(完整版)等比数列的性质总结,推荐文档

注： a1 an a2 an1 a3an2
(4)
列
{an
}
,
{bn
}
为等比数列,则数列
{
k an
}
,
{k
an
}
,
{an
k
}
,
{k
an
bn
}
{
an bn
}
(k 为非零常数)
均为等比数
列.
(5) 数列{an}为等比数列,每隔 k(k N * )项取出一项( am , amk , am2k , am3k , )仍为等比数列
{an}为等比数列
6. 等比数列的证明方* an1
或 an1 qan {an}为等比数列
7. 注意
（1）等比数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、 q 称作
(2) 对任何 m,n N * ,在等比数列{an}中,有 an amqnm ,特别的,当 m=1 时,便得到等比数列的通项公
式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
(3) 若 m+n=s+t (m, n, s, t N * ),则 an am as at .特别的,当 n+m=2k 时,得 an am ak2
（1）如果 a, A, b 成等比数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．即： A2 ab 或 A ab
注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
（2）数列 an 是等比数列 an2 an1 an1
4. 等比数列的前 n 项和 Sn 公式：
①等比数列通项公式 an
a1q n 1
a1 q
qn
A
Bn
A
B
0是关于
n
的带有系数的类指数函数，底数为公比
q
②前
n
项和
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 a1qn a1 a1 qn A A Bn A ' Bn A ' ，系数和常数项是互为相反 1q 1q 1q
数的类指数函数，底数为公比 q
(6) 如果{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{loga an} 是等差数列
(7) 若{an}为等比数列,则数列 Sn ， S2n Sn ， S3n S2n , ，成等比数列
(8) 若{an}为等比数列,则数列 a1 a2 an ,
an1 an2 a2n , a2n1 a2n2 a3n 成等比数列
(9) ①当 q 1时，
②当 0<q 1时，
{a1 0，则{为an递}增数列 a1 0，则{为an递} 减数列
,
{a1 0，则{为an递}减数列 a1 0，则{为an递} 增数列
③当 q=1 时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当 q<0 时,该数列为摆动数列.
(10)在等比数列 {an } 中,
(1) 当 q 1 时， Sn na1
(2)
当q
1时， Sn
a1 1 qn 1 q
a1 anq 1 q
a1 a1 qn A A Bn A ' Bn A ' （ A, B, A ', B ' 为常数） 1q 1q
5. 等比数列的判定方法
（1）用定义：对任意的 n,都有 an1 qan或为aann常1 数q，(q
当项数为 2n (n N * )时, S奇
S偶
1 ,.
q
(11)若{an}是公比为 q 的等比数列,则 Snm Sn qn Sm
为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项； an a1qn1 如奇数个数成等差，可设为…， a , a , a, aq, aq2 …（公比为 q ，中间项用 a 表示）； q2 q
8. 等比数列的性质 (1) 当 q 1时
等比数列性质
1. 等比数列的定义： an q q 0 n 2,且n N * ， q 称为公比 an1
2. 通项公式：
an
a1q n 1
a1 q
qn
A Bn
a1
q
0,
AB
0，
首项： a1 ；公比： q
推广： an amqnm ，
从而得 qnm an 或 q nm an
am
am
3. 等比中项
an 0) {an}为等比数列
（2） 等比中项： an2 an1an1 （ an1an1 0） {an} 为等比数列
（3） 通项公式： an A Bn A B 0 {an}为等比数列
（4） 前 n 项和公式： Sn A A Bn或S为n 常 数A' Bn A'A, B, A', B '