符号运算

2、使用函数subs(S,old,new)实现符号变量代换 、使用函数 实现符号变量代换
f = ax n + by + k ，试对其进行符号变量替换： = sin t a 试对其进行符号变量替换： 例2、已知 、
b = ln w
k = ce − dt
符号常量替换： 符号常量替换：n = 5
k =π
1 （1） y = ） 1+ x2
求
∫y=?
计算结果
（2） S = ） 输入语句
1 xy
求
∫
1 dy = ? xy
计算结果
（3） S = x ） 输入语句
2
求
∫
3 0
x 2 dx
计算结果
2
（4） S = x y ） 输入语句
求
∫
3 0
x 2 ydy
计算结果
cos x df e x = 例10、已知导函数 、 ，试求原函数 f (x) dx sin x x 解：输入语 句
计算结果
表明
ex − cos x f ( x) = 3 sin x (2 / 3) x 2
例11、试计算 K = ∫ ( x sin x) dx = ?与 I = ∫ 、
2 0
π
3a a
dy ∫
y y −a
( x 2 + y 2 )dx = ?
解：输入语 句 计算结果
表明
1 3 1 K= π − π 6 4
求雅可比矩阵用函数jacobian( ) 来实现， 来实现， 求雅可比矩阵用函数 其格式为B=jacobian(f,v) , 其中f为列向量函数，v是行向 其格式为 其中 为列向量函数， 是行向 为列向量函数 输出B为所求的雅可比矩阵 为所求的雅可比矩阵。 量，输出 为所求的雅可比矩阵。
f1 (τ , T ) f = V = [τ T ] f 2 (τ , T ) f1 (τ , T ) = KGm [cos(ωτ ) − ωT sin(ωτ )] + 1 + ω 2T 2 f 2 (τ , T ) = sin(ωτ ) + ωT cos(ωτ ) 试计算雅可比矩阵
x2
d2 f 试求 dt 2
解：输入语 句 计算结果
表示
2(3 x 2 − 1) d 2 f ( x 2 + 1)3 = 2 dt −1 sin 2 x
2e (3 x + 2 x ) 1 2 x x (ln x + 1) + x
x2 3
例13、 已知函数 f = ln( x + ln y ) 、 解：输入语 句 计算结果
7、对具有符号的矩阵作求逆等运算 、 例7，求以下矩阵的逆 P = a b ， c d 解：输入语句 执行结果为
表明
d P −1 = ad − bc −c ad − bc
−b ad − bc a ad − bc
二、符号函数的微分与积分运算 1、符号极限运算 、 函数limit( )有5种： 函数 有 种 计算符号表达式F当变量 （1）limit(F, x, a)计算符号表达式 当变量 ） 计算符号表达式 当变量x→a时的极限 时的极限 计算符号表达式F当独立变量趋向 （2）limit(F, a)计算符号表达式 当独立变量趋向 时的极限 ） 计算符号表达式 当独立变量趋向a时的极限 计算符号表达式F在 （3）limit(F)计算符号表达式 在x=0处的极限 ） 计算符号表达式 处的极限 计算符号表达式F在 （4）limit(F, x, a，’right’)计算符号表达式 在x→a（从右边趋 ） ， 计算符号表达式 （ 向于a） 向于 ）条件下的极限 计算符号表达式F在 （5）limit(F, x, a，’left’)计算符号表达式 在x→a（从左边趋 ） ， 计算符号表达式 （ 向于a） 向于 ）条件下的极限
sin x − sin a =? 例8、试证明 lim(1 + n) = e ，并求 lim 、 x→a n →0 x−a
1 n
解：（1）输入下面语句来证明 ：（ ）
执行结果为 即证明了 lim(1 + n) = e n →0 （2）输入以下语句来计算 ）
1 n
执行结果为
表示 lim sin x − sin a = cos a x→a x−a
解：输入语句
执行结果为
3、符号表达式展开的函数expand( ) 、符号表达式展开的函数 其调用格式为expand(E), 其功能是将符号表达式 展开。 其功能是将符号表达式E展开 展开。 其调用格式为 试将其展开。 例3，已知 f = cos(3 arccos x) ，试将其展开。 ， 解：输入语句
表明
1 3 1 5 1 1 7 f ( x) = sin( x) = x + x − x + x9 + ⋯ 6 120 5040 362880
格式3： 展开成(x-c)的Taylor 格式 ：taylor(f,n,c) , 其功能是将函数 f 展开成 的 级数，求其(n-1)次幂的近似多项式。 次幂的近似多项式。 级数，求其 次幂的近似多项式 例17、求函数 f ( x) = ln x 的(x-1) 的7次幂的近似多项式 、 次幂的近似多项式 解：输入语句 计算结果
x 2 n −1 S =∑ n =1 2 n − 1
∞
表明
1 1+ x S = ln 2 1− x
函数f(x)的Taylor级数展开式 的 函数 级数展开式
f ′′( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + ⋯ + ( x − x0 ) n + ⋯ 2! n!
试求
∂f ∂x与ຫໍສະໝຸດ ∂f ∂y表明∂f 1 = ∂x x + ln y
∂f 1 = ∂y y ( x + ln y )
4、符号求和函数与taylor级数展开函数 、符号求和函数与 级数展开函数 级数求和函数命令symsum( )， 级数求和函数命令 ， 其调用格式为： 其功能为：对象表达式F 其调用格式为：s=symsum(F,v,a,b), 其功能为：对象表达式 对于指定变量v取遍从 取遍从a到 中的所有整数时 中的所有整数时， 求和。 对于指定变量 取遍从 到b中的所有整数时，对F求和。 求和 例14、 求幂级数的和 、 解：输入语句 计算结果
6、符号表达式通分的函数numden( ) 、符号表达式通分的函数 通分。 其调用格式为 [N, D]=numden(E)，功能是将符号表达式 通分。 ，功能是将符号表达式E通分
x y + 试对其进行通分。 例6、已知 f = 、 ，试对其进行通分。 ky px
解：输入语句
执行结果为
表示
x y px 2 + ky 2 f = + = ky px kpxy
表明
1 1 1 1 1 1 f ( x) = ln x = ( x − 1) − ( x − 1) 2 + ( x − 1) 3 − ( x − 1) 4 + ( x − 1) 5 − ( x − 1) 6 + ( x − 1) 7 + ⋯ 2 3 4 5 6 7
v1 (t ) v (t ) 5、设有向量 V = 2 、 ⋮ vm (t )
补充： 补充：MATLAB符号运算基础 符号运算基础
一、符号运算的基本函数 1、使用factor( )命令，可以进行因式分解 、使用 命令， 命令 例1 对于以下数学表达式进行因式分解 a 2 (b + c) + b 2 (c + a ) + c 2 (a + b) + 2abc 解：输入以下语句
运行结果为： 运行结果为：
例18、已知 、
解：输入语句 计算结果
表明
∂f1 ∂tao B= ∂f 2 ∂tao
∂f1 − KGm [sin(ωτ ) + ω 2T cos(ωτ ) − KGmω sin(ωτ ) + 2Tω 2 ∂T = ∂f 2 ω cos(ωτ ) − ω 2T sin(ωτ ) ω cos(ωτ ) ∂T
I = 14a
4
3、对符号函数求微分的命令 、 命令diff( )的调用格式：dfvn=diff(f,’v’,n) 的调用格式： 命令 的调用格式 相对于自变量v计算 阶导数。 计算n阶导数 功能为对函数 f 相对于自变量 计算 阶导数。
1 例12、 已知函数矩阵 f = 1 + x 2 、 ln sin x xe xx
格式2： 展开成Taylor级数，求 级数， 格式 ：taylor(f,n) , 其功能是将函数 f 展开成 级数 次幂的近似多项式。 其(n-1)次幂的近似多项式。 次幂的近似多项式 例16、求函数 f ( x) = sin( x) 的9次幂的近似多项式 、 次幂的近似多项式 解：输入语句 计算结果
执行结果为
表示
f = cos( 3 arccos x ) = 4 x 3 − 3 x
4、符号表达式同类项合并函数collect( ) 、符号表达式同类项合并函数 其调用格式为collect(E,v), 其功能是将符号表达式 中的 的同 其功能是将符号表达式E中的 中的v的同 其调用格式为 幂次项系数合并。 幂次项系数合并。 试对x进行同类项合并 进行同类项合并。 例4、已知 f = x 2 y + xy − ax 2 − bx ，试对 进行同类项合并。 、 解：输入语句
格式1： 展开成Taylor级数，求 级数， 格式 ：taylor(f,x) , 其功能是将函数 f 展开成 级数 其五次幂的近似多项式。 其五次幂的近似多项式。 例15 试求函数 f ( x) = sin( x) 的Taylor展开式 展开式 解：输入语句 计算结果
表明
1 3 1 5 f ( x) = sin( x) = x + x +⋯ 6 120
f1 (V ) f (V ) 而 f (V ) = 2 ⋮ f n (V )
∂f1 ∂f1 ⋯ ∂v ∂vm 1 J = ⋮ ⋮ ⋮ ∂f n ⋯ ∂f n ∂v ∂vm 1
则有雅可比（ 则有雅可比（Jacobian）矩阵 ）
执行结果为 表示
f = x 2 y + xy − ax 2 − bx = ( y − a ) x 2 + ( y − b) x
5、符号表达式化简的函数simplify( )和simple( ) 、符号表达式化简的函数 和 函数simplify(E)的功能是将符号表达式 运用多种恒等式变换进行 的功能是将符号表达式E运用多种恒等式变换进行 函数 的功能是将符号表达式 综合化简。 综合化简。 函数simple(E)的功能是对符号表达式 尝试多种不同的简化算法 的功能是对符号表达式E尝试多种不同的简化算法 函数 的功能是对符号表达式 包括simplify()的算法），以得到符号表达式 的长度最短的简化 的算法），以得到符号表达式E的长度最短的简化 （包括 的算法），以得到符号表达式 形式。 形式。 c⋅ln(α + β ) e1 = sin 2 x + cos 2 x 与 e2 = e 进行综合化简。 例5、试对 、 进行综合化简。 解：输入语句 执行结果为 表示 e1 = sin 2 x + cos 2 x = 1 e2 = e c⋅ln(α + β ) = (α + β ) c
2、计算不定积分和定积分的命令int( ) 、计算不定积分和定积分的命令 格式： 、 对单变量函数S求不定积分 格式：(1)、int(S)——对单变量函数 求不定积分； 对单变量函数 求不定积分； (2)、int(S,y)——多变量函数 （x,y,z）（自变量之一为 ）， 、 多变量函数S（ ）（自变量之一为 多变量函数 ）（自变量之一为y）， 对于自变量y求不定积分 求不定积分； 对于自变量 求不定积分； (3)、 int(S,a,b)——对单变量函数 求定积分 积分区间为 ， 、 对单变量函数S求定积分 积分区间为[a， 对单变量函数 求定积分,积分区间为 b]； b]； (4)、int(S,x,a,b)——多变量函数 对于自变量 求定积分 积 、 多变量函数S对于自变量 求定积分,积 多变量函数 对于自变量x求定积分 分区间为[a， ； 分区间为 ，b]； 例9、计算下列积分 、 解：输入语 句