信号分析与处理——傅里叶级数

信号分析与处理——傅⾥叶级数
复习笔记——傅⾥叶级数
下载下⾯的⾳频⽂件，听⼀个图中所⽰正弦信号的声⾳：
1、正弦信号的叠加
考虑信号x = A1*cos(w1*t)+A2*cos(w2*t+pi/3)+A3*cos(w3*t+pi/2);
这个信号明显含有3个频率成分w1,w2,w3，幅度为A1,A2,A3.下⾯⽤matlab画图，三种频率分别为1 4 8。

View Code
t = 0:20/400:20;
w1=1;w2=4;w3=8;
A1 = input('Input the amplitude A1 for w1 = 1: ');
A2 = input('Input the amplitude A1 for w2 = 4: ');
A3 = input('Input the amplitude A1 for w3 = 8: ');
x = A1*cos(w1*t)+A2*cos(w2*t+pi/3)+A3*cos(w3*t+pi/2);
clf
subplot(211),plot(t,x)
title('Sum of Sinusoids')
ylabel('x(t)')
xlabel('Time (sec)')
subplot(212),stem([w1 w2 w3],[A1 A2 A3])
v = [01001.5*max([A1,A2,A3])];
axis(v);
ylabel('An')
xlabel('Frequency (rad/sec)')
axis;
subplot(111)
⼀种三个幅度都为1的情况：
Input the amplitude A1 for w1 = 1: 1
Input the amplitude A1 for w2 = 4: 1
Input the amplitude A1 for w3 = 8: 1
再看⼀种情况，幅度分别为A1 =0.5 A2=1 A3=0
从以上可以看出，信号的频率成分被清晰的表⽰了出来，正如在“傅⾥叶分析前⾔”中所述，傅⾥叶级数的展开对信号分析的重要意义！下⾯直接给出傅⾥叶级数的概念（来⾃百度⽂库）：
给出实例：
View Code clear
clc
n_max = [72141]; N = length(n_max); t = -1.1:.002:1.1; omega_0 = 2*pi; for k=1:N
n =[];
x = 0;
for n=1:2:n_max(k)
b_n = 4./(pi*n);
x = x + b_n*sin(omega_0*n*t);
end
subplot(N,1,k)
plot(t,x,'linewidth',2);
axis([-1.11.1 -1.51.5]);
line([-1.11.1],[00],'color','r');
line([00],[-1.51.5],'color','r');
bt = strcat('最⾼谐波次数=',num2str(n_max(k))); title(bt);
end
View Code
% 画单边频谱 T =1
T = 1;
tau_T = 1/4; % 占空⽐
omega_0 = 2*pi/T; % 基波频率
n0 = 1;
n1 = 15;
n = n0:n1;
F_n = (sin(tau_T*pi*n))./(n.*pi) .* exp(-j*tau_T*n.*pi); F_n = 2*F_n;
Fn_max = max(abs(F_n));
Fn_min = min(abs(F_n));
subplot(211)
stem(n, abs(F_n));
axis([n0 n1 Fn_min-0.1 Fn_max+0.1]);
line([n0 n1], [ 00], 'color', 'r');
title('单边幅度频谱');
subplot(212)
stem(n, angle(F_n));
axis([n0 n1 -44]);
title('单边相位频谱');
注意：实际上要想清楚的阐述傅⾥叶分析内容，是需要⼀定的数学内容的，包括⾼等数学，线性代数，泛函分析之类，尤其是对线性空间（Linear Spaces），内积（Inner Products）等之类数学问题的了解，但这⾥先不介绍这些数学内容，因为从我的学习经验来看，这些内容对初学信号的⼈⽽⾔，并不会加深他们的理解，反⽽会产⽣严重的负担。

（这些内容在后续⽂章中会渐进的介绍）
本系列⽂章也是我个⼈的对本科学习信号的复习，在此希望⾃⼰能坚持下去！也希望⼴⼤⽹友多多批评指正。

Reference：
Albert Boggess,Francis J.Narcowich.A First Coourse in Wavelets with Fourier Analysis,2nd ed.,Prentice hall
Edward W.Kamen,Bonnie S.Heck. Fundamentals of Signals and Systems Using the Web and MATLAB Third Edition. Prentice Hall。