2018版高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式二导学案新人教A版必修4_

1.3 三角函数的诱导公式（二）
学习目标　1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.
知识点一　诱导公式五
完成下表，并由此总结角α，角－α的三角函数值间的关系.π
2(1)sin ＝，cos ＝，sin ＝cos ；π612π312π6π3(2)sin ＝，cos ＝，sin ＝cos ；π422π422π4π
4(3)sin ＝，cos ＝，sin ＝cos .π332π632π3π
6由此可得诱导公式五sin (
)2
απ
-=cos α，
cos (
)2
απ
-=sin α.知识点二　诱导公式六
思考　能否利用已有公式得出＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？π
2答案 以－α代替公式五中的α得到
sin
＝cos(－α)，
(α＋
π
2)cos ＝sin(－α).(
α＋
π2)由此可得诱导公式六sin ()2απ
+
=cos α，
cos ()2
απ
+
=－sin α.
知识点三　诱导公式的推广与规律
1.sin(π－α)＝－cos α，cos(π－α)＝－sin α，323
2sin(π＋α)＝－cos α，cos(π＋α)＝sin α.323
22.诱导公式记忆规律：
公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”.
公式五～六归纳：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加π
2上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.
六组诱导公式可以统一概括为“k ·±α(k ∈Z )”的诱导公式.
π
2记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k ·±α(k ∈Z )中k 的奇偶性，π
2当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号.
类型一　利用诱导公式求值
例1　(1)已知cos(π＋α)＝－，α为第一象限角，求cos 的值.12(π
2＋α
)
(2)已知cos ＝，求cos ·sin 的值.(π6－α)13(5π6＋α)(2π
3－α)
解　(1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，1
2∴cos α＝，又α为第一象限角，1
2则cos ＝－sin α＝－(π2＋α
)
1－cos2α
＝－
＝－.
1－
(12)
2
3
2(2)cos ·sin (5π6＋α)(
2π3
－α
)
＝cos ·sin [π－(π6－α)][π－(π3＋α)]＝－cos ·sin (π6－α)(π3＋α)＝－sin
13[π2－(π
6－α)]＝－cos ＝－.13(π6
－α)1
9反思与感悟　对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如－α与π
3＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与π6π3π6π4π4π32π3π
4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.3π
4跟踪训练1　已知sin ＝，求cos 的值.
(π6＋α)33(π
3－α
)
解　∵＋α＋－α＝，π6π3π2∴－α＝－.π3π2(π
6＋α
)
∴cos ＝cos (π3－α)[π2－(π
6＋α)]
＝sin ＝.
(
π6＋α
)
33类型二　利用诱导公式证明三角恒等式
例2　求证：＝－tan α.
tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)
sin (α＋
3π2)cos (α＋3π
2)
证明　∵左边＝
tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin [2π－
(π2－α)]·cos [2π－(π
2－α)]
＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin [－
(π2－α)]cos [－(π2－α)]
＝
sin2α
－sin
(
π2－α)cos (π2－α)
＝＝－sin2α－cos αsin αsin α
cos α＝－tan α＝右边.∴原等式成立.
反思与感悟　利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同.
跟踪训练2　求证：2sin (θ－
3π2)cos (θ＋π
2)
－11－2sin2 (π＋θ)
＝.
tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1证明　因为左边＝－2sin
(
3π
2
－θ)
·(－sin θ)－11－2sin2θ
＝2sin [π＋(π
2
－θ)]
sin θ－11－2sin2θ
＝
＝－2sin (
π
2－θ)
sin θ－11－2sin2θ－2cos θsin θ－1cos2θ＋sin2θ－2sin2θ
＝＝.
(sin θ＋cos θ)2sin2θ－cos2θsin θ＋cos θ
sin θ－cos θ
右边＝＝.tan θ＋1tan θ－1sin θ＋cos θsin θ－cos θ所以左边＝右边，故原等式成立.类型三　诱导公式在三角形中的应用
例3　在△ABC 中，sin ＝sin
，试判断△ABC 的形状.
A ＋
B －C
2
A －
B ＋C
2
解　∵A ＋B ＋C ＝π，
∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B .
∵sin
＝sin
，
A ＋
B －C
2
A －
B ＋C
2
∴sin ＝sin ，π－2C 2π－2B 2∴sin(－C )＝sin(－B )，π2π
2即cos C ＝cos B .
又∵B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形.
反思与感悟　解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，＝，结
A ＋
B ＋
C 2
π
2合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A ＋B )＝sin
C ，cos(A ＋B )＝－cos
C ，sin ＝cos ，cos ＝sin .
A ＋
B 2
C 2A ＋B 2C
2跟踪训练3　在△ABC 中，给出下列四个式子：①sin(A ＋B )＋sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ；③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ；④cos(2A ＋2B )＋cos 2C .其中为常数的是( )
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④答案　B
解析　①sin(A ＋B )＋sin C ＝2sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0；③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(A ＋B )]＋sin 2C ＝sin[2(π－C )]＋sin 2C ＝sin(2π－2C )＋sin 2C
＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0；④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝cos[2(A ＋B )]＋cos 2C ＝cos[2(π－C )]＋cos 2C ＝cos(2π－2C )＋cos 2C ＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C .故选B.
类型四　诱导公式的综合应用
例4　已知f (α)＝.
sin (π－α)cos (－α)sin (
π
2
＋α)cos (π＋α)sin (－α)
(1)化简f (α)；
(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝，求tan A －sin A 的值.
3
5解　(1)f (α)＝＝cos α.sin αcos αcos α
－cos α(－sin α)(2)因为f (A )＝cos A ＝，3
5又A 为△ABC 的内角，
所以由平方关系，得sin A ＝＝，1－cos2A 4
5所以tan A ＝＝，sin A cos A 4
3所以tan A －sin A ＝－＝.
43458
15反思与感悟　解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.跟踪训练4　已知sin
α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求
·tan 2(π－α)的值.
sin (
－α－32π)cos (3
2π－α
)
cos (
π2－α)sin (
π2＋α
)
解　方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－，x 2＝2，3
5由α是第三象限角，得sin α＝－，则cos α＝－，
354
5
∴·tan 2(π－α)
sin (
－α－32π)cos (3
2π－α
)cos (π2－α)sin (π2＋α
)＝·tan 2α
sin (π2－α)cos (π
2
＋α)sin αcos α＝·tan 2αcos α(－sin α)
sin αcos α＝－tan 2α＝－＝－.
sin2αcos2α9
161.已知sin
＝，则cos 的值为( )
(
α－
π6)13(α＋
π
3)
A.－
B.233233
C.
D.－131
3
答案　D 解析　cos ＝cos (
α＋
π3)[π2＋(α－
π
6
)]
＝－sin
＝－.
(
α－
π6)
132.若cos(2π－α)＝，则sin(－α)等于( )
5
33π
2A.－
B.－532
3
C. D.±5353
答案　A
解析　∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝，5
3∴sin(－α)＝－cos α＝－.
3π
2533.已知tan θ＝2，则等于( )
sin (
π
2＋θ)－cos (π－θ)sin (π
2－θ)－sin (π－θ)
A.2
B.－2
C.0
D.23
答案　B
解析　＝sin (
π
2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)
cos θ＋cos θcos θ－sin θ
＝＝＝－2.
21－tan θ2
1－24.已知cos ＝2sin
，(π2＋α)(α－
π2)
求的值.
sin3(π－α)＋cos (α＋π)5cos
(
5π2－α)＋3sin (7π
2－α)
解　∵cos ＝2sin ，(π2＋α)(α－
π
2)
∴－sin α＝－2sin ，(π
2－α
)
∴sin α＝2cos α，即tan α＝2.
∴sin3(π－α)＋cos (α＋π)5cos
(5π2－α)＋3sin (7π
2－α)
＝
sin3α－cos α
5cos (2π＋π2－α)＋3sin (
4π－π
2－α
)
＝
sin3α－cos α5cos (
π2－α)－3sin (π2＋α
)
＝＝sin3α－cos α5sin α－3cos αsin2α·tan α－1
5tan α－3＝＝
2sin2α－110－32sin2α－17＝
2sin2α－(sin2α＋cos2α)7(sin2α＋cos2α)＝＝sin2α－cos2α7(sin2α＋cos2α)tan2α－1
7(tan2α＋1)＝＝.
4－1
7×(4＋1)3
35
5.求证：
＝－tan α.tan (2π－α)cos (
3π
2－α)cos (6π－α)sin (α＋3π2)cos (α＋3π
2)
证明　因为左边＝tan (2π－α)cos (
3π
2－α)cos (6π－α)sin (α＋3π2)cos (α＋3π
2
)
＝
tan (－α)(－sin α)cos α
－cos αsin α
＝＝－tan α＝右边，－tan αsin αcos α
cos αsin α所以原等式成立
.
1.诱导公式的分类及其记忆方式(1)诱导公式分为两大类：
①α＋k ·2π，－α，α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”.
②α＋，－α＋的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐π2π
2角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.
(2)以上两类公式可以归纳为：k ·＋α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同π
2名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
2.利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成(0，)内的三角函数值”这种方式求解.
π
2用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到之间的角的三角函数的基本步骤：
π
2
课时作业
一、选择题
1.已知sin(＋α)＝，那么cos α等于( )5π21
5A.－ B.－2515C. D.1525
答案　C
解析　sin(＋α)＝cos α，故cos α＝，故选C.
5π21
52.已知cos(＋α)＝－，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)等于( )3π23
5A. B.－4545C.± D.4535答案　B
解析　∵cos(＋α)＝sin α，∴sin α＝－.3π23
5又α为第四象限角，∴cos α＝＝，
1－sin2α4
5∴cos(－3π＋α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，故选B.
4
53.若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )A.cos(A ＋B )＝cos C
B.sin(A ＋B )＝－sin C
C.cos ＝sin B
D.sin ＝cos A ＋C
2B ＋C 2A
2
答案　D
解析　∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，
∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 项不正确；
∵A ＋C ＝π－B ，∴＝
，
A ＋C 2π－B
2∴cos ＝cos(－)＝sin ，故C 项不正确；A ＋C
2π2B 2B
2∵B ＋C ＝π－A ，
∴sin ＝sin(－)＝cos ，故D 项正确.
B ＋C
2π2A 2A
2
4.已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于( )A.2 B.－2C.2－ D.－2
π2π
2答案　C
解析　cos α＝＝sin 2，2sin 2
(2sin 2)2＋(－2cos 2)2∵α为锐角，∴α＝2－.
π
25.已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A.－ B. C.－ D.121
23232答案　A
解析　f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.
1
26.若sin(π＋α)＋cos ＝－m ，则cos ＋2sin(2π－α)的值为( )(π2＋α)(32π－α
)
A.－
B.
C.－
D.2m 32m 33m 23m 2答案　C
解析　∵sin(π＋α)＋cos ＝－sin α－sin α
(π2＋α)
＝－m ，∴sin α＝.
m
2故cos ＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α(3
2π－α
)
＝－3sin α＝－.3m 2二、填空题
7.若cos α＝，且α是第四象限角，则cos
＝ .15(α＋
π
2)
答案　265
解析　∵cos α＝，且α是第四象限角，1
5∴sin α＝－ ＝－
＝－.
1－cos2α1－
(15)
2
265
∴cos
＝－sin α＝.
(
α＋
π
2)
2658.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝ .答案　892
解析　原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋＝.
128929.已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin
(π2－α)－2cos (π
2＋α)
－sin (－α)＋cos (π＋α)
＝ .答案　2
解析　因为tan(3π＋α)＝tan(π＋α)＝tan α＝2，所以原式＝＝＝＝2.
sin αsin α－cos αtan αtan α－12
2－110.在△ABC 中，sin ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－cos(π－B )，则C ＝ .3(π2－A
)
3答案　π
2
解析　由题意得cos A ＝3sin A ， ①3cos A ＝cos B ， ②
3由①得tan A ＝，∴A ＝.
3
3π
6由②得cos B ＝＝，∴B ＝.cos
π6312π
3∴C ＝.π2三、解答题
11.已知角α的终边经过点P (－4，3)，求的值.cos (
π
2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)
解　∵角α的终边经过点P (－4，3)，
∴tan α＝＝－，
y x 3
4∴cos (
π
2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)
＝＝tan α－sin αsin α
－sin αcos α＝－.3412.已知sin ·cos ＝，且<α<，求sin α与cos α的值.
(
－
π2－α)(－5π2－α)
60169π4π2解　∵sin
＝－cos α，
(
－
π
2－α)cos ＝cos ＝－sin α，(
－5π2－α)(2π＋π2＋α)∴sin α·cos α＝，60
169即2sin α·cos α＝.①120
169又∵sin 2α＋cos 2α＝1，
②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝，289
169②－①得(sin α－cos α)2＝.49
169又∵α∈，∴sin α>cos α>0，(π4
，
π2)
即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝，③17
13sin α－cos α＝，
④7
13③＋④得sin α＝，③－④得cos α＝.12135
1313.已知sin(π＋α)＝－.计算：1
3(1)cos
；(2)sin ；(3)tan(5π－α).
(
α－
3π2)(π
2＋α
)
解　∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.
131
3
(1)cos
＝cos ＝－sin α＝－.
(α－
3π2)(3π2－α
)1
3(2)sin ＝cos α，cos 2
α＝1－sin 2
α＝1－＝.(π2
＋α)1989∵sin α＝，∴α为第一或第二象限角.
1
3①当α为第一象限角时，sin ＝cos α＝.
(π
2＋α
)223②当α为第二象限角时，sin ＝cos α＝－.(
π
2＋α
)
223(3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α，∵sin α＝，
13∴α为第一或第二象限角.
①当α为第一象限角时，cos α＝，
22
3∴tan α＝，∴tan(5π－α)＝－tan α＝－.2
42
4②当α为第二象限角时，cos α＝－，tan α＝－，
2232
4∴tan(5π－α)＝－tan α＝.2
4四、探究与拓展
14.已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，则＝ .
sin (π－α)＋5cos (2π－α)
2sin
(
3π
2－α)
－sin (－α)答案　－3
4
解析　∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sin
α＝－2cos α且cos α≠0，∴原式＝
＝＝＝－.sin α＋5cos α－2cos α＋sin α－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α3cos α－4cos α3
415.已知α是第四象限角，且
f (α)＝
.
sin (π－α)cos (2π－α)
cos
(
π
2－α)sin (－π－α)cos (2π＋α)(1)若cos ＝，求f (α)的值；(
α－
3π2)15(2)若α＝－1 860°，求f (α)的值.
解　f (α)＝
sin (π－α)cos (2π－α)
cos
(π
2－α)
sin (－π－α)cos (2π＋α)＝＝.sin αcos α
－sin αsin (π＋α)cos α1
sin α(1)∵cos ＝，
(
α－
3π2)
15∴cos
＝，
(α－
3π2＋2π)1
5∴cos ＝，(π2
＋α)15∴sin α＝－，∴f (α)＝＝－5.151
sin α(2)当α＝－1 860°时，f (α)＝1
sin α＝＝1
sin (－1 860°)1
－sin 1 860°＝＝1－sin (5×360°＋60°)1
－sin 60°
＝－.
233。