2019届宁夏石嘴山市第三中学高三四模考试数学(理)试题(解析版)

石嘴山三中2019届高三年级第四次模拟考试
数学（理科）能力测试
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若复数1z i
i
=+（i 为虚数单位），则z z ⋅=（ ） A.
12
i B. 1
4- C. 14
D.
1
2
【答案】D 【解析】 【分析】
易知2
||z z z ⋅=，结合复数模的运算法则求解其值即可.
【详解】由题意可得：2
22
1|
12|i z z z i ⎛⎫⋅====
⎪ ⎪+⎝
⎭. 本题选择D 选项.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则及其应用，属于中等题.
2.已知集合{1,0,1,2}M =-，2
{|30}N x x x =-<．则M
N =（ ）
A. {0,1}
B. {}1,0-
C. {}1,2
D. {1,2}-
【答案】C 【解析】 【分析】
先解不等式求出N ，再求M N ⋂即可.
【详解】由230x x -<，解得03x <<，则{|03}N x x =<<. 又{1,0,1,2}M =-，所以{}1,2M N ⋂=. 故选C ．
【点睛】本题考查列举法、描述法表示集合，一元二次不等式解法，以及交集的运算．
3.设x R ∈，则“12x <<”是“21x -<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果. 【详解】
21121,13x x x -<∴-<-<<<,又()1,2()1,3，所以“12x <<”是“21x -<”的充
分不必要条件，选A.
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
4.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A. 月接待游客量逐月增加
B. 年接待游客量逐年增加
C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A 【解析】 【分析】
根据折线图的数据，依次判断各个选项所描述的数据特点，得到正确结果。

【详解】A 选项：折线图整体体现了上升趋势，但存在2016年9月接待游客量小于2016年8月接待游客量的情况，故并不是逐月增加，因此A 错误；
B 选项：折线图按照年份划分，每年对应月份作比较，可发现同一月份接待游客数量逐年增加，可得年接
待游客量逐年增加，因此B 错误；
C 选项：根据折线图可发现，每年的7，8月份接待游客量明显高于当年其他月份，因此每年的接待游客高
峰期均在7，8月份，并非6，7月份，因此C 错误；
D 根据折线图可知，每年1月至6月的极差较小，同时曲线波动较小；7月至12月极差明显大于1月至6月
的极差，同时曲线波动幅度较大，说明1月至6月变化比较平稳，因此D 正确. 本题正确选项：D
【点睛】本题考察了统计部分的基础知识，关键在于读懂折线图，属于基础题。

5.在等差数列{}n a 中，若81126a a =+，则46a a +=（ ） A. 6 B. 9
C. 12
D. 18
【答案】C 【解析】 【分析】
由81126a a =+得5146d a a +==，然后再根据等差数列项的下标和的性质得到所求． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，
则由81126a a =+得112(7)610a d a d +=++，整理得5146d a a +==， 所以465212a a a =+=． 故选C ．
【点睛】本题考查等差数列的基本运算和下标和的性质，运用下标和性质解题可简化运算，提高解题的效率，属于基础题．
6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A. 3π
B.
4π
C. 24π+
D. 34π+
【答案】D 【解析】
该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为2
1
π12π12+223π+42
⨯+⨯⨯⨯⨯= ,选D.
【此处有视频，请去附件查看】
7.如图的程序框图，当输出15y =后，程序结束，则判断框内应该填（ ）
A. 1x ≤
B. 2x ≤
C. 8,5OA OB ==
D.
4x ≤
【答案】C 【解析】 【分析】
计算出输出15y =时，3x =；继续运行程序可知继续赋值得：4x =，此时不满足判断框条件，结束程序，从而可得判断框条件.
【详解】当输出15y =时，2215x x +=，解得：15x =-，()
()222
0000042240x k x y k y y -+-+-=
输入值为3x =-，赋值框中x x 1=+ 3x ∴= 即运行2
215y x x =+=时，3x =
继续运行：314x =+=，不满足判断框条件，结束程序
∴判断框应填：8,5OA OB ==
本题正确选项：C
【点睛】本题考查补全程序框图的问题，属于基础题.
8.长方体1111ABCD A B C D -中12AB AA ==，1AD =，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】
建立坐标系如图所示．
则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)，1BC ＝(－1,0,2)，AE ＝(－1，2,1)．
cos 〈1BC ，AE 〉＝
＝
10
.
所以异面直线BC 1与AE
9.已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）
A. 2x
x y =
B. 22x
y =-
C. e x
y x =- D. |2
|2x y x =﹣
【答案】D 【解析】 【分析】
对给出的四个选项分别进行分析、讨论后可得结果． 【详解】对于A ，函数()2
x
x f x =
，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，所以不满足题意．
对于B ，当BC AP λ=时，()f x 单调递增，不满足题意． 对于C ，当BC AP λ=时，()0f x >，不满足题意．
对于D ，函数22x
y x =﹣为偶函数，且当BC AP λ=时，函数有两个零点，满足题意． 故选D ．
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
10.将函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向左平移
6
π
个单位后得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =为偶函数，则函数()y f x =在[0,]2
π
的值域为（ ）
A. [1,2]-
B. [1,1]-
C. 2]
D. [
【答案】A 【解析】
【分析】
由图象平移可得()g x ，根据()g x 为偶函数和ϕ的范围可求得ϕ，从而得到()f x 解析式；利用x 的范围求得26
x π
+
的范围，根据正弦函数图象可求得函数值域.
【详解】()f x 向左平移6π个单位得：()2sin 22sin 263g x x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 又()g x 为偶函数 32
k ππ
ϕπ∴
+=
+，k Z ∈ 6
k π
ϕπ∴=
+，k Z ∈
0ϕπ<< π6∴=
ϕ ()2sin 26f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭
当0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
1sin 2,162x π⎛
⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()[]1,2f x ∴∈-
本题正确选项：A
【点睛】本题考查三角函数图象平移变换、根据函数性质求解函数解析式、三角函数在区间内的值域问题的求解，关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.
11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为点1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >，抛物线2
4y cx
=与双曲线在第一象限内相交于点P ，若212PF F F =，则双曲线的离心率为（ ）
A. 1
B. 1
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】
根据准线方程和抛物线定义可知四边形12PHF F 为平行四边形，从而可知2PF 为半通径，从而可构造出关于
,a c 的齐次方程，解方程求得离心率.
【详解】由2
4y cx =可得准线方程为：x c =-（过点1F ）
设P 到准线的距离为PH ，则2PH PF = 又12//PH F F ，212PH PF F F ==
∴四边形12PHF F 为平行四边形 2PF x ∴⊥轴
又222b PF c a
==，则2222b c a ac =-=，即：2210e e --=
解得：1e =+本题正确选项：A
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够构造出关于,a c 的齐次方程，从而建立起关于离心率的方程.
12.若函数2
1()ln 22
f x a x x bx =++在区间[1,2]上单调递增，则4a b +的最小值是（ ） A. -3 B. -4
C. -5
D. 154
-
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可知函数
()
2
1
l n 22
f
x a x
x b x =++在区间[]1,2上单调递增，等价于
()2220a x bx a
f x x b x x
++=++=≥'在[1,2]上恒成立，即220x bx a ++≥在[]1,2上恒成立，结合二次
函数在某个闭区间上的最值，求得结果. 【详解】函数()2
1ln 22
f x a x x bx =+
+在[]1,2上单调递增， 所以()2220a x bx a
f x x b x x
++=++=≥'在[1,2]上恒成立，
即220x bx a ++≥在[]
1,2上恒成立， 令()2
2h x x bx a =++，其对称轴为x b =-，
当1b -≤即2b ≤-时，220x bx a ++≥在[]
1,2上恒成立等价于()1
1210b h a b ≥-⎧
⎨=++≥⎩，
由线性规划知识可知，此时()min 43a b +=-；
当2b -≥即2b ≤-时，2
20x bx a ++≥在[]1,2上恒成立等价于()22440b h a b ≤-⎧
⎨=++≥⎩
，
44a b +≥-，即()min 44a b +=-；
当12b <-<即21b -<<-时，2
20x bx a ++≥在[]1,2上恒成立等价于()2
21
0b h b a b -<<-⎧⎨-=-≥⎩
， 此时()min 44a b +=-；
综上可知，()min 44a b +=-，故选B .
【点睛】该题考查的是有关式子的最值的问题，涉及到的知识点有函数在给定区间上单调对应的等价条件，二次函数在给定区间上的最小值的求解，属于较难题目.
二、填空题。

13.已知2a =，3b =r
，a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=____．
【解析】 【分析】
利用两个向量的数量积的定义求出a b ⋅，再利用|2a -b . 【详解】因为||a =2，|b |=3，a 、b v
的夹角为60°，所以a b ⋅=2⨯3⨯1
2
=3，所以
|2a -b a b b ⋅+=44439=13⨯-⨯+
【点睛】本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法．
14.若828
0128(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，则0128a a a a +++⋯+=______．
【答案】0 【解析】 【分析】
利用二项式定理可知，对已知关系式中的x 赋值，即可求得0128a a a a +++⋯+的值． 【详解】∵()()()()8
2
8
01282111x a a x a x a x -=+-+-+⋯+- 令x ＝2得：0＝0128a a a a +++⋯+，即0128a a a a +++⋯+＝0； 故答案为：0．
【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查赋值法的应用，属于基础题．
15.数列{}n a 满足：11a =，121n n a a +=+，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =__. 【答案】122n n +-- 【解析】 【分析】
先通过121n n a a +=+求出通项公式，再求前n 项和为n S 【详解】由121n n a a +=+得()1+121n n a a +=+
所以
11
1
2+n n a a +=+，且112a += 所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比等比数列，
且11=222n n
n a -+⨯=
所以21n
n a =-
前n 项和()123121222222212
n n n n
S n n n +-=++++-=
-=---
【点睛】本题考查数列求通项公式的方法以及数列的分组求和，属于一般题。

16.点(),M x y 在曲线C ：2
2
4210x x y -+-=上运动，22
+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值
为b ，若,a b R +∈，则11
1a b
++的最小值为_____. 【答案】1 【解析】 【分析】
首先可确定曲线C 表示圆心为()2,0，半径为5的圆；令d =
则2222t d a =--；d
的最大值为半径与圆心到点()6,6-的距离之和，利用两点间距离公式求得max d ，代入t 中利用最大值为b 可求得14a b ++=，将所求的式子变为
()111111141a b a b a b ⎛⎫
+=+++ ⎪++⎝⎭
，利用基本不等式求得结果. 【详解】曲线C 可整理为：()2
2225x y -+= 则曲线C 表示圆心为()2,0，半径为5的圆
()()22
22+121215066222t x y x y a x y a =+---=++---
设d =
d 表示圆上的点到()6,6-的距离
则max 515d =
=
2max 15222t a b ∴=--=，整理得：14a b ++=
()111111*********b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫∴
+=+++=⨯+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
又
121b a a b ++≥=+（当且仅当
11b a a b +=+，即1a =，2b =时取等号） 1114114a b ∴
+≥⨯=+，即11
1a b
++最小值为1
本题正确结果：1
【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，解题关键是掌握圆上的点到定点距离的最值的求解方法，从而可得到,a b 之间的关系，从而配凑出符合基本不等式的形式.
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．）
17.已知函数2
1()cos )cos()2
f x x x x ππ=-+-. （1）求函数()f x 在[0,]π的单调递减区间；
（2）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，2a =，
sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.
【答案】（Ⅰ）[0,]3
π
和5[
,]6
π
π；【解析】
试题分析：（Ⅰ）结合诱导公式及二倍角公式化简函数得()sin 26f x x π⎛⎫
=--
⎪⎝
⎭
，求减区间，只需2222
62
kx x kx π
π
π
-
≤-
≤+即可，结合[]0,π求交集即可； （Ⅱ）由()sin 216f A A π⎛
⎫
=--
=- ⎪⎝
⎭，结合锐角ABC ∆，02A π<<，可得3
A π
=，由正弦定理将sin sin b C a A =转化为24bc a ==，进而可求面积.
试题解析：
（Ⅰ）由已知得()2
1cos cos 2f x x x x =-
1cos21sin 2226x x x π+⎛
⎫=-=-- ⎪⎝
⎭. 2222
6
2
kx x kx π
π
π
∴-
≤-
≤+
，6
3
kx x kx π
π
∴-
≤≤+
又[]
0,x π∈
∴函数()f x 在[]0,π的单调递减区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
（Ⅱ）由（1）知()sin 26f x x π⎛
⎫
=-- ⎪⎝
⎭
锐角ABC ∆，∴ 02
A π
<< 526
6
6
A π
π
π∴-
<-
<
又()sin 216f A A π⎛⎫
=--
=- ⎪⎝
⎭
26
2
A π
π
∴-
=
，即3
A π
=
.
又sin sin b C a A = 24bc a ∴==
1
sin 2
ABC S bc A ∆∴==
18.从某工厂生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中以μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．
（ⅰ）利用该正态分布，求(127.6140)P Z <<；
（ⅱ）某用户从该工厂购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间(127.6,140)的
产品件数，利用（ⅰ）的结果，求EX ．
12.4≈．若2(,)Z
N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，
(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=．
【答案】（1）平均数x =140；2154s =（2）（ⅰ）0.3413（ⅱ）见解析 【解析】 【分析】
（1）由频率分布直方图中的数据结合平均数和方差公式直接计算即可；（2）（ⅰ）由（1）中数据知
1
(127.6140)()2
P Z P Z μσμσ<<=-<<+，计算出答案即可；（ⅱ）依题意知X 服从二项分布(),B n p ，
由二项分布的EX np =直接计算即可.
【详解】（1）抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为
1100.021200.101300.201400.35x =⨯+⨯+⨯+⨯
1500.221600.091700.02+⨯+⨯+⨯ 140=
()()()2
2
2
2300.02200.10100.2000.35s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯ 222100.22200.09300.02+⨯+⨯+⨯
154=
（2）（ⅰ）由（1）知，()~140,154Z N ， 从而11
(127.6140)(14012.414012.4)0.68260.341322
P Z P Z <<=
-<<+=⨯= （ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品的质量指标值位于区间()127.6,140的概率为0.3413， 依题意知X 服从二项分布()100,0.3413B ， 所以1000.341334.13EX =⨯=
【点睛】本题考查了频率分布直方图，平均数与方差，正态分布与二项分布，属于中档题.
19.如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，
2AD CD =，60ADC ∠=︒．
（1）若1AA AC =，求证：1AC ⊥平面11A B CD ；
（2）若2CD =，1AA AC λ=，二面角11C A D C --的余弦值为4
，求三棱锥11C A CD -的体积． 【答案】（1）见解析（2）4 【解析】 【分析】
（1）若AA 1＝AC ，根据线面垂直的判定定理即可证明AC 1⊥平面A 1B 1CD ； （2）建立坐标系，根据二面角C ﹣A 1D ﹣C 1
的余弦值为4
，求出λ的值，根据三棱锥的体积公式进行计算即可．
【详解】解：（1）证明：连接1A C 交1AC 于E ，因为1AA AC =，又1AA ⊥平面ABCD ， 所以1AA AC ⊥，所以四边形11A ACC 为正方形，
所以11A C AC ⊥，在ACD ∆中，2,60AD CD ADC =∠=， 由余弦定理得2222cos60AC AD CD AD CD =+-⋅，
所以AC =，所以222AD AC CD =+，所以CD AC ⊥，又1AA CD ⊥， 所以CD ⊥平面11A ACC ，
所以1CD AC ⊥，又因为1,CD A C C ⋂= AC 1⊥平面A 1B 1CD ；
（2）如图建立直角坐标系，则(
)(
)(
)()
112,0,0,,,D A C A
(
)()
112,0,23,DC DA λ∴=-=-，
设平面11AC D 的法向量为()1111,,n x y z =，由
111100n DC n
DA ⎧⋅=⎪
⎨
⋅=⎪
⎩即111112020
x z x z ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩， 解得(
)
11113,03,0,1x z y n λλ==∴=
设平面1A CD 的法向量为()2222,,n x y z =
由2210
0n CD n CA
⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得222200x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩
解得()22220,,0,,1x y z n λλ==-∴=-
由1212cos 4||3n n n
n θλ⋅=
==⋅得1λ=
，所以1,AA AC =
此时12,,CD AA AC === 所以1111112432C A CD D A CC V V --⎛==
⨯⨯⨯= ⎝ 【点睛】本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥体积的计算，根据二面角的关系建立坐标系求出λ的值是解决本题的关键．
20.已知1F ，2F 为椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点，点(2,3)P 为其上一点，且128PF PF +=．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线l ：4y kx =-交椭圆C 于A ，B
两点，且原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，试求k 的取值范围．
【答案】（1）22
11612x y +=（2）1122⎛⎫⎛-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）由椭圆的定义及点在椭圆上，代入椭圆方程可求得a 、b ，进而得椭圆的标准方程。

（2）设出A 、B 的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出0OA OB ⋅>uu r uu u r
，代入得到关于k 的不等式，解不等式即可得k 的取值范围。

【详解】解：（1）由题可知22
22231
28
a b
a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
，解得221612a b ⎧=⎨=⎩， 所以椭圆的标准方程为：22
11612
x y +=.
（2）设()11,A x y ，()22,B x y 由22
116124x y y kx ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
，得
()2
24332160k
x kx +-+=，
由韦达定理得：1223243k x x k +=
+，122
16
43
x x k =+， 由()20324k ∆>⇒-- ()
2
43160k +⋅>得12k >或12k <-.
又因为原点O 在线段AB 为直径的圆外部，则0OA OB ⋅>uu r uu u r
，
()
()212121416OA OB k x x k x x ⋅=+-++
(
)
2
221632144343k k k k k =+-++ ()
2
2164316043
k k -+=>+，
即33
k -
<<
， 综上所述：实数k
的取值范围为1122⎛⎫⎛-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，属于中档题。

21.已知函数()()()x
f x x a e a R =-∈. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）当2a =时，()()ln F x f x x x =-+，记函数()y F x =在1
(,1)4
上的最大值为m ，证明：43m -<<-. 【答案】（1）单调递减区间为(),1a -∞-，单调递增区间为()1,a -+∞；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）利用导数求函数的单调性即可； （2）对()F x 求导，得()()11x
F x x e x ⎛⎫=--
⎝'⎪
⎭，因为114x <<，所以10x -<，令()1x
g x e x
=-，求
导得()g x 在1,14⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，∃ 01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，进而得()F x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，
在()0,1x 上单调递减；所以()()00max 02
12m F x F x x x ===-
-，令()212G x x x
=-- ，求导得()G x 在1,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
上单调递增，进而求得m 的范围.
【详解】（1）因为()()x
f x x a e =-，所以()()1x
f x x a e =-+'，当(),1x a ∈-∞-时，()0f x '<；当
()1,x a ∈-+∞时，()0f x '>，
故()f x 的单调递减区间为(),1a -∞-，单调递增区间为()1,a -+∞. （2）当2a =时，()()2ln x
F x x e x x =--+，
则()()()11111x
x F x x e x e x x ⎛
⎫=--+
=-- ⎝
'⎪⎭， 当
114x <<时，10x -<，令()1
x g x e x
=-， 则()2
10x
g x e x =+
>'，所以()g x 在1,14⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增， 因为1
21202g e ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭
，()110g e =->，
所以存在01,12x ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
，使得()00g x =，即001x
e x =，即00ln x x =-.
故当01,4x x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，()0g x <，此时()0F x '>； 当()0,1x x ∈时，()0g x >，此时()0F x '<. 即()F x 在01,4x ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，在()0,1x 上单调递减. 则()()()0
0000max
2ln x m F x F x x e x x ===--+ ()000000
12
212x x x x x x =-⨯
--=--.
令()212G x x x =--，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()
22221220x G x x x
-=-=>'. 所以()G x 在1,12x ⎛⎫∈
⎪⎝⎭上单调递增，所以()142G x G ⎛⎫
>=- ⎪⎝⎭
，()()13G x G <=-. 故43m -<<-成立.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性和取值范围，也考查了构造新函数，转化思想，属于中档题.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y α
α=⎧⎨=⎩
（α为参数）。

（1）将曲线C 上各点纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线1C ，写出1C 的极坐标方程； （2）射线=3
π
θ与1C 交l 的交点分别为,M N ，射线2=
3
π
θ与1C 和l 的交点分别为,A B ，求四边形ABNM 的面积.
【答案】(1)4ρ=；(2)【解析】
试题分析：（1）将曲线C 上各点纵坐标伸长到原来的2倍得4sin y α=，先消元得圆的方程，再化为极坐标方程；（2）将四边形面积转化为两个三角形面积之差，再根据极径的意义求三角形面积即可. 试题解析：
(1)22
1:16C x y +=
所以极坐标方程为：4ρ= (2)将π2πθθ33
=
=，代入直线的极坐标方程得到
sin
sin 12
12
N B ρρ=
=
，
由1sin 602
OBN B N S ρρ=⨯⨯︒与144sin 602OAM S =⨯⨯︒
得ABNM OBN OAM S S
S =-= 23.选修4-5不等式选讲
已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >.
（1）求m 的值；
（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c a a b c
++≥. 【答案】（1）2m =（2）见证明
【解析】
【分析】
（1）分别在x m ≤和x m ≥两种情况下去掉绝对值解不等式，结合0m >可求得解集为{}
x x m ≤-，与题设对应可求得2m =；（2）由（1）知2a b c ++=，所证不等式可变为：222
b c a a b c a b c
++≥++；利用基本不等式可得22b a b a
+≥，2
2c b c b +≥，22a c a c +≥，加和整理可得结果. 【详解】（1）由题意知：20x m x -+≤
即20x m x m x ≥⎧⎨-+≤⎩或20
x m m x x ≤⎧⎨-+≤⎩ 化简得：3x m m x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩
或x m x m ≤⎧⎨≤-⎩ 0m > ∴不等式组的解集为{}x x m ≤-
2m ∴-=-，解得：2m =
（2）由（1）可知，2a b c ++= 由基本不等式有：22b a b a
+≥，2
2c b c b +≥，22a c a c +≥
三式相加可得：222
222b c a a b c b c a a b c
+++++≥++ 222
b c a a b c a b c ∴++≥++，即：2222b c a a b c
++≥ 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法、利用基本不等式证明不等式的问题，属于常规题型.。