2019安徽中考数学专题训练——规律探索题 初高中知识衔接

初高中知识衔接
1. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③log 2
1
2＝－1.其中正确的是( )
A . ①②
B . ①③
C . ②③ D. ①②③
B 【解析】①∵24＝16，∴log 216＝4，故①正确；②∵52＝25，∴log 525＝2≠5，故②不正确；③∵2－1
＝12，∴log 21
2
＝－1，故③正确；应选B .
2.阅读理解：如图①，在平面内选一定点O ，引一条有方向的射线Ox ，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M 的位置可由MOx 的度数θ与OM 的长度m 确定，有序数对（θ，m ）称为M 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”.
应用：在图②的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA 在射线Ox
上，则正六边形的顶点
C
的极坐标应记为
（ ） A .（60°，4） B .（45°，4） C .（60°，22） D .（50°，22）
图① 图②
第2题图
A 【解析】如解图，连接AC ，∵正六边形的每个内角为120°，∴∠AOC =60°，AC ⊥OA ，∴∠ACO =30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半得：OC =2OA =4，∴六边形的顶点C 的极坐标应记为（60°，4），故应选A .
第2题解图
3.阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为i 2=-1①，这个数i 叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a +b i （a ,b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部.
如果只把i 当成代数，则i 将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便运算.（不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.） 例题1：i i i ⋅=23=i i -=⋅-1；1)1(34=--=⋅-=⋅=i i i i i ； 例题2 ：（2+i ）+（3-4i ）=（2+3）+（1-4）i =5-3i ;
()()2432015435i i i i i -+-=-⨯+i i 171941715-=+-=;
同样我们也可以化简i i 22)1(4422=⨯=-⨯=-，也可以解方程x 2=-1，解为
x 1=i ，x 2=-i .读完这段文字，请你解答以下问题：
（1）填空：i 5= ,i 6= ; （2）计算：（2+i ）2；
（3）在复数范围内解方程：x 2-x +1=0. 解：（1）i ，-1;
【解法提示】i 5=（i 2）2·i =i ，i 6=（i 2）3=-1. （2）原式=4+4i +i 2=4i +4-1=3+4i ; （3）x 2-x +1=0，
1
2114)1()1(2⨯⨯⨯--±--=
x 2312312i
i ±=±=， 解得2311i x +=，2
312i
x -=.
4. 阅读下面的材料：
如果函数y ＝f (x )满足：对于自变量x 的取值范围内的任意x 1，x 2. (1)若x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)，则称f (x )是增函数： (2)若x 1＜x 2，都有f (x 1)＞f (x 2)，则称f (x )是减函数． 例题：证明函数f (x )＝2
x (x ＞0)是减函数． 证明：假设x 1＜x 2，x 1＞0，x 2＞0，
f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－2x 2＝2x 2－2x 1x 1x 2＝2（x 2－x 1）
x 1x 2，
∵x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0， ∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，
∴2（x 2－x 1）
x 1x 2＞0，即f (x 1)－f (x 2)＞0，
∴f (x 1)＞f (x 2)，
∴函数f (x )＝2
x (x ＞0)是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题：
(1)函数f (x )＝1x 2(x ＞0), f (1)＝112＝1, f (2)＝122＝1
4
.
计算， f (3)＝________，f (4)＝________，猜想f (x )＝1
x 2(x ＞0)是________
函数(填“增”或“减”)；
(2)请仿照材料中的例题证明你的猜想． (1)解：19，1
16
，减；
【解法提示】∵f (x )＝1x 2(x ＞0)，f (1)＝21
1＝1，f (2)＝122＝14，
∴f (3)＝132＝19，f (4)＝142＝1
16，
∵19＞1
16
， ∴猜想f (x )＝1
x 2(x ＞0)是减函数.
(2)证明：假设x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0，
f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1x 22＝x 2
2－x 21
x 21x 22＝()x 2－x 1()x 2＋x 1x 21x 2
2
， ∵x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0，
∴x 2－x 1＞0，x 2＋x 1＞0，x 21·x 2
2＞0，
∴
()x 2
－x 1
()
x 2
＋x 1
x 21x 2
2
＞0，
即f (x 1)－f (x 2)＞0， ∴f (x 1)＞f (x 2)，
∴f (x )＝1
x 2(x ＞0)是减函数．
5.阅读材料：各类方程的解法.
（1）问题：方程0223=-+x x x 的解是01=x ，2x = ，3x = ； （2）拓展：用“转化”思想求方程x x =+32的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD 的长AD =8 m ，宽AB =3 m ,小华把一根长为10 m 的绳子固定在点B ，沿草坪边沿BA 、AD 走到点P 处，把长绳PB 段拉直并固定在点P ，然后沿草坪边沿PD 、DC 走到点C 处，把长绳剩下的一段拉直，
长绳的另一端恰好落在点C ，求AP 的长.
第5题图
解：（1）1，-2； （2） x x =+32， 两边平方，得232x x =+， 移项，得0322=--x x ，
解此方程，得1,321-==x x ， ∵032≥+x ，∴2
3-≥x ， 当1-=x 时，1132-≠=+x ， 当3=x 时，3932==+x ， ∴原方程的根为3=x ；
（3）设AP =x m ，∵AD =8 m ，∴PD =（8-x ）m ， 在Rt △ABP 中，PB = 22AB AP +=223+x =92+x m ， 在Rt △PCD 中，PC =22CD PD +=()2238+-x =73162+-x x m ， ∵PB =10-PC ，
∴92+x =10-73162+-x x ，
两边平方，化简得573162+-x x =41-4x ，
再次两边平方，整理得到01682=+-x x ，即()042=-x ， 解得4=x ，经检验，4=x 满足题意. ∴AP 的长为4 m .
6.请阅读以下材料：已知向量()11,y x a =
，()22,y x b = 满足下列条件：①
2
121y x a += ，2222y x b += ；②b a ⊗=αcos b a ⨯（角α的取值范围是
︒︒900＜α＜）
；③b a
⊗=2121y y x x +. 利用上述所给条件解答问题：如：已知()3,1=a
，()
3,3-=b ，求角α的大小.
解：∵2121y x a +=
=()
2
231+=2，
2222y x b += =
()2
2
3
3+-=23，
∴b a ⊗=αcos b a
⨯=2×23αcos =43αcos ， 又∵b a
⊗=2121y y x x +=1×（-3）+3×3=23，
∴32cos 34=α，∴2
1cos =α，∴α=60°， ∴角α的值为60°.
请仿照以上解答过程，完成下列问题：
已知()0,1=a
，()1,1-=b ，求角α的大小. 解：∵()0,1=a
，()1,1-=b ，
∴2121y x a += =2
201+=1，2222y x b += =()2211-+=2，
∴b a ⊗=αcos b a
⨯=1×2αcos =2αcos ， 又∵b a
⊗=2121y y x x +=1×1+0×（-1）=1，
∴1cos 2=α， ∴2
2
cos =
α，∴α=45°， ∴角α的值为45°.
7.阅读材料：基本不等式2
b
a a
b +≤（a ＞0，b ＞0），当且仅当a =b 时，等号成立.其中我们把
2
b
a +叫做正数a 、
b 的算术平均数，ab 叫做正数a 、b 的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具.
例如：在x ＞0的条件下，当x 为何值时，x
x 1+有最小值，最小值是多少？ 解：∵x ＞0，x
1＞0，
∴
x
x x x 121
⋅≥+
，即x x 1+x x 12⋅≥， ∴x
x 1
+≥2，
当且仅当x =x 1，即x =1时，x x 1
+有最小值，最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）若x ＞0，函数x
x y 12+=，当x 为何值时，函数有最值，并求出其最值； （2）当x ＞0时，式子21
1
122≥+++x x 成立吗？ 解：（1）∵x ＞0， ∴2x ＞0，x
1
＞0，
∴
x
x x x 1221
2⋅≥+
， 即2x +x
1≥2 x
x 12⋅，
∴2x +x
1≥22，当且仅当2x =x
1，即x =22时，2x +x
1
有最小值，最小值为22； （2）不成立， 当且仅当1
1
12
2+=+x x ，即x =0时等号才成立. ∵x ＞0， ∴不等式不成立.
8. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x 2－5x ＋2＝0，操作步骤是：
第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A (0，1)，B (5，2)；
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A ，另一条直角边恒过点B ；
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x 轴上点C 处时，点C 的横坐标m 即为该方程的一个实数根(如图①)；
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x 轴上另一点D 处时，点D 的横坐标n 即为该方程的另一个实数根．
(1)在图②中，按照“第四步”的操作方法作出点D (请保留作出点D 时直角三角板两条直角边的痕迹)；
(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m 就是方程x 2－5x ＋2＝0的一个实数根；
(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)的实数根，请你直接写出一对固定
点的坐标；
(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m 1，n 1，m 2，n 2与a ，b ，c 之间满足怎样的关系时，点P (m 1，n 1)，Q (m 2，
n 2)就是符合要求的一对固定点？
第8题图
解：(1)作图如解图①，
第8题解图①
【作法提示】先作出AB 的中点O 1，以O 1为圆心，1
2AB 长为半径画圆．x
轴上另外一个交点即为D 点.
（2）证明：如解图①，过点B 作x 轴的垂线交x 轴于点E ， ∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACO ＋∠BCE ＝90°， ∵∠OAC ＋∠ACO ＝90°， ∴∠OAC ＝∠BCE ， ∵∠AOC ＝∠CEB ＝90°， ∴△AOC ∽△CEB ， ∴AO CE ＝OC EB ，即15－m ＝m
2
，
∴m 2－5m ＋2＝0，
∴m 是x 2－5x ＋2＝0的一个实数根； （3）(0，1)、(－b a ，c
a )(答案不唯一)；
【解法提示】∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0可化为02=++a
c x a
b
x ，
⎪⎭⎫
⎝⎛--=--=x a b x x x a b a c 2，∴x
a b a c x -=1，∴固定点坐标可以为（0,1），(－b a ，c a ). （4）如解图②，点P 在AD 上，Q 在BD 上，过P ，Q 分别
作x 轴的垂线交x 轴于M ，N ，
第8题解图②
易得△PMD ∽△DNQ ， ∴PM DN ＝MD
NQ ，即n 1m 2－x ＝x －m 1n 2
，
∴x 2－(m 1＋m 2)x ＋m 1m 2＋n 1n 2＝0与ax 2＋bx ＋c ＝0有相同解， ∴－b a ＝m 1＋m 2，c
a ＝m 1m 2＋n 1n 2.。