人教版九年级上数学24.3《圆和正多边形》测试(含答案)

圆和正多边形测试
时间：100分钟总分：100
题号一二三四总分
得分
1.若正六边形的半径长为4，则它的边长等于()
A. 4
B. 2
C. 2√3
D. 4√3
2.有一边长为4的正n边形，它的一个内角为120∘，则其外接圆的半径为()
A. 4√3
B. 4
C. 2√3
D. 2
3.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则
该三角形的面积是()
A. √2
2B. √3
2
C. √2
D. √3
4.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等
边△ABC的边长为()
A. 1
B. √2
C. √3
D.
2√3
5.如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中
阴影部分的面积为()
A. √3−π
2
B. √3−3
2
π
C. 2−π
3
D. √3−π
3
6.正六边形的边心距为√3，则该正六边形的外接圆半径为()
A. √3
B. 2
C. 3
D. 2√3
7.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这
个正六边形的边心距OM和BC⏜的长分别为()
A. 2，π
3
B. 2√3，π
C. √3，2π
3
D. 2√3，4π
3
8.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=120∘，
点E在弧AD上.若AE恰好为⊙O的内接正十边形的一边，弧
DE的度数为()
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A. 75∘
B. 80∘
C. 84∘
D. 90∘
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.已知一个正六边形的边心距为√3，则它的半径为______ ．
10.如果正多边形的中心角等于30∘，那么它的每个内角为______度.
11.如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，
CD长为半径画弧，两弧交于点F，则BF⏜的长为______．
12.半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为______．
13.正六边形的边长为8cm，则它的面积为______ cm2．
14.如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点
A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两
个顶点B，D在正六边形内部(包括边界)，则正方形边长a的
取值范围是______．
15.一个正三角形和一个正六边形面积相等，则它们的边长之比为______．
16.我们规定：一个正n边形(n为整数，n≥4)的最短对角线与最长对角线长度的比值
叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6=______．
三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
17.比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不
同点.例如：
它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的
各边也相等．
它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．请你再写出它们的两个相同点和不同点：
相同点：
①______ ；
②______ ．
不同点：
①______ ；
②______ ．
18.设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个
面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断)．
四、解答题（本大题共3小题，共24.0分）
19.如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=2√3cm，求⊙O的
半径．
20.如图，⊙O的半径为√2，⊙O的内接一个正多边形，边心距为1，
求它的中心角、边长、面积．
21.如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF，若⊙O的半径为
2，求：阴影部分(弓形)的面积.(结果保留π)
答案和解析
【答案】
1. A
2. B
3. A
4. D
5. A
6. B
7. D
8. C
9. 2
10. 150
π
11. 8
15
12. 1：√2：√3
13. 96√3
14. √6
≤a≤3−√3
2
15. √6：1
16. √3
2
17. 都是轴对称图形；都有外接圆和内切圆；内角和不同；对角线的条数不同
18. 证明：如图，设△EFG为正方形ABCD的一个内接正三角形，
作正△EFG的高EK，连接KA，KD，
∵∠EKG=∠EDG=90∘，
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∴E，K，G，D四点共圆，
∴∠KDE=∠KGE=60∘，
同理，∠KAE=60∘，
故△KAD也是一个正三角形，K必为一个定点．
又正三角形面积取决于它的边长，
当KF丄AB时，边长为1，这时边长最小，面积S=√3
4
也最小．
当KF通过B点时，边长为2⋅√2−√3，这时边长最大，面积S=2√3−3也最大．19. 解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴点O即是三角形内心也是外心，
∴∠OBD=30∘，BD=CD=1
2BC=1
2
AB=√3，
∴cos30∘=BD
BO =√3
BO
=√3
2
，
解得：BO=2，
即⊙O的半径为2cm．
20. 解：连结OB，
∵在Rt△AOC中，AC=√OA2−OC2=√2−1=1，∴AC=OC，
∴∠AOC=∠OAC=45∘，
∵OA=OB，OC⊥AB，
∴AB=2AC=2，∠AOB=2∠OAC=2×45∘=90∘，∴这个内接正多边形是正方形．
∴面积为22=4
∴中心角为90∘，边长为2，面积为4．
21. 解：∵⊙O的半径为2，
∴⊙O的面积为π×22=4π，
∵空白正六边形为六个边长为2的正三角形，
∴每个三角形面积为1
2
×2×2×sin60∘=√3，
∴正六边形面积为6√3，
∴阴影面积为(4π−6√3)×1
6=2
3
π−√3，
【解析】
1. 解：正六边形的中心角为360∘÷6=60∘，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，
故正六边形的外接圆半径等于4，则正六边形的边长是4．
故选：A．
根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．
此题主要考查了正多边形和圆，利用正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形得出是解题关键．
2. 解：经过正n边形的中心O作边AB的垂线OC，
则∠B=60度，∠O=30度，
在直角△OBC中，根据三角函数得到OB=4．
故选B．
根据正n边形的特点，构造直角三角形，利用三角函数解决．
正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形．
3. 解：如图1，
∵OC=2，
∴OD=2×sin30∘=1；
如图2，
∵OB=2，
∴OE=2×sin45∘=
√2；
如图3，
∵OA=2，
∴OD=2×cos30∘=√3，
则该三角形的三边分别为：1，√2，√3，∵(1)2+(√2)2=(√3)2，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积是：1
2×1×√2=√2
2
．
故选：A．
由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．
4. 解：作OD⊥BC于D，连接OB，如图所示：
则BD=CD=1
2
BC，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠OBD=1
2
∠ABC=30∘，
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∴OD=1
2
OB=1，
∴BD=√3OD=√3，
∴BC=2BD=2√3，
即等边△ABC的边长为2√3；
故选：D．
作OD⊥BC于D，连接OB，由垂径定理得出BD=CD=1
2
BC，由等边三角形的性质和
已知条件得出∠OBD=1
2
∠ABC=30∘，求出OD，再由三角函数求出BD，即可得出BC 的长．
本题考查了等边三角形的性质、垂径定理、含30∘角的直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
5. 解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60∘，
∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，
设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，
∴OG=OA⋅sin60∘=2×√3
2
=√3，
∴S
阴影=S△OAB−S
扇形OMN
=1
2
×2×√3−60π×(√3)2
360
=√3−π
2
．
故选A．
由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB=60∘，故△OAB是等边三角形，OA= OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA⋅sin60∘，
再根据S阴影=S△OAB−S扇形OMN，进而可得出结论．
本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OAB是等边三角形是解答此题的关键．
6. 解：如图，
在Rt△AOG中，OG=√3，∠AOG=30∘，
∴OA=OG÷cos30∘=√3÷√3
2
=2；
故选：B．
设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得边长AB，从而求出周长．
本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计算，属于常规题．
7. 解：连接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2√3，
BC⏜=60π×4
180=4
3
π，
故选：D．
正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．
本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．
8. 解：连接BD、OA、OE、OD，如图所示
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180∘，
∵∠C=120∘，
∴∠BAD=60∘，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60∘，∴∠AOD=2∠ABD=120∘，
∵AE恰好为⊙O的内接正十边形的一边，
∴∠AOE=360∘
10
=36∘，
∴∠DOE=120∘−36∘=84∘；
故选：C．
连接BD、OA、OE、OD，根据圆的内接四边形的性质得出∠BAD的度数，由AB=AD，可证得△ABD是等边三角形，求得∠ABD=60∘，由圆周角定理求出∠AOD的度数，由正十边形的性质求出∠AOE的度数，得出∠DOE的度数即可．
此题考查了正多边形的性质、圆的内接四边形的性质、圆周角定理以及等边三角形的判定与性质.求出∠DOE的度数是解决问题的关键．
9. 解：如图，在Rt△AOG中，OG=√3，∠AOG=30∘，
∴OA=OG÷cos30∘=√3÷√3
2
=2；
故答案为：2．
设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直
角△OAG中，根据三角函数即可求得OA．
本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计算，属于常规题．
10. 解：由于正多边形的中心角等于30∘，360÷30∘=12，
所以正多边形为正12边形，
又因为其外角和为360∘，
所以其外角为360÷12=30∘，
其每个内角为180∘−30∘=150．
根据正多边形的中心角为30∘，求出正多边形的边数，再求出其每个外角，即可根据内角和外角的和为180度求出每个内角的度数．
本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力.解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的中心角和外角、内角混淆．
11. 解：连接CF，DF，
则△CFD是等边三角形，
∴∠FCD=60∘，
∵在正五边形ABCDE中，∠BCD=108∘，
∴∠BCF=48∘，
∴BF⏜的长=48⋅π×2
180=8
15
π，
故答案为：8
15
π.
连接CF，DF，得到△CFD是等边三角形，得到∠FCD=60∘，根据正五边形的内角和得到∠BCD=108∘，求得∠BCF=48∘，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
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12. 解：由题意可得，
正三角形的边心距是：2×sin30∘=2×1
2
=1，
正四边形的边心距是：2×sin45∘=2×√2
2
=√2，
正六边形的边心距是：2×sin60∘=2×√3
2
=√3，
∴半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为：1：√2：√3，故答案为：1：√2：√3．
根据题意可以求得半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距，从而可以求得它们的比值．
本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．13. 解：如图所示，正六边形ABCD中，连接OC、OD，过O
作OE⊥CD；
∵此多边形是正六边形，
∴∠COD=6
360∘
=60∘；
∵OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OE=CE⋅tan60∘=8
2
×√3=4√3cm，
∴S△OCD=1
2CD⋅OE=1
2
×8×4√3=16√3cm2．
∴S
正六边形
=6S△OCD=6×16√3=96√3cm2．
先根据题意画出图形，作出辅助线，根据∠COD的度数判断出其形状，求出小三角形的面积即可解答．
此题比较简单，解答此题的关键是根据题意画出图形，把正六边形的面积化为求三角形的面积解答．
14. 解：①当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，
正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，
∴AC=A′D=
√3，
∴a=√6
2
，
②当正方形ABCD的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长a的值最大，AC是正方形的对角线AC，
设A′(t,√3
2
)时，正方形的边长最大，
∵OB′⊥OA′，
∴B′(−√3
2
,t)，
设直线MN的解析式为y=kx+b，M(−1,0)，N(−1
2,−√3
2
)，
∴{−k+b=0
−1
2
k+b=−√3
2
，
∴{k=−√3
b=−√3
，
∴直线MN的解析式为y=−√3x−√3，
将B′(−√3
2,t)代入得t=3
2
−√3，
此时，A′B′取最大值，
∴a=√(3
2−√3+√3
2
)2+(√3
2
−3
2
+√3)2=3−
√3，
∴正方形边长a的取值范围是：√6
2
≤a≤3−√3，
故答案为：√6
2
≤a≤3−√3．
当正方形ABCD的顶点A、B、C、D在正六边形的边上时，正方形的边长的值最大，解直角三角形得到a，当正方形ABCD的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长a的值最小，AC是正方形的对角线，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，解直角三角形，正确的找出正方形边长的最大值和最小值是解题的关键．
15. 解：设正三角形的边长为a，则正六边形的边长为b；
过A作AD⊥BC于D，则∠BAD=30∘，
AD=AB⋅cos30∘=a⋅√3
2=√3
2
a，
∴S△ABC=1
2BC⋅AD=1
2
×a×√3
2
a=√3
4
a2；
连接OA、OB，过O作OD⊥AB；
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∵∠AOB=360∘
6
=60∘，∴∠AOD=30∘，
OD=AD
tan30∘=
b
2
√3
3
=√3
2
b，
∴S△OAB=1
2×b×√3
2
b=√3
4
b2，
∴S
六边形=6S△OAB=6×√3
4
b2=3√3
2
b2，
∵S△ABC=S
六边形
∴√3
4b2=3√3
2
b2，
解得：a：b=√6：1
故答案为：√6：1．
根据题意画出图形，分别设出边长并表示出面积后即可利用面积相等得到答案．
本题考查了正三角形及正六边形的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，结合正多边形的性质解答．
16. 解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．
易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60∘，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∵∠BOC=∠OEC+∠OCE，
∴∠OEC=∠OCE=30∘，
∴∠BCE=90∘，
∴△BEC是直角三角形，
∴EC
BE =cos30∘=√3
2
，
∴λ6=√3
2
，
故答案为√3
2
．
如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC.易知BE是正六边形
最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，只要证明△BEC是直角三角形即可解决问题．
本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
17. 解：相同点不同点
①都有相等的边.①边数不同；
②都有相等的内角.②内角的度数不同；
③都有外接圆和内切圆.③内角和不同；
④都是轴对称图形.④对角线条数不同；
⑤对称轴都交于一点.⑤对称轴条数不同．
此题要了解正多边形的有关性质：正多边形的各边相等，正多边形的各个角相等，所有的正多边形都是轴对称图形，偶数边的正多边形又是中心对称图形.根据正多边形的性质进行分析它们的相同和不同之处．
本题考查了正多边形和圆的知识，一个是奇数边的正多边形，一个是偶数边的正多边形.此题的答案不唯一，只要抓住正多边形的性质进行回答均可．
18. 设△EFG为正方形ABCD的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F，G两点在正方形的一组对边上，连接KA，KD，易证E，K，G，D四点共圆，则∠KDE=∠KGE=60∘，同理∠KAE=60∘，可证△KAD也是一个正三角形，K必为一个定点，再分别求边长FG的最大值与最小值．
本题考查了四点共圆的判断，等边三角形的性质.关键是运用四点共圆证明新的等边三角形，得出定点．
19. 利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30∘，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．
此题主要考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30∘，BD=CD是解题关键．
20. 连结OB，根据勾股定理求出AC的长，故可得出∠AOC=∠OAC=45∘，再根据OA= OB，OC⊥AB得出AB=2AC=2，∠AOB=2∠OAC=2×45∘=90∘，由此可知这个内接正多边形是正方形，故可得出结论．
本题考查的是正多边形和圆，熟知正方形的性质是解答此题的关键．
21. 利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边形的面积，阴影面积=(圆的面积−正六边形的面积)×1
，即可得出结果．
6
本题主要考查了正多边形和圆的面积公式，注意到阴影面积=(圆的面积−正六边形的面积)×1
是解答此题的关键．
6
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