事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 2025年高考数学基础专项复习

事件甲与事件丙同时发生的概率为0，（甲丙）≠ （甲）（丙），故A错误;事件甲与事件丁同时发生的概率为
1
6×6
1
1
1
= 36，（甲丁）= （甲）（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为6×6 = 36，（乙丙）≠
（乙）（丙），故C错误;事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B.
本质
一个事件是否发生对另一个事件是否发生没有影响.
独立
事件
(1)必然事件Ω、不可能事件∅都与任意事件相互独立;(2)当事件A与B相互独立时,事件A与B,A与
性质
B,A与B也相互独立;(3)如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个
事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
1
3
2.［多选］［人A必修二P253习题10.3第2题变式］设，为两个随机事件，若 = 2， = 4，则下列结论中
正确的是(
ABD )
3
3
B.若 ∩ = 8，则，相互独立
A.若,相互独立，则 ∩ = 8
3
7
C.若与相互独立，则 ∩ = 8
D.若与相互独立，则 ∪ = 8
1
三好学生的概率为__.
8
【解析】 根据题意可得，该班男生有40名，三好学生有10名，三好学生中男生有5名.设“从该班任选一名学生，
没有选上女生”为事件，“从该班任选一名学生，选
上的是三好学生”为事件，则“没有选上女生且选上的是三好学生”为事件 ， = 40 ， = 5.
40
2
2
3
+ 1−
1
2
2
3
1
2
× = .
（2）求甲、乙两名应聘者至多有一名被录用的概率.
1
1
1
【答案】甲应聘者被录用的概率1 = 1 2 = 2 × 2 = 4，
2
2
4
乙应聘者被录用的概率2 = 1 2 = 3 × 3 = 9，应聘者均被录用的概率3 = 1 2 = 4 × 9 = 9，
2
1
所以B选项错误；对于C， | = 1 − | = 1 − 3 = 3，所以C选项正确；对于D，
1
1
1
1
1
1
7
= 1 − = 1 − 2 = 2，则 = | + | = 2 × 4 + 2 × 3 = 24，所以D选项正确.故选
ACD.
性质
(1)P(B|A)∈[0,1],P(Ω|A)=1;(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);
(3)设和B互为对立事件,则P(|A)=1-P(B|A).
全概率
公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的
被检测出阳性，一个不会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检测出阴性.患者甲被检查出体内长了一
个直径约10 mm的结节，他做了该项无创血液检测.
（1）求患者甲检测结果为阴性的概率;
【答案】设患者甲的该结节在1年内发展为恶性肿瘤为事件，患者甲的检测结果为阴性为事件，由全概率公式
得， = | + | = 0.2% × 1 − 85% + 1 − 0.2% × 85% = 0.848 6.（检测结果为阴性，

事件B⊆Ω,有P(B)= ∑ P(Ai)P(B|Ai),我们称此公式为全概率公式.
=1
教材素材变式
1
1.［人A选必三P44问题1变式］高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的6，且三好学生
中女生占一半.现在从该班任选一名学生参加某一座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是
1
5
7
10
+
2
5
7
10
6
= 7.故取出的两瓶中至少有一瓶是蓝色，另一
方法技巧
1.乘法公式的作用：乘法公式 = | 的作用就是方便我们在不好直接求得 的情况下，先迂回地
求出方便计算的 | 和 ，再求得 .
2.求一些复杂的条件概率时，往往可以先把事件分解成若干个互斥的较简单事件之和,再利用公式
第十章 计数原理、概率、随
机变量及其分布
第五节 事件的相互独立性、条
件概率与全概率公式
2025年高考数学专项复习
目
录
壹
条件概率与全概率公式
贰
事件的相互独立性及相互独立事
件概率的计算
壹
事件的相互独立性
及相互独立事件概
率的计算
教材知识萃取
相互
概念
对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
【解析】由题图可知涂色部分的面积为 | ⋅ + | ⋅ 1 −
= | ⋅ + | ⋅ ，
（题眼）因为 = + ,事件和是互斥事件，所以
= ( + ) = + = | + | ,所以图中涂色部分的面积为事件发生的概
4.［人B必修二P120例3变式］某公司招聘新员工时组织了笔试和面试两场考核，两场考核均通过即被录用.现有甲、
1
乙两名应聘者都参加了笔试和面试两场考核，已知甲笔试和面试通过的概率均为2，乙笔试和面试通过的概率均为
2
，在每场考核中，甲和乙通过与否互不影响，各场考核结果也互不影响.
3
（1）求在笔试考核中，甲、乙两名应聘者恰有一名通过的概率；
1
= 40 = 8 .
2.［链接人A选必三P49 知识］若将整个样本空间想象成一个1 × 1的正方形，任何事件都对应
样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示
( A
)
A.事件发生的概率
B.事件发生的概率
C.事件不发生条件下事件发生的概率
D.事件，同时发生的概率
=
C12 C13 +C22
C25




+
=
7
，
10
=
C12 C11
C25
=
1
，
5
=
C12 C12
C25
2
= 5，所以 | = ∪ | = | + | =
（【提示】灵活运用条件概率与全概率公式）=
6
瓶是红色或黑色的概率为7.
3
1
人每次只发1个球.若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为5，乙发球时甲得分的概率为3，各球的结果相互独立，
在双方10: 10平后，甲先发球，则甲以13: 11赢下此局的概率为( D )
4
2
A.25
B.25
2
8
C.75
D.75
【解析】在双方10: 10平后，甲先发球，甲以13: 11赢下此局分两种情况：①后4球胜方依次为甲、乙、甲、甲，其
1
3
3
1
【解析】对于A，若,相互独立，则 ∩ = = 2 × 4 = 8，故A正确；对于B，因为 = 2，
3
3
= 4，所以 = 8 = ∩ ，所以，相互独立，故B正确；对于C，若与相互独立，则,也相
1
3
1
互独立，所以 ∩ = = 1 − 2 × 1 − 4 = 8，故C错误；
1
8
所以甲、乙两名应聘者至多有一名被录用的概率为1 − 3 = 1 − 9 = 9.
贰
条件概率与全概
率公式
教材知识萃取
()
定义
()
为在事件A发生的条件下,
事件B发生的条件概率,简称条件概率.
条件
概率
一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=
乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A)
∪ | = | + | 计算，使求解更为简捷.如果直接分解比较麻烦，可以考虑对立事件，利用
+ = 及 | + | = 1求解.
5.［人A选必三P50例5变式］有研究显示，人体内某部位的直径约10 mm的结节约有0.2%的可能性会在1年内发展
教材素材变式
1.[人A必修二P267复习参考题10第5题变式，2021新高考Ⅰ卷]有6个相同的球，分别标有数字1，2,3,4,5,6，从中有放
回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( B )
【答案】记1 =“甲通过笔试考核”， 2 =“甲通过面试考核”，1 =“乙通过笔试考核”， 2 =“乙通过面试考核”，
1
2
则 1 = 2 = 2， 1 = 2 = 3，且事件1 ，2 ，1 ，2 相互独立，
所以在笔试考核中，甲、乙两名应聘者恰有一名通过的概率
1
2
= (1 1 + 1 1 ) = 1 1 + 1 1 = × 1 −
为恶性肿瘤,某医院引进一台检测设备,可以通过无创的血液检测,估计患者体内直径约10 mm的结节是否会在1年内
发展为恶性肿瘤，若检测结果为阳性，则提示该结节会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阴性，则提示该结
节不会在1年内发展为恶性肿瘤.这种检测的准确率为85%,即一个会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性
率，故选A.
1
1
2
3.中等［多选］［人A选必三P47例2变式］已知事件，满足 = 2， | = 4， | = 3，则( ACD )
1
1
A. = 8
1
B. | = 2
7
C. | = 3
1
1
D. = 24
1
1
3
【解析】对于A， = ⋅ | = 2 × 4 = 8，所以A选项正确；对于B， | = 1 − | = 1 − 4 = 4，
4.［人B选必二P60例3变式］现有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机抽取两瓶，若取
6
7
出的两瓶中至少有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为__.
【解析】 设事件为“取出的两瓶中至少有一瓶是蓝色”，事件为“取出的两瓶中另一瓶是红色”，事件为“取出的
两瓶中另一瓶是黑色”，事件为“取出的两瓶中另一瓶是红色或黑色”，则 = ∪ ，且与互斥.由题意得，
而实际是否会在1年内发展为恶性肿瘤都有可能，故可按此划分样本空间，套用全概率公式）
—
—
1
7
对于D， ∪ = 1 − ∩ = 1 − 8 = 8,（【点拨】也可用 ∪ = + − 求解）故D正
确.故选ABD.
3.［人B必修二P134复习题B组第9题变式］甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用七局四胜制.在一局比赛中，先
得11分的运动员为胜方，如果出现10: 10平的情况，先多得2分者为胜方.在10: 10平后，双方实行轮换发球法，每
3
2
3
1
2
2
1
3
1
2
概率1 = 5 × 3 × 5 × 3 = 25，②后4球胜方依次为乙、甲、甲、甲，其概率2 = 5 × 3 × 5 × 3 = 75.故所求概率
8
= 1 + 2 = 75．故选D．
知识回顾
与相互独立事件,有关的概率的计算公式如表：
A ,同时发生
=
A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
【解析】第1步：分别求出事件甲、乙、丙、丁发生的概率
1
1
5
5
事件甲发生的概率（甲）= 6，事件乙发生的概率（乙）= 6，事件丙发生的概率（丙）= 6×6 = 36，事件丁发
6
1
生的概率（丁）= 6×6 = 6.
第2步：根据选项，逐一判断
A ,都不发生
A ,中至多有一个发生
= = [1 − ] ⋅ [1 − ]
= 1 − = 1 −
A，中至少有一个发生
= 1 − () = 1 −
A ,恰有一个发生
= + = +
5
1
解法一（根据条件概率公式求解） 易知 = 60 = 3， = 60 = 12 ，所以在已知没有选上女生的条件下，
选上的是三好学生的概率为
| =


=
1
12
2
3
=
1
8
.
解法二（根据条件概率的直观意义，以没有选上女生为新的样本空间来考虑） | =


5