（Ⅱ）求使得n a >60%成立的最小的自然数n为了解决这些问题，我们可以根据题意，列出数列{}n a 的相邻项之间的函数关系，然后由此递推公式出发，设法求出这个数列的通项公式．由题可知：0330%10a ==， ()()254541%16%411+=-+-=+n n n n a a a a 所以，当1n ≥时，254541+=-n n a a ，两式作差得： ()1154-+-=-n n n n a a a a 又100004441152525510a a a a a ⎛⎫-=+-=-= ⎪⎝⎭，所以，数列{}1n n a a --是以10110a a -=为首项，以54为公比的等比数列．所以，()()()112100n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+14(1())3414105()41052515n n -=+=-⋅- 由上式可知：对于任意N n ∈，均有54<n a ．即全县绿地面积不可能超过总面积的80%．（Ⅱ）令53>n a ，得42()55n <，由指数函数的性质可知：()4()5n g n =随n 的增大而单调递减，因此，我们只需从0n =开始验证，直到找到第一个使得42()55n <的自然数n 即为所求．验证可知：当0,1,2,3,4n =时，均有42()55n >，而当5n =时，42()0.3276855n =<，由指数函数的单调性可知：当5n ≥时，均有42()55n <．所以，从2000年底开始，5年后，即202X 年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%．点评：（Ⅱ）中，也可通过估值的方法来确定n 的值．例2．某人计划年初向银行贷款10万元用于买房．他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4％，且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），问每年应还多少元（精确到1元）讲解：作为解决这个问题的第一步，我们首先需要明确的是：如果不考虑其它因素，同等款额的钱在不同时期的价值是不同的．比如说：现在的10元钱，其价值应该大于1年后的10元钱．原因在于：现在的10元钱，在1年的时间内要产生利息．在此基础上，这个问题，有两种思考的方法：法1．如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值，与这个人还款的价值总额应该相等．则我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间（即贷款全部付清时）去计算．10万元，在10年后（即贷款全部付清时）的价值为()1051014%+元．设每年还款元．则第1次偿还的元，在贷款全部付清时的价值为()914%x +；第2次偿还的元，在贷款全部付清时的价值为()814%x +；……；第10次偿还的元，在贷款全部付清时的价值为x 元．于是：105×14％10= 14％91＋4％8＋1＋4％7…由等比数列求和公式可得：105101.04-110 1.04=1.04-1x ⨯⋅．其中 10102341.04=(1+0.04)=1+100.04+450.04+1200.04+2100.04+1.4802⨯⨯⨯⨯≈ 所以，510 1.48020.04=123300.4802x ⨯⨯≈ 法2．从另一个角度思考，我们可以分步计算．考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱．仍然设每年还款元．则第一年还款后，欠银行的余额为：()51014%x ⎡⎤+-⎣⎦元；如果设第年还款后，欠银行的余额为k a 元，则()114%k k a a x -=+-．不难得出：10a ＝105×14％10－14％9－1＋4％8－1＋4％7－…－另一方面，按道理，第10次还款后，这个人已经把贷款全部还清了，故有100a =．由此布列方程，得到同样的结果．点评：存、贷款问题为典型的数列应用题，解决问题的关键在于：1．分清单利、复利（即等差与等比）；2．寻找好的切入点（如本题的两种不同的思考方法），恰当转化．例3．将四边形的每条边都涂以红、黄、蓝三种颜色中的一种，要使得相邻的边的颜色互不相同，有多少种不同的涂色方法讲解：本题从表面上看是排列组合的问题，与数列没有关系，但直接考虑并不简单，为此，我们考虑更一般的问题（即对于n 边形的涂色问题），并建构如下递推数列的模型：设n 边形（各边依次为12,,,n a a a …）满足条件的涂色方法有n b 种．考虑n ＋1边形的涂法：从边1a 开始考虑，对于1a ，有3种涂法；对于边2a ，由于要不同于边1a ，故有2种涂法；……；对于n a ，有2种涂法；最后考虑边1n a +，如果不考虑这条边是否与边1a 同色，则也应该有2种涂法，故涂法种数为32n⨯．上述涂色的方法中，包括两种，第一种是边1n a +与边1a 的颜色不同，这种涂色方法恰好符合题意，其总数应该为1n b +；第二种是边1n a +与边1a 的颜色相同，对于这一种涂色方法，如果我们把边1n a +与边1a 看作是同一条边，则其涂色方法也满足题目中对于n 边形的要求，故涂色方法总数应该为n b ．由此，不难得出： 132n n n b b ++=⨯．所以，11132n n n b b -+--=⨯．另一方面，显然有33216b =⨯⨯=．所以，()()()21212121235332123321 3232323222k k k k k k k k b b b b b b b b ++-----+=-+-++-+=⨯+⨯++⨯+⨯=- 222213222k k k k b b +=⨯-=+，(),2k N k ∈≥且显然，418b =．点评：本题的难点在于递推数列模型的建立．一般来说，数列型应用题的特点是：与n 有关．。

北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练2数学试题

北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练2数学试题2024.10.28一、单选题1.在空间直角坐标系中，(1,2,1)a = 为直线l 的一个方向向量，(2,,4)n t =为平面α的一个法向量，且//l α，则t =（）A.3B.-3C.1D.-12.若直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n，则可能使//l α的是（）А.(1,0,0),(2,0,0)m n ==-B.(1,3,5),(1,0,1)m n ==C.(0,2,1),(1,0,1)m n ==--D.(1,1,3),(0,3,1)m n =-=3.已知m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）.A.若//,//m n m α，则//n αB.若,m ααβ⊥⊥，则//m βC.若,αγβγ⊥⊥，则//αβD.若//,//,m n m αβα⊥，则n β⊥4.已知向量a = ，单位向量b 满足|2|a b += ,a b的夹角为（）А.π6B.π4C.π3D.2π35.已知,αβ是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，且,a b αβ⊂⊂，则“//a b ”是“//αβ”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.在下列条件中，能使M 与A ，B ，C 一定共面的是（）A.2OM OA OB OC =--B.111532OM OA OB OC=++ C.0MA MB MC ++= D.0OM OA OB OC +++= 7.在斜三棱柱111ABC A B C -中，00,A B 分别为侧棱11,AA BB 上的点，且知001BB A A =，过001,,A B C 的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（）A.2:1B.4:3C.3:2D.1:18.在正四面体ABCD 中，点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，AC 的中点，则异面直线AE ，FG 所成角的余弦值为（）A.3B.3-C.3-D.39.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 在线段AP 上，AC 与BD 交于点,2O PA AB ==，若//OG 平面EFC ，则AG =（）A.12B.34C.23D.110.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，3BC EC =，点P 在底面正方形ABCD 内移动（包含边界），且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 长度的最大值为（）A.319010C. D.1663二、填空题11.在空间直角坐标系中，点(1,2,1)A -关于xOy 平面的对称点的坐标为_______________.12.如图：矩形A B C D ''''的长为4cm ，宽为2cm,O '是A B ''的中点，它是水平放置的一个平面图形ABCD 的直观图，则四边形ABCD 的周长为______________cm.13.已知向量(2,1,0),(1,0,2)a b ==- ，若向量a kb + 与23a b +的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是______________.14.已知圆锥PO (P 为圆锥顶点，O 为底面圆心）的轴截面是边长为2的等边三角形，A ，B ，C 为底面圆周上三点，若空间一动点Q 满足2(12)PQ xPA yPB x y PC =++-- ，则||PQ的最小值为_____________.15.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示）.，则以下结论正确的是____________.（填序号）①BF ⊥平面EAB ;②该二十四等边体的体积为203；③该二十四等边体外接球的表面积为8π；④PN 与平面EBFN 所成角的正弦值为2.三、解答题16.如图，AB 是圆柱的底面直径且2,AB PA =是圆柱的母线且2PA =，点C 是圆柱底面圆周AB 上靠近点A 的三等分点，点E 在线段PA 上.（1）求圆柱的表面积与体积;（2）求三棱锥P-ABC 的体积;（3）若D 是PB 的中点，求CE DE +的最小值.17.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为BC 的中点，点M 在1BD 上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M 唯一确定，并解答问题.条件①:MA MC =;条件②:EM AD ⊥；条件③://EM 平面11CDD C .（1）求证:M 为1BD 的中点;（2）求直线EM 与平面MCD 所成角的大小;（3）求点E 到平面MCD 的距离.18.如图，在四棱锥P OACB -中，PO ⊥平面ABC ，且10,2PA O =为ABC 的外心，1,30AC BC BAC ︒==∠=.（1）求证://AC 平面PBO ;（2）若点M 在线段PC （不含端点）上运动，设平面PAO ⋂平面PBC l =，当直线l 与平面ABM 所成的角最大时，求二面角O BM A --的正弦值.北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练2数学试题参考答案2024.10.28一、单选题1.答案:B解析:因为//l α，所以2240a n t ⋅=++=，解得3t =-.故选B.2.答案:D解析：因为//l α，所以m n ⊥ ，即0m n ⋅=，满足条件的只有选项D ，故选D.3.答案:D解析:A://,//m n m α，则//n α或n α⊂，错误;B:,m ααβ⊥⊥，则//m β或m β⊂，错误;C :,αγβγ⊥⊥，则,αβ相交或平行，错误；D://,m n m α⊥，则n α⊥，又//αβ，故n β⊥，正确.故选D.4.答案:C解析:因为a = ，所以||2a = .又|2|a b += ，所以2|2|12a b += ，即224412a a b b +⋅+= ，所以44412a b +⋅+= ，则1a b ⋅= 所以11cos ,212||||a b a b a b ⋅〈〉===⨯.又,[0,π]a b 〈〉∈ ，所以π,3a b 〈〉= .故选C.5.解：//a b 推不出//,//αβαβ也推不出//a b ，所以"//a b "是"//αβ"的既不充分也不必要条件.6.答案:C解析：对于A 选项，由于21101--=≠，所以不能得出M ，A ，B ，C 共面.对于B 选项，由于1111532++≠，所以不能得出M ，A ，B ，C 共面.对于C 选项，由于MA MB MC =--，则,,MA MB MC 为共面向量，所以M ，A ，B ，C 共面.对于D 选项，由0OM OA OB OC +++= 得OM OA OB OC =---，而11131---=-≠，所以不能得出M ，A ，B ，C 共面.故选C.7.解:设三棱柱111ABC A B C -的体积为V侧棱1AA 和1BB 上各有一动点00,A B 满足001BB A A =，∴四边形00A B BA 与四边形0011A B B A 的面积相等.故四棱锥00C A B BA -的体积等于三棱锥1C ABA -的体积等于13V .则四棱锥0011C A B B A -的体积等于23V .故过001,,A B C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为2:18.解:连接DE ，设正四面体ABCD 的棱长为2，因为G ，F 分别为AC ，CD 的中点，则//GF AD ，所以异面直线AE ，FG 所成角为DAE ∠（或其补角），在ADE 中，则2AE DE AD ===，由余弦定理可得2223cos23AD AE DE DAE AD AE +-∠==⋅，所以异面直线AE ，FG 所成角的余弦值为33.9.答案:C解析:以A 为坐标原点，,,AB AD AP的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.由题意可得002200P B (，，),(，，),020220D C (，，),(，，),110O (，，)，则(1,0,1),(0,1,1)F E ，所以(1,2,1),(1,1,0)FC FE =-=-.设平面EFC 的法向量为(,,)n x y z = ，则0,0,n FC n FE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,0,x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩解得,3,y x z x =⎧⎨=⎩令1x =，则1,3y z ==.所以平面EFC 的一个法向量为(1,1,3)n =.因为//OG 平面EFC ，所以0n OG ⋅=.设(0,0,)G a ，则(1,1,)OG a =--，所以1130a --+=.解得23a =，所以20,0,3G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即23AG =.故选C.10.答案:B解析:依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,0,3),(1,3,0),(3,3,3)D E B，设(,,0)(,[0,3])P x y x y ∈，所以11(3,3,3),(1,3,3)B P x y D E =---=-，则11330B P D E x y ⋅=+-=，则33x y =-，所以0333y ≤-≤，即[0,1]y ∈.而1B P == ，由二次函数的单调性可知22391061810181010t y y y ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，当1y =时，max 22t =，则1maxB P =.故选B.二、填空题11.答案:(1,2,1)解析:点(1,2,1)A -关于xOy 平面的对称点的坐标为(1,2,1).12.解：由斜二测画法知：与x 轴平行或重合的线段其长度不变、与横轴平行的性质不变；与y 轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，且与y '轴平行的性质不变.还原出原图形如图所示的平行四边形，其中4cm,22AB A B OC O C ''''====⨯=，6cm BC ∴==，所以原图形的周长为2(46)20cm ⨯+=.13.答案:11|4{k k >-且32k ⎫≠⎬⎭解析：因为(2,1,0),(1,0,2)a b ==- ，所以(2,1,2),23(1,2,6)a kb k k a b +=-+= .因为向量a kb +与23a b +的夹角为锐角，所以()(23)22121140a kb a b k k k +⋅+=-++=+> ，解得411k >-.当()//(23)a kb a b ++ 时，212126k k -==，解得32k =，所以实数k 的取值范围为11|4{k k >-且32k ⎫≠⎬⎭.14.答案解析:因为2(12)PQ xPA yPB x y PC =++-- ，所以22PQ PC xPA xPC yPB yPC -=-+- ，即2CQ xCA yCB =+ ，所以,,CQ CA CB共面.又A ，B ，C 为底面圆周上三点，所以点Q 为平面ABC 上一点.由题意知PO ⊥平面ABC ，所以||||PQ PO ≥ ，又圆锥PO 的轴截面是边长为2的等边三角形，所以||PO = ，所以||PQ的最小值.15.答案:②③④解析:将几何体补成正方体1111ORLI O R L I -，以点O 为坐标原点，1,,OR OI OO 所在直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系.对于①，100210AB (，，)，(，，)，201221E F (，，)，(，，)，所以(0,1,1),(1,1,0)BF AB == ，则0BF AB ⋅≠，故①错误;对于②，该二十四等边体是在正方体1111ORLI O R L I -上截去8个全等的三棱锥而成，且三棱锥的底面是腰长为1的等腰直角三角形，三棱锥的高为1，故该二十四等边体的体积3211202811323V =-⨯⨯⨯⨯=，故②正确;对于③，易知正方体1111ORLI O R L I -的中心(1,1,1)X为该二十四等边体外接球的球心，且该球的半径为XA ==，因此，该二十四等边体外接球的表面积为28π=，故③正确；对于④，易知平面EBFN 的一个法向量为(1,0,0),(1,2,2),(2,1,2)n P N = ，所以(1,1,0)PN =-，所以cos ,2||n PN n PN n PN ⋅〈〉===‖，故PN 与平面EBFN所成角的正弦值为2，故④正确.故答案为②③④.三、解答题16.解:（1）圆柱的底面直径2AB =，故半径1r =，且高2h PA ==，可得圆柱的表面积为222π2π2π12π126πS r rh =⨯+=⨯+⨯⨯=圆柱，圆柱的体积为22ππ122πV r h ==⨯⨯=.（2）因为点C 是圆柱底面圆周AB 上靠近点A 的三等分点，且2AB =，而ABC 为直角三角形，从而30ABC ︒∠=，得1,AC BC ==，所以111123323P ABC ABC V S h -==⨯⨯⨯= .（3）将平面PAC 绕PA 旋转到和平面PAB 共面，此时C 点在BA 的延长线上，设为点C '，可得CE DE C E DE '+=+，即当,,C E D '三点共线时，C E DE '+取最小值C D '，由题意π1,342PBA BP BD BP BC BA AC ''∠======+=，所以C D '=，故CE DE +.17.注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.解析：（1）证明：选条件①:由MA =MC ，根据正方体1111ABCD A B C D -M 为1BD 上的任意一点，所以不成立;选条件②:EM AD ⊥.连接1CD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，由BC ⊥平面11CDD C ，因为1CD ⊂平面11CDD C ，所以1BC CD ⊥，又因为,//EM AD AD BC ⊥，所以EM BC ⊥，因为1,EM CD ⊂平面1BCD ，所以1//EM CD ，又因为E 为BC 的中点，所以M 为1BD 的中点.选择条件③://EM 平面11CDD C .连接1CD ，因为//EM 平面11,CDD C EM ⊂平面1BCD ，且平面1BCD ⋂平面111CDD C CD =，所以1//EM CD ，因为E 为BC 的中点，所以M 为1BD 的中点.（2）在正方体1111ABCD A B C D -中，1,,DA DC DD 两两互相垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(1,1,1)D C E M ，所以(0,2,0),(1,1,1),(0,1,1)DC DM EM ===- ，设平面MCD 的法向量为(,,)m x y z = ，则00m DC y m DM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1x =，则0,1y z ==-.于是(1,0,1)m =- ，设直线EM 与平面MCD 所成的角为θ，则||1sin |cos ,|2||||m EM m EM m EM θ⋅===⋅ ，所以直线EM 与平面MCD 所成角的大小为30︒，（3）点E 到平面MCD的距离为2||sin sin 302EM θ︒==.18.解析：（1）证明：如图所示，连接OC，因为O 为ABC 的外心，所以OA OB OC ==，又因为1AC BC ==，所以OAC OBC ≅ .所以()111802306022ACO BCO ACB ︒︒︒∠=∠=∠=⨯-⨯=，所以,OAC OBC 均为等边三角形，所以1OA AC BC OB ====，四边形OACB 为菱形，所以//AC OB .又AC ⊂/平面,PBO OB ⊂平面PBO ，所以//AC 平面PBO .（2）记AB OC D = ，因为//,BC AO BC ⊂/平面,PAO AO ⊂平面PAO ，所以//BC 平面PAO .又因为平面PAO ⋂平面,PBC l BC =⊂平面PBC ，所以//BC l .如图所示，以D 为坐标原点，DA ，DC 所在直线分别为x ，y 轴，过点D 且平行于OP 的直线为z 轴建立空间直角坐标系.因为102PA =，所以62OP ==，则311631,0,0,0,,0,0,,,0,0,0,,0222222B C P A O ⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以316316,,0,0,1,,,,222222BC BA PC BP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .因为点M 在线段PC （不含端点）上运动，设1)0(PM PC λλ=<< ，所以316,(1)222BM BP PM λλ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭ .设平面ABM 的法向量为()1111,,n x y z = ，则有110,0,n BA n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以11110,316(1)0,222x y z λλ=⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭⎩令12y =，则11231z λλ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以1120,2,31n λλ⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ，设直线l 与平面ABM 所成的角为α，则111sin cos ,||n BC n BC n BC α⋅==12==当且仅当121λ=-，即12λ=时取等号，即M 为PC 中点时，直线l 与平面ABM 所成的角最大，所以1(0,2,0)n = .又3136,,0,,0,2224OB BM ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设平面OBM 的法向量为()2222,,n x y z = ，则有220,0,n OB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222210,220,24x y x z ⎧-+=⎪⎪+=⎩令21x =，则22y z ==，所以2n = .所以1212122cos ,2n n n n n n ⋅=== ，设二面角O BM A --的平面角为θ，则2sin 2θ==，所以二面角O BM A --的正弦值为2.。

中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第29讲条件开放的探索性问题

数学高考综合能力题选讲29题型预测探索性问题的明显特征是问题本身具有开放性及问题解决的过程中带有较强的探索性•对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件•另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答.范例选讲例1 •在四棱锥P ABCD 中，四条侧棱长都相等，底面 ABCD 是梯形， AB//CD , AB CD •为保证顶点P 在底面ABCD 所在平面上的射影 O 在梯形 ABCD 的外部，那么梯形 ABCD 需满足条件 _________________________________ （填上你认为正确的一个条件即可）.讲解：条件给我们以启示.由于四条侧棱长都相等，所以，顶点P 在底面ABCD 上的射影O 到梯形ABCD 四个顶点的距离相等•即梯形 ABCD 有外接圆，且外接圆的圆心就是O .显然梯形ABCD 必须为等腰梯形.再看结论.结论要求这个射影在梯形的外部，事实上,我们只需找出使这个结论成立的一个充分条件即可.显然，点B 、C 应该在过A 的直径AE 的同侧.不难发现，ACB 应该为钝角三角形.故当 ACB 90 （且AC>BC ）时可满足条件.其余等价的或类似的条件可以随读者想象.点评：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件.这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力.例2.老师给出一个函数y f x ，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质:100080条件开放的探索性问题北京中国人民大学附中梁丽平B E甲：对于x R ，都有fix fix ; 乙：在（,0］上函数递减；丙：在0,上函数递增；丁: f 0不是函数的最小值.如果其中恰有三个人说得正确，请写出一个这样的函数： ___________________ . 讲解：首先看甲的话，所谓“对于x R ，都有fix f 1 x ”，其含义即为：函数f x 的图像关于直线x 1对称•数形结合，不难发现：甲与丙的话相矛盾.（在对称轴的两侧，函数的单调性相反）因此，我们只需选择满足甲、乙、丁（或乙、丙、丁）条件的函数即可. 如果我们希望找到满足甲、乙、丁条件的函数，贝嚅要认识到：所谓函数在（,0］上单调递减，并不是说函数f x 的单调递减区间只有（,0］.考虑到关于直线x 1的对称性，我们不妨构造函数，使之在（,1］上单调递减，这样，既2不与乙的话矛盾，也满足丁所说的性质.如 f X X 1即可.如果希望找到满足乙、丙、丁条件的函数，则分段函数是必然的选择.如x 1, x 0 f x .x, x 0点评：本题考查学生对于函数性质的理解和掌握.思考这样的问题，常常需要从熟悉的函数（一次、二次、反比例函数，指数、对数、三角函数等）入手，另外，分段函数往往是解决问题的关键.写出数列x n 的所有项;例3.对任意函数f x ，x D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：① 输入数据X 。

开放探索性问题(含解析)

开放探索性问题第一部分讲解部分一、专题诠释开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类．开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．二、解题策略与解法精讲由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、考点精讲（一）开放型问题考点一：条件开放型：条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1：（2011江苏淮安）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是.(写出一种即可)分析：已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，进而得到，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，使四边形ABCD是矩形．解：若四边形ABCD的对角线相等，则由AB=DC，AD=BC可得．△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角，所以四边形ABCD是矩形，故答案为：对角线相等．评注：此题属开放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2：（2011天津）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为．分析：先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点（0，1）可确定出b的值，再根据y随x的增大而增大确定出k的符号即可．解：设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0），∵一次函数的图象经过点（0，1），∴b=1，∵y随x的增大而增大，∴k＞0，故答案为y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数）．评注：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y随x的增大而增大，与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上．考点三：条件和结论都开放的问题：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．例3：（2010•玉溪）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．分析：先连接BE，再过D作DF∥BE交BC于F，可构造全等三角形△ABE和△CDF．利用ABCD是平行四边形，可得出两个条件，再结合DE∥BF，BE∥DF，又可得一个平行四边形，那么利用其性质，可得DE=BF，结合AD=BC，等量减等量差相等，可证AE=CF，利用SAS可证三角形全等．解：添加的条件是连接BE，过D作DF∥BE交BC于点F，构造的全等三角形是△ABE与△CDF ．理由：∵平行四边形ABCD ，AE=ED ， ∴在△ABE 与△CDF 中， AB=CD ， ∠EAB=∠FCD ，又∵DE ∥BF ，DF ∥BE ， ∴四边形BFDE 是平行四边形， ∴DE=BF ，又AD=BC ，∴AD ﹣DE=BC ﹣BF ，即AE=CF ，∴△ABE ≌△CDF ．（答案不唯一，也可增加其它条件）评注：本题利用了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、以及等量减等量差相等等知识．考点四：编制开放型：此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．例4：（2010年江苏盐城中考题）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程．．．．解决的问题，并写出解题过程．分析：本题的等量关系是：两班捐款数之和为1800元；2班捐款数-1班捐款数=4元；1班人数=2班人数×90%，从而提问解答即可．解：解法一：求两个班人均捐款各多少元？设1班人均捐款x 元，则2班人均捐款（x +4）元，根据题意得1800x ·90%=1800x +4解得x=36 经检验x=36是原方程的根∴x+4=40答：1班人均捐36元，2班人均捐40元解法二：求两个班人数各多少人？设1班有x人，则根据题意得1800x+4=180090x%解得x=50 ，经检验x=50是原方程的根∴90x % =45答：1班有50人，2班有45人．评注：对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求学生的思维较发散，写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但学生容易犯想当然的错误，叙述不够准确，如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应该注意防范．（二）探究型问题考点五：动态探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件的题目．例5：（2011•临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求EFEG的值．分析：（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用SAS证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；（2）首先点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得Rt△FEI ≌Rt△GEH，则问题得证；（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．解：（1）证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，∴∠DEF=∠GEB，又∵ED=BE，∴Rt△FED≌Rt△GEB，∴EF=EG；（2）成立．证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH=EI，∠HEI=90°，∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，∴∠IEF=∠GEH，∴Rt△FEI≌Rt△GEH，∴EF=EG；（3）解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则∠MEN=90°，∴EM∥AB，EN∥AD．∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，∴,NE CE EM CEAD CA AB CA ==， ∴NE EM AD AB =，即NE AD b EM AB a==， ∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°， ∴∠GEM=∠FEN ， ∵∠GME=∠FNE=90°， ∴△GME ∽△FNE ，∴EF ENEG EM =， ∴EF b EG a=．评注：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．考点六：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目．例6：（2011福建省三明市）在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1．将直角尺的顶点放在P 处，直角尺的两边分别交AB ，BC 于点E ，F ，连接EF （如图①）．（1）当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合（如图②），求PC 的长；（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 和点A 重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答： ①tan ∠PEF 的值是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF 的中点经过的路线长．分析：（1）由勾股定理求PB ，利用互余关系证明△APB ∽△DCP ，利用相似比求PC ；（2）tan ∠PEF 的值不变．过F 作FG ⊥AD ，垂足为G ，同（1）的方法证明△APB ∽△DCP ，得相似比PF GF PE AP ==21=2，再利用锐角三角函数的定义求值；（3）如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF 的中点O 1，O 2，连接O 1O 2，线段O 1O 2即为线段EF 的中点经过的路线长，也就是△BPC 的中位线．解：（1）在矩形ABCD 中，∠A =∠D =90°，AP =1，CD =AB =2，则PB ∴∠ABP +∠APB =90°，又∵∠BPC =90°， ∴∠APB +∠DPC =90°， ∴∠ABP =∠DPC ， ∴△APB ∽△DCP ，∴AP PB CD PC =即12PC=，∴PC（2）tan ∠PEF 的值不变．理由：过F 作FG ⊥AD ，垂足为G ，则四边形ABFG 是矩形， ∴∠A =∠PFG =90°，GF =AB =2， ∴∠AEP +∠APE =90°，又∵∠EPF =90°， ∴∠APE +∠GPF =90°， ∴∠AEP =∠GPF ， ∴△APE ∽△GPF ， ∴PF GF PE AP ==21=2，∴Rt △EPF 中，tan ∠PEF =PFPE=2， ∴tan ∠PEF 的值不变；（3）线段EF评注：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形．关键是利用互余关系证明相似三角形．考点七：规律探究型：规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.例7：（2011四川成都）设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++设...S =+S ＝_________ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．分析：由222222222222)]1([]1)1([)]1([122)]1([)1()1()1(11+++=+++++=+++++=+=n n n n n n n n n n n n n n n n n S n ，求n S ，得出一般规律．解：∵222222222222)]1([]1)1([)]1([122)]1([)1()1()1(11+++=+++++=+++++=+=n n n n n n n n n n n n n n n n n S n ， ∴1111)1(1)1(+-+=+++=n n n n n n S n ， ∴1111312112111+-+++-++-+=n n S 111+-+=n n 1211)1(22++=+-+=n n n n n故答案为： 122++n n n评注：本题考查了二次根式的化简求值．关键是由S n 变形，得出一般规律，寻找抵消规律．考点八：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．例8：（2011辽宁大连）如图15，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等，若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RPM 与△RMB 的面积相等，若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．分析：（1）利用待定系数法求解；（2）若想求Q 点坐标，Q 到MB 的距离应该等于P 到MB 的距离，所以Q 点应该在经过P 点且平行于BM 的直线上，或者在这条直线关于BM 对称的直线上，因此，求出这两条直线的解析式，其与抛物线的交点即为所求Q 点；（3）设出R 点坐标，分别用其横坐标表示出△RPM 与△RMB 的面积，利用相等列出方程即可求出R 点坐标．解：（1）322++-=x x y（2）∵4)1(2+--=x y ∴P （1，4）BC ：3+-=x y ，M （1，2）P （1，4）；PB ：62+-=x y ，当PQ ∥BC 时：设PQ 1：b x y +-=∵P （1，4）在直线PQ 上b +-=14；5=b ∴PQ 1：5+-=x y ⎩⎨⎧++-=+-=3252x x y x y 解得⎩⎨⎧==4111y x ，⎩⎨⎧==3222y x∴1Q ：（2，3）；将PQ 向下平移4个单位得到1+-=x y ⎩⎨⎧++-=+-=3212x x y x y解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=2171217311y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=2171217311y x∴2Q ：（2173-，2171+-）；3Q ：（2173+，2171--）xx ，322++-x x ） ∵P （1，4），M （1，2）∴ 224=-=PM()11221-=-⨯⨯=∆x x S PQR x x x x x RN 3)3()32(22+-=+--++-=()11221-=-⨯⨯=∆x x S PQR ∵x x x 312+-=- 解得121+=x ，122+-=x （舍） ∴当12+=x 时，24)121(2=+-+-=y ∴R （12+，2）x评注：求面积相等问题通常是利用过顶点的平行线完成；在表示面积问题时，对于边不在特殊线上的通常要分割．四、真题演练1．（2011山东潍坊）一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当0x 时．y 随x 的增大而减小，这个函数解析式为_______________ (写出一个即可) 2．（2011山西）如图，四边形ABCD 是平行四边形，添加一个．．条件：___________ _______________________，可使它成为矩形．3．（2011•泰州）“一根弹簧原长10cm ，在弹性限度内最多可挂质量为5kg 的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，，则弹簧的总长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式为y=10+0.5x （0≤x≤5）．”王刚同学在阅读上面材料时发现部分内容被墨迹污染，被污染的部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是：（只需写出1个）．3．（4．（2011广西百色）已知矩形ABCD 的对角线相交于点O ，M 、N 分别是OD 、OC 上异于O 、C 、D 的点．（1）请你在下列条件①DM =CN ，②OM =ON ，③MN 是△OCD 的中位线，④MN ∥AB 中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM 为等腰梯形，你添加的条件是．（2）添加条件后，请证明四边形ABNM 是等腰梯形．（第14题）D第二部分练习部分1．（2011•贺州）写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：y=﹣x（答案不唯一）．分析：先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过二、四象限确定出k的符号，再写出符合条件的正比例函数即可．解答：解：2．（2011•湖南张家界）在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC 与△DEF相似，则需添加的一个条件是（写出一种情况即可）．分析：解答：解：则需添加的一个条件是：BC：EF=2：1．∵在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，∴AB：DE=2：1，AC：DF=2：1，∵BC：EF=2：1．∴△ABC∽△DEF．故答案为：．3．（2010江苏连云港中考题）若关于x的方程x2－mx＋3＝0有实数根，则m的值可以为___________．(任意给出一个符合条件的值即可)4．（2011广东湛江）如图，点B，C，F，E在同直线上，∠1=∠2，BC=EF，∠1 _______（填“是”或“不是”）∠2的对顶角，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个条件，可以是 _______（只需写出一个）5．（2011福建省漳州市，19,8分）如图，∠B =∠D ，请在不增加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△ABC ≌△ADE ，并证明．（1）添加的条件是；（2）证明：6．（2010浙江杭州中考题）给出下列命题：命题1．点(1,1)是直线y ＝ x 与双曲线y ＝ x1的一个交点; 命题2．点(2,4)是直线y ＝ 2x 与双曲线y ＝ x8的一个交点; 命题3．点(3,9)是直线y ＝ 3x 与双曲线y ＝ x27的一个交点; … … ．（1）请观察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数); （2）证明你猜想的命题n 是正确的．7．（2011•德州）●观察计算当a=5，b=3时，2a b +当a=4，b=4时，2a b +2a b+●探究证明如图所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD ⊥AB 于D ，设AD=a ，BD=b ．（1）分别用a ，b 表示线段OC ，CD ；（2）探求OC 与CD 表达式之间存在的关系（用含a ，b 的式子表示）． ●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2a b +2a b+ ●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．8．（2011浙江绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与的DB 大小关系．请你直接写出结论：AE = DB （填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答題目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．★“真题演练”参考答案★1．【分析】本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．【答案】符合题意的函数解析式可以是y= 2x，y=-x+3，y=-x2+5等，（本题答案不唯一）故答案为：y=2x，y=-x+3，y=-x2+5等．2．【分析】：由有一个角是直角的平行四边形是矩形．想到添加∠ABC＝90°；由对角线相等的平行四边形是矩形．想到添加AC＝BD．【答案】∠ABC＝90°（或AC＝BD等）3．解：根据弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式为y=10+0.5x （0≤x≤5）可以得到：当x=1时，弹簧总长为10.5cm，当x=2时，弹簧总长为11cm，…∴每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm ，故答案为：每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm ．4．解：（1）选择①DM =CN ；（2）证明：∵AD =BC ，∠ADM =∠BCN ，DM =CN ∴△AND ≌△BCN ，∴AM =BN ，由OD =OC 知OM =ON ， ∴OCONOD OM =∴MN ∥CD ∥AB ，且MN ≠AB ∴四边形ABNM 是等腰梯形．★“练习部分”参考答案★1．【分析】设此正比例函数的解析式为y=kx （k≠0）， ∵此正比例函数的图象经过二、四象限， ∴k ＜0，∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=﹣x （答案不唯一）．【答案】故答案为：y=﹣x （答案不唯一）．2．【分析】因为两三角形三边对应成比例，那么这两个三角形就相似，从题目知道有两组个对应边的比为2：1，所以第三组也满足这个比例即可．【答案】BC ：EF=2：13．【分析】由于这个方程有实数根，因此⊿＝()22241212b a m m -=--=-≥0，即m 2≥12．【答案】答案不唯一，所填写的数值只要满足m 2≥12即可，如4等4．【分析】根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角．要使△ABC ≌△DEF ，已知∠1=∠2，BC=EF ，则只需补充AC=FD 或∠BAC=∠FED 都可，答案不唯一．【答案】解：根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角故填：不是．添加AC=FD 或∠BAC=∠FED 后可分别根据SAS 、AAS 判定△ABC ≌△DEF ，故答案为：AC=FD ，答案不唯一．5．解：（1）添加的条件是：AB =AD ，答案不唯一；（2）证明：在△ABC 和△ADE 中， ∠B =∠D ， AB =AD ， ∠A =∠A ，∴△ABC ≌△ADE ．6．(1)命题n ；点(n , n 2) 是直线y = nx 与双曲线y =xn 3的一个交点(n 是正整数)．(2)把 ⎩⎨⎧==2ny n x 代入y = nx ，左边= n 2，右边= n ·n = n 2，∵左边=右边，∴点(n ，n 2)在直线上．同理可证：点(n ，n 2)在双曲线上， ∴点(n ，n 2)是直线y = nx 与双曲线y = xn 3的一个交点，命题正确．7．解：●观察计算：2a b +2a b+ ●探究证明：（1）∵AB=AD+BD=2OC ， ∴OC=2a b +. ∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ACB=90°．∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD ．∴△ACD ∽△CBD ．（4分） ∴AD CDCD BD=．即CD 2=AD•BD=ab ，∴（5分）（2）当a=b 时，OC=CD ，2a b+a≠b 时，OC ＞CD ，2a b+●结论归纳：2a b+ ●实践应用设长方形一边长为x 米，则另一边长为1x米，设镜框周长为l 米，则12()l x x =+≥=4.当x=1x，即x=1（米）时，镜框周长最小．此时四边形为正方形时，周长最小为4米．8．解：（1）故答案为：=．（2）故答案为：=．证明：在等边△ABC 中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC ， ∵EF ∥BC ，∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC ， ∴AE=AF=EF ， ∴AB ﹣AE=AC ﹣AF ，即BE=CF ，∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°， ∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°， ∵ED=EC ，∴∠EDB=∠ECB，∴∠BED=∠FCE，∴△DBE≌△EFC，∴DB=EF，∴AE=BD．（3）答：CD的长是1或3．21。

【备战】北京人民大学附中高考数学综合能力题选讲讲条件开放的探索性问题(含详解)

条件开放地探索性问题题型预测探索性问题地明显特征是问题本身具有开放性及问题解决地过程中带有较强地探索性．对于条件开放地探索性问题,往往采用分析法,从结论和部分已知地条件入手,执果索因,导出所需地条件．另外,需要注意地是,这一类问题所要求地往往是问题地充分条件,而不一定是充要条件,因此,直觉联想、较好地洞察力都将有助于这一类问题地解答．范例选讲例1．在四棱锥P ABCD -中,四条侧棱长都相等,底面A B C D 是梯形,//AB CD ,AB CD >．为保证顶点P 在底面ABCD 所在平面上地射影O 在梯形ABCD 地外部,那么梯形ABCD 需满足条件___________________<填上你认为正确地一个条件即可）．讲解：条件给我们以启示．因为四条侧棱长都相等,所以,顶点P 在底面ABCD 上地射影O 到梯形ABCD 四个顶点地距离相等．即梯形ABCD 有外接圆,且外接圆地圆心就是O ．显然梯形ABCD 必须为等腰梯形．再看结论．结论要求这个射影在梯形地外部,事实上,我们只需找出使这个结论成立地一个充分条件即可．显然,点B 、C 应该在过A 地直径AE 地同侧．不难发现,ACB ∆应该为钝角三角形．故当90ACB ∠>︒<且AC>BC ）时可满足条件．其余等价地或类似地条件可以随读者想象．点评：本题为条件探索型题目,其结论明确,需要完备使得结论成立地充分条件,可将题设和结论都视为已知条件,进行演绎推理推导出所需寻求地条件．这类题要求学生变换思维方向,有利于培养学生地逆向思维能力．例2．老师给出一个函数()y f x =,四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数地一个性质：甲：对于x R ∈,都有()()11f x f x +=-；乙：在(,0]-∞上函数递减；丙：在()0,+∞上函数递增；丁：()0f 不是函数地最小值．如果其中恰有三个人说得正确,请写出一个这样地函数：____________．讲解：首先看甲地话,所谓“对于x R ∈,都有()()11f x f x +=-”,其含义即为：函数()f x 地图像关于直线1x =对称．数形结合,不难发现：甲与丙地话相矛盾．<在对称轴地两侧,函数地单调性相反）A因此,我们只需选择满足甲、乙、丁<或乙、丙、丁）条件地函数即可．如果我们希望找到满足甲、乙、丁条件地函数,则需要认识到：所谓函数在(,0]-∞上单调递减,并不是说函数()f x 地单调递减区间只有(,0]-∞．考虑到关于直线1x =地对称性,我们不妨构造函数,使之在(,1]-∞上单调递减,这样,既不与乙地话矛盾,也满足丁所说地性质．如()()21f x x =-即可．如果希望找到满足乙、丙、丁条件地函数,则分段函数是必然地选择．如()1, 0, 0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩．点评：本题考查学生对于函数性质地理解和掌握．思考这样地问题,常常需要从熟悉地函数<一次、二次、反比例函数,指数、对数、三角函数等）入手,另外,分段函数往往是解决问题地关键．例3．对任意函数()f x ,x D ∈,可按图示构造一个数列发生器,其工作原理如下：① 输入数据0x D ∈,经数列发生器输出()10x f x =；② 若1x D ∉,则数列发生器结束工作；若1x D ∈,则将1x 反馈回输入端,再输出()21x f x =,并依此规律继续下去．现定义()421x f x x -=+． <Ⅰ）若输入04965x =,则由数列发生器产生数列{}n x ．请写出数列{}n x 地所有项；<Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷地常数数列{}n x ,试求输入地初始数据0x 地值； <Ⅲ）若输入0x 时,产生地无穷数列{}n x 满足：对任意正整数n,均有1n n x x +<,求0x 地取值范围．<Ⅳ）是否存在0x ,当输入数据0x 时,该数列发生器产生一个各项均为负数地地无穷数列．讲解：<Ⅰ）对于函数()421x f x x -=+,()(),11,D =-∞-⋃-+∞．若04965x =,代入计算可得：123111,,1195x x x ===-, 故产生地数列{}n x 只有三项．<Ⅱ）要使数列发生器产生一个无穷地常数数列,实际上是对于任意地正整数n ,都应该有1n n x x +=．又()1n n x f x +=421n n x x -=+．所以,只需令()f x x =．解得： 1 2x x ==或．因为题目实际上只要求找到产生“无穷常数数列”地一个充分条件,所以,令01x =<或2）即可．此时必有1n n x x +=＝1<或2）．事实上,相对于本题来讲,01x =<或2）是产生“无穷常数数列”地充要条件<这是因为函数()421x f x x -=+是一一对应）．如果把函数换成()2322x x f x x +-=,请读者思考：有多少个满足条件地初值0x ？<Ⅲ）要使得对任意正整数n,均有1n n x x +<,我们不妨先探索上述结论成立地一个必要条件．即1121421x x x x -<=+．事实上,不等式421x x x -<+地解为1x <-或12x <<．<＊）所以,11x <-或112x <<．下面我们来研究这个条件是否充分．当11x <-时,12114264411x x x x -==->++,所以,虽然有12x x <,但此时324x x <<,显然不符合题意．当112x <<时,由上可知：12x x <,且不难求得212x <<,以此类推,可知,必有：对任意正整数n,均有1n n x x +<成立．综上所述,112x <<．由()10x f x =及<＊）,不难得知：0x 地取值范围为()1,2． <Ⅳ）要求使得()0n x <∈任取n N成立地初值0x ．实质上是执果索因．令0n x <,则由()1n n x f x -=不难解得1112n x --<<．又由()12n n x f x --=,可解得：21557n x -<<．由此我们知道,如果0n x <,则必有21557n x -<<．即n x 与2n x -不可能同时小于0．故在本题地规则下,不可能产生各项均为负数地数列{}n x ．点评：本题为条件探索型问题,执果索因,恰当运用分析法,寻找使结论成立地充分条件是解决这类问题地常用方法．。

【备战】北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲第28讲结论开放的探索性问题含详解1.doc

【备战2014】北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲第28讲结论开放的探索性问题(含详解)1rove d that a pe opl e and a nation, if it doe s not have its own spiritual pillar, there is no unity of spirit ual support, it m eans that no soul, will l ose cohesi on a nd vitality. Figuratively speaki ng, a sa ck of potatoes, quantity ca nnot be too a team, form a joi nt force ; only lik e granite, so cl osely Unite d to form invinci ble, no difficult means of strength. National rejuvenati on of Chi nese dream, not only em bodies t he common int erests a nd pursuits, a nd covers a vari ety of groups and cla sse s, ha s a wide a ppli cabi lity and i ncl usive, with a strong integrati ng force a nd le ad the force. S he embodie s the aspirations of several g enerati ons of Chi nese , reflecting t oday ... Int o sex and purity, and the inevitable re quir ement of constantly impr oving the party's gover ning capa city. Strengt heni ng the construction of the adv anced nature a nd purity, the core problem is alway s maintaini ng the party's flesh -a nd-blood tie s with t he masse s, so that our party will alway s be t he most w hole hearte d support of the masses.Must take the fundamental int erests of the overw helming majority of the people as the party all the starting point a nd e ndi ng poi nt, the party has al ways been a common fate with the masses, t his is t he magic wea pon for our party to alway s maintai n the adv anced nature a nd purity. Strengt heni ng the construct on of party'sadva nce d nat ure and purity and enhancing the party's ruli ng ability wil l event ually be implemente d to reali ze, safeguard and dev elop the fundame ntal intere sts of the overwhelming majority of the pe ople. All the w ork merits this is a mea sure of the party's fundame ntal standards, is a measure of the party's adva nced nat ure and purity standards. Believe w ho, depe ndi ng on who, who, sta ndi ng on the positi on of the overw helming majority of the pe opl e are always, always reali ze, safeg uard a nd develo p the fundame ntal inter ests of the overw helming majority of the people, it is a t ouchst one of the Marxist party of judg ement, is al so sig n of Marxist party is different fromother politica l parties. Marxist political party ha s a clear politi cal position and hi storica l mission: for the intere sts of the vast majority of pe ople , committed t o the fundame ntal intere sts of the overwhelming majority of the pe ople. From the day of the esta blishment of the Chi nese Communist Par ty, always adhere to basi c principl es of hi stori cal materialism, for the i nterest s of the most people as t heir goal , always serving as its fundame ntal purpose a nd val ues. F ully trust the ma sses, closely rely on the masses mai ntain flesh-a nd-bl ood ties wit h the masses is alw ays the sour ce of our party full of vigor and vitality, i s always t he most determine d in the devel opme nt of our party and our country. Conscie ntiously acce pt supervisi on by t he masse s, pay atte ntion to liste n to the ma sses ' a ssessment, w hich itself was t he party's a dvanced nature a nd purity int o pra ctical a ction to re alize the fundame ntal intere sts of the overwhelming majority of the pe ople. At prese nt, theparty committees and结论开放的探索性问题题型预测探索性问题是指那些题目条件不完备、结论不明确、或者答案不唯一，给学生留有较大探索余地的试题．这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分考生的数学素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到各方面的重视，近年来已成为高考试题的一个新亮点．探索性问题一般有三类：（1）探索结论的开放性问题；（2）探索条件的开放性问题；（3）探索规律（或策略）的问题．结论开放的探索性问题，往往结论不确定、不唯一，或结论需通过类比引申推广，或结论需通过特例归纳．解决这一类问题，要注意类比归纳、等价转化、数形结合等思维方法．范例选讲例1．设f (x ) 是定义域为R 的一个函数，给出下列五个论断：①f (x )的值域为R ；②f (x )是R 上的单调递减函数；③f (x )是奇函数；④f (x )在任意区间[a , b ] (a f (b )；⑤f (x )有反函数．以其中某一论断为条件，另一论断为结论（例如：⑤⇒①），至少写出你认为正确的三个命题：.讲解：本题考察对于函数性质的理解．根据单调性的定义，不难知道：②⑤等价，又由于单调函数必有反函数，所以，不难写出三个正确命题：②⇒⑤；④⇒⑤；②⇒④（或④⇒②）．进一步思考，函数的值域与单调性、奇偶性并无直接联系，而且单调性与是否存在反函数之间也不是等价的关系．所以，可以知道，只有上述三个正确命题．例2．已知,αβ是实数，给出下列四个论断：（1）αβαβ+=+；（2）αβαβ-≤+；（3）22, 22αβ>>；（4）5αβ+>以其中的两个论断为条件，其余两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题．__________________________________．讲解本题考查不等式的性质．显然，（1）、（2）等价，它们的含义均为：,αβ同号．在此前提之下，由（3）必可推出（4），所以，正确的命题为：（1）（3）⇒（4）；（2）（3）⇒（4）．点评：对于这一类只给出了一个特定的情境，而命题的条件、结论及推理论证的过程均不确定的开放性试题，应该灵活运用数学知识，回顾相近的题型、结论、方法，进行类比猜想．在给定的情境中自己去假设，去求解，去调整方法，去确定结果．例3．如右图，在正方体1111ABCD A BC D -中，写出过顶点A 的一个平面，使该平面与正方体的12条棱所成角都相等（写出你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况）．_____________________________ 讲解：正方体的12条棱共分为3组，每组有4条平行线，所以，只需考虑与过同一顶点的三条棱所成角相等即可．正方体是我们较为熟悉的基本图形，不难知道：面ADB 1即符合条件（与BA 、BD 、BB 1所成角相等）．例4．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是___________________（只需写出一个可能的值）．讲解：本题为策略开放题，过程需学生自己设计．由于四面体的棱长未一一给出，首先需探求和设计符合题意的几何图形，再按图索骥，得出结论．本题只要求写出一个可能的值，所以，我们可以尽量构造相对简单、易求值的图形．如：底面为边长为1的正三角形，侧棱长均为2．不难算得，此时体积为1112．作为本题的延伸，我们可以考虑所有符合题意的图形．由于三角形的两边之长大于第三边，所以，组成四面体各个面的三角形中，或者只有一边长为1，或者3边长全为1．如果这些三角形中，有一个边长为1的正三角形，则将其作为底面，考虑其侧棱长，共四种情况：两边为1，一边为2；一边为1，两边长为2；三边长全为2．简单的考察不难知道，只有最后一种情况是可能的．如果这些三角形中，不存在边长为1的正三角形，则只可能有两种情况：四面体的6条棱中，只有一组相对棱的长度为1，其余棱长全为2；只有一条棱长为1，其余棱长全为2．综上，共3种情况．如图：A B C D A 1B 1C 1D 1211221212122222122 其体积分别为：111411,,12126．点评：数学需要解题，但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略．如何能够跳出题海，事半功倍，关键是找到好的切入点．从本题来说，一方面当然要最快找到一个可能的结果，另一方面，对于这种具有多重结果的结论开放性试题，抓住条件中那些影响结果的动态因素，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解．例5．规定()()11!m x x x x m C m --+=，其中x R ∈，m 是正整数，且01xC =，这是组合数m n C （n ，m 是正整数，且m n ≤）的一种推广．（Ⅰ）求515C -的值；（Ⅱ）组合数的两个性质：①m n m n n C C -=；②11m m m n n n C C C -++=是否都能推广到（x R ∈，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；（Ⅲ）我们知道，组合数m n C 是正整数．那么，对于m x C ，x R ∈，m 是正整数，是否也有同样的结论？你能举出一些m xC R ∈成立的例子吗？讲解：（Ⅰ）()()()515*********6285!C ----==-．（Ⅱ）一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义．从这个角度很快可以看出：性质①不能推广．例如当2x =时，12C 有定义，但212C-无意义．性质②如果能够推广，那么,它的推广形式应该是：11m m m x x x C C C -++=，其中x R ∈，m 是正整数．类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论．事实上，当1m =时，10111x x x C C x C ++=+=．当2m ≥时，()()()()()()()()()()()111112!1!121 11!121 !m m x x m x x x x m x x x m C C m m x x x m x m m m x x x m x m C -+--+--++=+---+-+⎛⎛=+ ⎛-⎛⎛--++== 由此，可以知道，性质②能够推广．（Ⅲ）从m x C 的定义不难知道，当x Z ∉且0m ≠时，m xC Z ∈不成立，下面，我们将着眼点放在x Z ∈的情形．先从熟悉的问题入手．当x m ≥时，m x C 就是组合数，故m x C Z ∈．当x Z ∉且x m x m C Z ∈相联系？一方面再一次考察定义：()()11!m x x x x m C m --+=；另一方面，可以从具体的问题入手．由（Ⅰ）的计算过程不难知道：551519C C -=-．另外，我们可以通过其他例子发现类似的结论．因此，将515C -转化为519C 可能是问题解决的途径．事实上，当0x ()()()()()()()1111111!!m m m m x x m x x x m x m x x C C m m -+---+-+--+-==-=-．①若1x m m -+-≥，即1x ≤-，则1m x m C -+-为组合数，故m x C Z ∈．②若1x m m -+-计算不难发现：43C ＝0……，可以猜想，此时0m x C Z =∈．这个结论不难验证．事实上，当0x m ≤,1x x x m --+这m 个连续的整数中，必存在某个数为0．所以，0m x C Z =∈．综上，对于x Z ∈且m 为正整数，均有mx C Z ∈．点评：类比是创造性的“模仿”，联想是“由此及彼”的思维跳跃．在开放题的教学中，引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养学生的创新思维能力，又有利于提高学生举一反三、触类旁通的应变灵活性．【2014必备】北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲：第19讲二次曲线与二次曲线(含详解)1数学高考综合能力题选讲19二次曲线与二次曲线题型预测高考说明中明确指出：“对于圆锥曲线的内容，不要求解有关两个二次曲线交点坐标的问题(两圆的交点除外)”．但是，在解答某些问题时（如1990年全国理科25题），难免会遇到两个二次曲线相切或相交的问题，因此，应该让学生明白：双二次曲线消元后，得到的方程的判别式与交点个数不等价．其次，有些问题涉及两个二次曲线，但所讨论和研究的并不是交点，而是它们的某些参量之间的关系，由于涉及到的参量较多，问题往往显得较为复杂，这类问题要特别加以注意，理清思路，顺藤摸瓜，设计好解题步骤．范例选讲例1．讨论圆()221:1C x a y -+=与抛物线22:C y x =的位置关系．讲解：圆()221:1C x a y -+=是以(),0a 为圆心，1为半径的圆，从草图不难发现，当1a 为此，我们需借助方程组()2221x a y y x⎛-+=⎛⎛=⎛⎛的解的个数来加以说明．把2y x =代入()221x a y -+=，整理得：()221210x x a a +-+-=（＊）．此方程的判别式54a ∆=-．可以看到：当54a =时，0∆=；当54a >时，0∆4a ．事实上，当54a =时，的确有圆与抛物线相切；当54a >时，圆与抛物线无公共点．而当54a ，但圆与抛物线却并不总有公共点，也即判别式与方程组解的个数不等价．造成这种情况的原因实际上是由于：在方程组转化为方程（＊）的过程中，忽略了条件0x ≥．事实上，方程组解的个数等于方程（＊）的非负解的个数．综上，圆()221:1C x a y -+=与抛物线22:C y x =的位置关系如下：当1a 4a >时，圆与抛物线无公共点；当1a =-时，圆与抛物线相切（只有一个公共点）；当11a -圆与抛物线相交（三个公共点）；当514a 当54a =时，圆与抛物线相切（两个公共点）．点评：双二次曲线的问题，要注意判别式的符号与交点个数并不完全等价．例2．已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>，它的离心率为33．直线:2l y x =+，它与以原点为圆心，以1C 的短半轴为半径的圆O 相切．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设椭圆1C 的左焦点为F ，左准线为1l ．动直线2l 垂直1l 于点P ，线段PF 的垂直平分线交2l 于点M ．试点M 到圆O 上的点的最短距离．讲解：（Ⅰ）∵直线:2l y x =+与以原点为圆心，以b 为半径的圆相切．∴2b =．又∵椭圆的离心率为33．∴3a =．∴椭圆1C 的方程为22132x y +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：椭圆1C 的左焦点F 的坐标为()1,0-，左准线1l 的方程为：3x =-．连接FM ，则FM PM =．由抛物线的定义不难知道：点M 的轨迹为以F ()1,0-为焦点，以1l ：3x =-为准线的抛物线，其方程为：()242y x =+．所以，点M 到圆O 上的点的最短距离，实际上就是抛物线()242y x =+与圆222x y +=上的点的最短距离．下面我们分别从几何和代数的角度来考虑这个问题．解法一：首先，如果抛物线上点A 与圆上点B 之间距离最小，则AB 必过圆心O ．（否则，连接OB 、OA ，设OA 交圆于点N ，则r ＋NA ＝OA在抛物线上任取一点M （x,y ），则()()22224224MO x y x x x =+=++=++由于2x ≥-．所以，2MO ≥（等号当且仅当2x =-时取得）．所以，上述最短距离为22MO r -=-．解法二：用纯代数的方法去思考．设()22,2M m m -为抛物线上任意点，()2cos ,2sin Qαα为圆上任意点，则()()222222cos 22sin MQ m m αα=--+-()242cos 4242sin 6m m m αα=--++()()222424232cos 6m m m αβ=-++++()44228cos 6m m αβ=++++446228m m ≥+-+()()2244222m =+-≥-等号当且仅当抛物线和圆上的两点分别为()2,0M -和()2,0Q -时取得．点评：方法二需要较强的代数变形的能力，充分运用图形的几何性质可以使得问题简化．例3．已知双曲线1C 和椭圆2C 有相同的焦点)0,1c F -（和)0()0,(2>c c F ，两曲线在第一象限内的交点为P ．椭圆2C 与y 轴负半轴交于点B ，且B F P 、、2三点共线，2F 分有向线段F 1 O F 2 xQByPPB 的比为1：2，又直线PB 与双曲线1C 的另一交点为Q ，若532=Q F ．（Ⅰ）求椭圆2C 的离心率（Ⅱ）求双曲线1C 和椭圆2C 的方程．讲解：（Ⅰ）要求椭圆2C 的离心率，可以先只考虑与椭圆2C 有关的条件．注意到：B F P 、、2三点共线，且2F 分有向线段PB 的比为1：2．所以，若设椭圆的方程为：()222210x y a b a b+=>>，则点P 的坐标为3, 22b P c ⎛⎛⎛⎛⎛．代入椭圆方程，可解得椭圆的离心率33e =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆的方程为：2222132x y c c +=，点P 的坐标为32, 22P c c ⎛⎛⎛⎛⎛⎛．直线PB 的方程为：()2y x c =- 设双曲线的方程为：()22 221,0x y m n m n -=>，则222m n c +=．∵32, 22P c c ⎛⎛⎛⎛⎛⎛在双曲线上，∴()222229124c c nc n -=- 化简得：2214n c =．故2234m c =．将直线PB 的方程代入双曲线方程2222441x y c c-=，消去y ，得：222048270x xc c -+=．解得1239, 210x c x c ==．从而()22223312105F F Q x x c =+-==．∴椭圆方程为221128x y +=，双曲线方程为2213x y -=．点评：解答本题，最大的问题在于：所给条件杂乱无序，不知从何入手．为此，应该理清头绪，层层递进，分步解答．。

【备战】北京中国人民大学附中高考数学(题型预测+范例选讲)综合能力题选讲第19讲二次曲线与二

二次曲线与二次曲线题型预测高考说明中明确指出：“对于圆锥曲线的内容，不要求解有关两个二次曲线交点坐标的问题(两圆的交点除外)”．但是，在解答某些问题时（如1990年全国理科25题），难免会遇到两个二次曲线相切或相交的问题，因此，应该让学生明白：双二次曲线消元后，得到的方程的判别式与交点个数不等价．其次，有些问题涉及两个二次曲线，但所讨论和研究的并不是交点，而是它们的某些参量之间的关系，由于涉及到的参量较多，问题往往显得较为复杂，这类问题要特别加以注意，理清思路，顺藤摸瓜，设计好解题步骤．范例选讲例1．讨论圆()221:1C x a y -+=与抛物线22:C y x =的位置关系．讲解：圆()221:1C x a y -+=是以(),0a 为圆心，1为半径的圆，从草图不难发现，当1a <-时，圆与抛物线无公共点；当1a =-时，圆与抛物线相切；当11a -<<时，圆与抛物线相交；而当1a ≥时，圆与抛物线的关系则很难从图形上加以判断．为此，我们需借助方程组()2221x a y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩的解的个数来加以说明．把2y x =代入()221x a y -+=，整理得：()221210x x a a +-+-=（＊）．此方程的判别式54a ∆=-．可以看到：当54a =时，0∆=；当54a >时，0∆<；当54a <时，0∆>．事实上，当54a =时，的确有圆与抛物线相切；当54a >时，圆与抛物线无公共点．而当54a <时，虽然有方程（＊）的0∆>，但圆与抛物线却并不总有公共点，也即判别式与方程组解的个数不等价．造成这种情况的原因实际上是由于：在方程组转化为方程（＊）的过程中，忽略了条件0x ≥．事实上，方程组解的个数等于方程（＊）的非负解的个数．综上，圆()221:1C x a y -+=与抛物线22:C y x =的位置关系如下：当1a <-或54a >时，圆与抛物线无公共点；当1a =-时，圆与抛物线相切（只有一个公共点）；当11a -<<时，圆与抛物线相交（两个公共点）；当1a =时，圆与抛物线相交（三个公共点）；当514a <<时，圆与抛物线相交（四个公共点）；当54a =时，圆与抛物线相切（两个公共点）．点评：双二次曲线的问题，要注意判别式的符号与交点个数并不完全等价．例2．已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>，它的离心率为3．直线:2l y x =+，它与以原点为圆心，以1C 的短半轴为半径的圆O 相切．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设椭圆1C 的左焦点为F ，左准线为1l ．动直线2l 垂直1l 于点P ，线段PF 的垂直平分线交2l 于点M ．试点M 到圆O 上的点的最短距离．讲解：（Ⅰ）∵ 直线:2l y x =+与以原点为圆心，以b 为半径的圆相切．∴b =又∵ 椭圆的离心率为3．∴a =∴ 椭圆1C 的方程为22132x y +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：椭圆1C 的左焦点F 的坐标为()1,0-，左准线1l 的方程为：3x =-．连接FM ，则F M P M=．由抛物线的定义不难知道：点M 的轨迹为以F ()1,0-为焦点，以1l ：3x =-为准线的抛物线，其方程为：()242y x =+．所以，点M 到圆O 上的点的最短距离，实际上就是抛物线()242y x =+与圆222x y +=上的点的最短距离．下面我们分别从几何和代数的角度来考虑这个问题．解法一：首先，如果抛物线上点A 与圆上点B 之间距离最小，则AB 必过圆心O ．（否则，连接OB 、OA ，设OA 交圆于点N ，则r ＋NA ＝OA<OB ＋AB ＝r ＋AB ，即NA<BA ，与AB 最小矛盾．所以，只需求出圆心O 到抛物线上点的最短距离即可．）在抛物线上任取一点M （x,y ），则MO===由于2x≥-．所以，2MO≥（等号当且仅当2x=-时取得）．所以，上述最短距离为2MO r-=-解法二：用纯代数的方法去思考．设()22,2M m m-为抛物线上任意点，)Qαα为圆上任意点，则()()222222MQ m mαα=-+()2442sin6m mαα=--++()46mαβ=+++()46mαβ=+++46m≥+-(222=-≥-等号当且仅当抛物线和圆上的两点分别为()2,0M-和()Q时取得．点评：方法二需要较强的代数变形的能力，充分运用图形的几何性质可以使得问题简化．例3．已知双曲线1C和椭圆2C有相同的焦点)0,1cF-（和)0()0,(2>ccF，两曲线在第一象限内的交点为P．椭圆2C与y轴负半轴交于点B，且BFP、、2三点共线，2F分有向线段PB的比为1：2，又直线PB与双曲线1C的另一交点为Q，若532=QF．（Ⅰ）求椭圆2C的离心率（Ⅱ）求双曲线1C 和椭圆2C 的方程．讲解：（Ⅰ）要求椭圆2C 的离心率，可以先只考虑与椭圆2C 有关的条件．注意到：B F P 、、2三点共线，且2F 分有向线段PB 的比为1：2．所以，若设椭圆的方程为：()222210x y a b a b +=>>，则点P 的坐标为3, 22b P c ⎛⎫⎪⎝⎭．代入椭圆方程，可解得椭圆的离心率e =（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆的方程为：2222132x y c c +=，点P 的坐标为3, 22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．直线PB 的方程为：)y x c =-设双曲线的方程为：()22221,0x y m n m n-=>，则222m n c +=．∵ 3, 22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在双曲线上， ∴ ()222229124c c nc n -=- 化简得：2214n c =．故2234m c =．将直线PB 的方程代入双曲线方程2222441x y c c-=，消去y ，得：222048270x xc c -+=．解得1239, 210x c x c ==．从而222F F Q x =-==． ∴ 椭圆方程为221128x y +=，双曲线方程为2213x y -=．点评：解答本题，最大的问题在于：所给条件杂乱无序，不知从何入手．为此，应该理清头绪，层层递进，分步解答．。

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结论开放地探索性问题
题型预测
探索性问题是指那些题目条件不完备、结论不明确、或者答案不唯一,给学生留有较大探索余地地试卷．这一类问题立意于对发散思维能力地培养和考察,具有开放性,解法活、形式新,无法套用统一地解题模式,不仅有利于考查和区分考生地数学素质和创新能力,而且还可以有效地检测和区分考生地学习潜能,因而受到各方面地重视,近年来已成为高测试卷地一个新亮点．探索性问题一般有三类：<1）探索结论地开放性问题；<2）探索条件地开放性问题；<3）探索规律<或策略）地问题．结论开放地探索性问题,往往结论不确定、不唯一,或结论需通过类比引申推广,或结论需通过特例归纳．解决这一类问题,要注意类比归纳、等价转化、数形结合等思维方法．范例选讲
例1．设f (x > 是定义域为R 地一个函数,给出下列五个论断：
①f (x >地值域为R ；
②f (x >是R 上地单调递减函数； ③f (x >是奇函数；
④f (x >在任意区间[a , b ] (a <b >上地最大值为f (a >,最小值为f (b >,且f (a >> f (b >；⑤f (x >有反函数．
以其中某一论断为条件,另一论断为结论<例如：⑤⇒①）,至少写出你认为正确地三个命题：.讲解：本题考察对于函数性质地理解．根据单调性地定义,不难知道：②⑤等价,又因为单调函数必有反函数,所以,不难写出三个正确命题：②⇒⑤；④⇒⑤；②⇒④<或④⇒②）．进一步思考,函数地值域与单调性、奇偶性并无直接联系,而且单调性与是否存在反函数之间也不是等价地关系．所以,可以知道,只有上述三个正确命题．例2．已知,αβ是实数,给出下列四个论断： <1）αβαβ+=
+； <2）αβαβ-≤+；
<3）
αβ>><4）5αβ+>
以其中地两个论断为条件,其余两个论断为结论,写出你认为正确地一个命题． __________________________________．讲解本题考查不等式地性质．显然,<1）、<2）等价,它们地含义均为：,αβ同号．在此前提之下,由<3）必可推出<4）,所以,正确地命题为：<1）<3）⇒<4）；<2）<3）⇒<4）．点评：对于这一类只给出了一个特定地情境,而命题地条件、结论及推理论证地过程均不确定地开放性试卷,应该灵活运用数学知识,回顾相近地题型、结论、方法,进行类比猜想．在给定地情境中自己去假设,去求解,去调整方法,去确定结果．
例3．如右图,在正方体1111ABCD A B C D -中,写出过顶点A 地一个平面,使该平面与正方体地12条棱所成角都相等<写出你认为正确地一个平面即可,不必考虑所有可能地情况）．_____________________________
讲解：正方体地12条棱共分为3组,每组有4条平行
线,所以,只需考虑与过同一顶点地三条棱所成角相等即
可．正方体是我们较为熟悉地基本图形,不难知道：面ADB 1即符合条件<与BA 、BD 、BB 1所成角相等）．
例4．若四面体各棱地长是1或2,且该四面体不是正四面体,则其体积地值是___________________<只需写出一个可能地值）．讲解：本题为策略开放题,过程需学生自己设计．
因为四面体地棱长未一一给出,首先需探求和设计符合题意地几何图形,再按图索骥,得出结论．本题只要求写出一个可能地值,所以,我们可以尽量构造相对简单、易求值地图形．如：底面为边长为1地正三角形,侧棱长均为2．不难算得,
此时体积为
12
．作为本题地延伸,我们可以考虑所有符合题意地图形．
因为三角形地两边之长大于第三边,所以,组成四面体各个面地三角形中,或者只有一边长为1,或者3边长全为1．如果这些三角形中,有一个边长为1地正三角形,则将其作为底面,考虑其侧棱长,共四种情况：两边为1,一边为2；一边为1,两边长为2；三边长全为2．简单地考察不难知道,只有最后一种情况是可能地．如果这些三角形中,不存在边长为1地正三角形,则只可能有两种情况：四面体地6条棱中,只有一组相对棱地长度为1,其余棱长全为2；只有一条棱长为1,其余棱长全为2．综上,共3种情况．如图：
其体积分别为：
,12126
．点评：数学需要解题,但题海战术绝对不是学习数学地最佳策略．如何能够跳出题海,
事半功倍,关键是找到好地切入点．从本题来说,一方面当然要最快找到一个可能地结果,另一方面,对于这种具有多重结果地结论开放性试卷,抓住条件中那些影响结果地动态因素,全面考察问题地各个方面,不仅可以训练自己地思维,而且可以纵观全局,从整体上对知识地全貌有一个较好地理解．例5．规定()(
)
11!
m x
x x x m C m --+=
,其中x R ∈,m 是正整数,且0
1x C =,这是组合数
C
m n C <n,m 是正整数,且m n ≤）地一种推广．
<Ⅰ）求5
15C -地值；
<Ⅱ）组合数地两个性质：①m n m n n C C -=；②11m m m n n n C C C -++=
是否都能推广到<x R ∈,m 是正整数）地情形？若能推广,则写出推广地形式并给出证明；若不能,则说明理由；
<Ⅲ）我们知道,组合数m
n C 是正整数．那么,对于m
x C ,x R ∈,m 是正整数,是否也有同样地结论？你能举出一些m
x C R ∈成立地例子吗？讲解：<Ⅰ）()()()5
15151619116285!
C ----==-．
<Ⅱ）一个性质是否能推广地新地数域上,首先需要研究它是否满足新地定义．从这
个角度很快可以看出：性质①不能推广．例如当x =
,,
但1
无意义．性质②如果能够推广,那么,它地推广形式应该是：11m m m
x x x C C C -++=,其中x R ∈,m
是正整数．
类比于性质①地思考方法,但从定义上是看不出矛盾地,那么,我们不妨仿造组合数性质地证明过程来证明这个结论．事实上,当1m =时,101
11x x x C C x C ++=+=．当2m ≥时,
()
()()()()()()()()()()
11
1112!1!
121 11!121 !
m m x x m x x x x m x x x m C C m m x x x m x m m m x x x m x m C -+--+--++=
+---+-+⎛⎫
=+ ⎪-⎝⎭
--++=
= 由此,可以知道,性质②能够推广．
<Ⅲ）从m
x C 地定义不难知道,当x Z ∉且0m ≠时,m
x C Z ∈不成立,下面,我们将着眼点放在x Z ∈地情形．
先从熟悉地问题入手．当x m ≥时,m x C 就是组合数,故m
x C Z ∈．
当x Z ∉且x m <时,推广和探索地一般思路是：能否把未知地情形<m
x C ,x Z ∉且
x m <）与已知地结论m
n C Z ∈相联系？
一方面再一次考察定义：()
()11!
m
x x x x m C m --+=；另一方面,可以从具体地问题
入手．
由<Ⅰ）地计算过程不难知道：55
1519C C -=-．另外,我们可以通过其他例子发现类似地
结论．因此,将515C -转化为5
19C 可能是问题解决地途径．事实上,当0x <时,
()
()()
()()()()
1111111!
!
m
m
m m x
x m x x x m x m x x C C m m -+---+-+--+-=
=
-=
-．
①若1x m m -+-≥,即1x ≤-,则1m x m C -+-为组合数,故m
x C Z ∈．
②若1x m m -+-<,即0x m ≤<时,无法通过上述方法得出结论,此时,由具体地计算
不难发现：43C ＝0……,可以猜想,此时0m
x C Z =∈．
这个结论不难验证．事实上,当0x m ≤<时,在,1,
,1x x x m --+这m 个连续地整
数中,必存在某个数为0．所以,0m
x C Z =∈．
综上,对于x Z ∈且m 为正整数,均有m
x C Z ∈．
点评：类比是创造性地“模仿”,联想是“由此及彼”地思维跳跃．在开放题地教案中,引导学生将所求地问题与熟知地信息相类比,进行多方位地联想,将式子结构、运算法则、解题方法、问题地结论等引申、推广或迁移,可由已知探索未知,由旧知探索新知,这既有利于培养学生地创新思维能力,又有利于提高学生举一反三、触类旁通地应变灵活性．。