苏科版数学九年级上册_《圆的对称性》教学设计

2.2 圆的对称性
教学目标：
1、利用圆的轴对称性，探究并证明垂径定理。

2、能利用垂径定理解决简单的问题。

3、在探究垂径定理的过程中，唤醒学生研究图形性质的基本经验，并更深刻地
理解和体会研究图形的方法和途径。

教学重点及难点：重点是垂径定理的证明与应用，难点是运用。

一、情境导学
哪位同学能说说赵州桥的基本情况？补充：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧对的弦的长）为37米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23米，你知道赵州桥主桥拱的半径是多少米吗？（结果保留小数点后一位）
（图1）
设计意图：这是学生们熟悉的内容，根据心理学研究，学生在遇到自己熟悉的内容时往往会高度注意；另外，将语文与数学联系起来，会引起学生的好奇心，更易投入到本课的学习中。

二、探究问学
1、观察图2和图3，并通过模型实验回答下列问题.
（1）在图2中，弦AB将已O分成了两部分，说出每部分的名称.
（2）移动图2中的AB，使之过圆点（图3），此时已O被分成的两部分各叫什么？它们存在什么样的关系？若将已O沿着AB对折（图3），两者能重合吗？
设计意图：这是复习旧知，起到承上启下的作用。

学生通过亲身体验已经得到了最直观的感受，通得到了有关圆的最基本性质———圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线均是它的对称轴。

2、观察图4、图5和图6中弦AB的运动变化过程，分析图形并回答下列问题。

图4中，AB和CD为已O的两条直径，找出圆中相等的线段与弧.
图5中，直径AB与CD相互垂直，图中相等的线段与弧有哪些？
图6中，保持AB与CD的垂直关系，上下平移弦AB，图中有哪些相等的线段与弧？
通过上面三幅图的变换过程，你能否从中找到什么规律？
根据图6，大胆写出你的结论……。

设计意图：这是通过运动变化，实施猜想的阶段。

通过两条直径相交，到两直径垂直，再到直径与非直径的弦垂直，给予了学生探究的空间，让学生有了足够的思维时间，体现了学生探究性学习的动态性和发现性，契合了学生的认知规律。

3、引导证明，归纳定理。

如图7所示，AB是已O的任意一条弦，CD为已O的一条直径，AB彝CD，垂足为E，
求证：AE=BE，弧AC =弧BC ，弧AD =弧BD
4、图8至图11四幅图判断能否使用垂径定理？
设计意图：所谓不愤不启，不悱不发，在教学过程中，力促学生达到愤悱的状态，然后给予启发，引导学生论证垂径定理. 让学生完整无缺地经历垂径定理的知识探究过程，在探究的过程中提升思维的分析能力.引导学生发现垂径定理反映的是直径、弦和弧之间的关系，引导学生认识到任意选择垂径定理构成要件中的两个要件，和可以得出三个要件。

三、合作互学
例1、如图12所示，在圆O中，弦AB的长为24，点O到AB的距离为5，求：圆O的半径
变式训练、情境“赵州桥问题”
设计意图：在涉及垂径定理实施计算问题时，常和勾股定理结合起来。

例2、如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.AC 与BD相等吗？为什么？
变式训练：如图，在⊙O中，弦AB∥CD，则弧AC与弧BD相等吗？为什么？
例3.如图，已知：在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3。

（1）求圆的半径；
（2）若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围。

设计意图：引导学生知道，当解决和弦、弧有关问题时，常添加垂直于弦的直径或半径是非常重要的方法。

四、训练做学
（1）判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心，如果是轴对称图形，指出它的对称轴。

B
① ② ③ ④ ⑤
A
O
O
O
O
C
D
O
D
C
A B
C
B
A
D
A
B
C
（2）如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离是3.求⊙O 的半径.
O
A
B
P
（3）如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，OE=3，求弦CD的长. （4）如图，OA=OB，AB交⊙O与点C、D，AC与BD是否相等？为什么？
（5）在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.
（6）设AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，若⊙O的半径为5，AB=8,CD=6，则AB 与CD之间的距离为_____________（有两种情况）.。