华东师大版八年级数学上册《逆命题与逆定理》课件
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观察上面三组命题，你发现了什么？
上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置．
一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设 是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二 个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个 命题叫做它的逆命题.
命题“两直线平行，内错角相等”的 题设为两直线平行； 结论为内错角相等． 因此它的逆命题为 内错角相等，两直线平行.
在△PDO和△PEO中，因为
｛∠∠DPDOOP＝ ＝∠ ∠EPEOOP（（已已知证）），，
PO＝PO（公共边），
O
∴△PDO≌△PEO (A.A.S)
∴PD=PE
A D
1P
2
C
E B
于是就有定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相 等．
问答 ：1、如图，在Rt△ABC 中， BD是∠B 的平分线 ，
那么这个三角形是等边三角形.
3、全等三角形的对应角相等. 题设：两个三角形是全等三角形. 结论：它们的对应角相等. 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，
那么这两个三角形全等.
4、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 平分线上.
题设：一个点到一个角的两边距离相等. 结论：它在这个角的平分线上. 逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等.
逆命题与逆定理
回
顾
1、命题的概念： 可以判断正确或错误的 句子叫做命题.
例如：两直线平行，内错角相等； 内错角相等，两直线平行；都是命题.
注意：问句和几何作法不是命题！
2、命题都有两部分： 题设和结论
我能行
说出下列命题的题设和结论：
1、两直线平行，内错角相等； 2、内错角相等，两直线平行； 3、如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧 ； 45、 、如平果行小 四明 边发 形烧 的，对那角么线他互一相定平患分了； 肺炎； 6、对角线互相平分的四边形是平行四边形.
求证:BE=EF=CF.
A
O
B
C
E
F
如图，有一内地城市A和两个沿海城市B和C， 现决定在三个城市间建一个机场，使得机场到A 和B两城市的距离相等，而且使C市到机场的距 离最近，试确定机场的位置.
A．
．
．
B
C
如图，已知点A、B和直线l，在直线l上求作
一点P，使PA=PB. l1
解：如图，连接AB，作
5、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个 端点的距离相等. 题设：一个点在一条线段的垂直平分线上. 结论：它到这条线段的两个端点的距离相等.
逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上.
• 每一个命题都有逆命题，只要将原 命题的题设改成结论，并将结论改 成题设，便可得到原命题的逆命 题．但是原命题正确，它的逆命题 未必正确．例如真命题“对顶角相 等”的逆命题为“相等的角是对顶 角”，此命题就是假命题．
练习2、举例说明下列命题的逆命题是假命题.
（1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整 数 能被5整除. 逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数 的个位数字是5.
例如10能5整除，但它的个位数是0.
（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等. 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.
例如60°= 60°，但这两个角不是直角.
逆命题：高速行驶时，不接触地面的交通工具是磁悬浮 列车——假命题
这节课我们学到了什么？
①逆命题、逆定理的概念. ②能写出一个命题的逆命题. ③在证明假命题时会用举反例说明.
1、写出下列命题的逆命题，并判断它是真是假. (1)如果x=y，那么x2 =y2；
(2)如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另 外两个角是锐角；
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：作FG⊥AE于G.FH⊥AD于H FP⊥CB于P，作射线OF
∵CF平分∠ECB ∴FG=FP(角平分线上的点到角 两边距离相等) 同理可证:FH=FP ∴FG=FH ∴点F在∠EOD的平分线上(到角两
边距离相等的点在这个角的平分线 上)
G P
H
DE⊥AB，垂足为E，
DE与DC 相等吗？ 为什么？ 答： DE=DC.
EA
∵ BD是∠ABC的平分线（D在
D
∠ABC的平分线上）
又∵ DE⊥BA，垂足为E， B
C
DC⊥BC，垂足为C，
∴ DE=DC.
做完本题后，你对角平分线，又增加了什么认
思考
识？
角平分线的性质， 为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径.
如果一个定理的逆命题也是定理，那么 这两个定理叫做互逆定理. 其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆 命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就 是互逆定理．
一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．例 如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶 角相等”是真命题，且是定理．
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题
注意2：不是所有的定理都有逆定理
练习3：
在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是 真命题？试举出几个例子说明. 例如：1、同旁内角互补，两直线平行.
逆命题：两直线平行，同旁内角互补. 真
2、有两个角相等的三角形是等腰三角形.
逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它
有两个角相等. 真
补充练习：说出下列命题的逆命题，并判定逆命 题的真假：
①既是中心对称，又是轴对称的图形是圆.
逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形——真命题
②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
逆命题：平行四边形有一组对边平行并且相等——真命题 ③磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交 通工具.
线段AB的垂直平分线l1， 交直线l于点P，连接PA、
●A ●B
PB，则PA=PB.
●
P
l
回顾 思考
角平分线的这条性 质是怎样得到的呢？
•角平分线的性质是什么 ？
• 用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两 边叠合在一起，再把纸片展开，你看到 了什么？
• 角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等
开启智慧
(二)线段垂直平分线的性质定理:
线段的垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的距离相等.
定理:到一条线段的两个端点的距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线上.
求证:三角形三边的垂直平分线交于一点.
已知:△ABC中，DE、FG、MN分别是三边的垂直 平分线.
A M
D F
N
求证:DE、FG、MN交于一点. G
练习1：指出下列命题的题设和结论，并说出它 们的逆命题. 1、如果一个三角形是直角三角形，那么它的
两个锐角互余.
题设：一个三角形是直角三角形.
结论：它的两个锐角互余.
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余， 那么这个三角形是直角三角形.
2、等边三角形的每个角都等于60° 题设：一个三角形是等边三角形. 结论：它的每个角都等于60° 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，
• 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否 一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明： PD⊥OA，PE⊥OB，点D、 E为垂足，
A D
∴∠PDO= ∠PEO=Rt ∠ 在Rt △PDO 与Rt △PEO中 O
在第三条直线上即可.这时可以考虑前
A
面刚刚学习的内容. 如图，设△ABC的角平分线BM，
ND M PF
CN相交于点P，过点P分别作BC，
AC，AB的垂线，垂足分别是E，F B
EC
，∵DB. M是△ABC的角平分线，点P在BM上
，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
∴PD=PF. 同理，PE=PF.
1 2
P C
｛OPPD==OPEP（（已公知共）边）
E
∴Rt△PDO≌△PDO
B
∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上
于是就有定理：
角的内部到角两边距 离相等的点在角的平 分线上.
命题:三角形三个角的平分线相交于一点.
基本想法:我们知道，两条直线相交 只有一个交点.要想证明三条直线相交
于一点，只要能证明两条直线的交点
2、判断题（ × ）
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
CB D
B
∴ BD = DC ，
( 角的平分线上的点到角的 ) A
两边的距离相等
D C
练习 1． 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到
∠AOB的两边OA、OB的距离相等．
提示：作∠AOB的平分线，交直 线l于P就是所求的点
练习2. 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的 平分线相交于点F，
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如图，已知:OC是∠AOB的 平分线，P是OC上任意一点 ，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足 分别是D，E. 求证:PD=PE(平分线上的 O 点到这个角的两角边距离 相等).
A D
1 2
PC
E B
• 证明: 因为PD⊥OA，PE⊥OB（已知）， • 所以 ∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）．
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角 的两边距离相等的点，在这个角的平分线上). ∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.
随Leabharlann 练习A 1、 ∵∠1= ∠2，DC⊥AC， DE⊥AB
∴_D__C_=_D__E____
12
(角__平__分__线__上__的__点__到__角__的__两__边___的__距__离__相__等_) E
B
C
E
已知:△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交 ∠BAC的平分线AE于E， EF⊥AB于F， EG⊥AC 交AC的延长线于G.求证:BF=CG.
A
F
D
B
C
G
E
已知:△ABC中，AD是它的角平分线， D为BC的 中点，DE⊥AB于E， DF⊥AC于F，.求证:BE=CF.
A
E
F
BD
C
已知:在等边△ABC中， ∠B 、∠C的平分线交于 O点， OB的垂直平分线交BC于E， OC的垂直平 分线交BC于F.
上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置．
一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设 是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二 个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个 命题叫做它的逆命题.
命题“两直线平行，内错角相等”的 题设为两直线平行； 结论为内错角相等． 因此它的逆命题为 内错角相等，两直线平行.
在△PDO和△PEO中，因为
｛∠∠DPDOOP＝ ＝∠ ∠EPEOOP（（已已知证）），，
PO＝PO（公共边），
O
∴△PDO≌△PEO (A.A.S)
∴PD=PE
A D
1P
2
C
E B
于是就有定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相 等．
问答 ：1、如图，在Rt△ABC 中， BD是∠B 的平分线 ，
那么这个三角形是等边三角形.
3、全等三角形的对应角相等. 题设：两个三角形是全等三角形. 结论：它们的对应角相等. 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，
那么这两个三角形全等.
4、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 平分线上.
题设：一个点到一个角的两边距离相等. 结论：它在这个角的平分线上. 逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等.
逆命题与逆定理
回
顾
1、命题的概念： 可以判断正确或错误的 句子叫做命题.
例如：两直线平行，内错角相等； 内错角相等，两直线平行；都是命题.
注意：问句和几何作法不是命题！
2、命题都有两部分： 题设和结论
我能行
说出下列命题的题设和结论：
1、两直线平行，内错角相等； 2、内错角相等，两直线平行； 3、如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧 ； 45、 、如平果行小 四明 边发 形烧 的，对那角么线他互一相定平患分了； 肺炎； 6、对角线互相平分的四边形是平行四边形.
求证:BE=EF=CF.
A
O
B
C
E
F
如图，有一内地城市A和两个沿海城市B和C， 现决定在三个城市间建一个机场，使得机场到A 和B两城市的距离相等，而且使C市到机场的距 离最近，试确定机场的位置.
A．
．
．
B
C
如图，已知点A、B和直线l，在直线l上求作
一点P，使PA=PB. l1
解：如图，连接AB，作
5、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个 端点的距离相等. 题设：一个点在一条线段的垂直平分线上. 结论：它到这条线段的两个端点的距离相等.
逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上.
• 每一个命题都有逆命题，只要将原 命题的题设改成结论，并将结论改 成题设，便可得到原命题的逆命 题．但是原命题正确，它的逆命题 未必正确．例如真命题“对顶角相 等”的逆命题为“相等的角是对顶 角”，此命题就是假命题．
练习2、举例说明下列命题的逆命题是假命题.
（1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整 数 能被5整除. 逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数 的个位数字是5.
例如10能5整除，但它的个位数是0.
（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等. 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.
例如60°= 60°，但这两个角不是直角.
逆命题：高速行驶时，不接触地面的交通工具是磁悬浮 列车——假命题
这节课我们学到了什么？
①逆命题、逆定理的概念. ②能写出一个命题的逆命题. ③在证明假命题时会用举反例说明.
1、写出下列命题的逆命题，并判断它是真是假. (1)如果x=y，那么x2 =y2；
(2)如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另 外两个角是锐角；
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：作FG⊥AE于G.FH⊥AD于H FP⊥CB于P，作射线OF
∵CF平分∠ECB ∴FG=FP(角平分线上的点到角 两边距离相等) 同理可证:FH=FP ∴FG=FH ∴点F在∠EOD的平分线上(到角两
边距离相等的点在这个角的平分线 上)
G P
H
DE⊥AB，垂足为E，
DE与DC 相等吗？ 为什么？ 答： DE=DC.
EA
∵ BD是∠ABC的平分线（D在
D
∠ABC的平分线上）
又∵ DE⊥BA，垂足为E， B
C
DC⊥BC，垂足为C，
∴ DE=DC.
做完本题后，你对角平分线，又增加了什么认
思考
识？
角平分线的性质， 为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径.
如果一个定理的逆命题也是定理，那么 这两个定理叫做互逆定理. 其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆 命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就 是互逆定理．
一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．例 如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶 角相等”是真命题，且是定理．
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题
注意2：不是所有的定理都有逆定理
练习3：
在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是 真命题？试举出几个例子说明. 例如：1、同旁内角互补，两直线平行.
逆命题：两直线平行，同旁内角互补. 真
2、有两个角相等的三角形是等腰三角形.
逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它
有两个角相等. 真
补充练习：说出下列命题的逆命题，并判定逆命 题的真假：
①既是中心对称，又是轴对称的图形是圆.
逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形——真命题
②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
逆命题：平行四边形有一组对边平行并且相等——真命题 ③磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交 通工具.
线段AB的垂直平分线l1， 交直线l于点P，连接PA、
●A ●B
PB，则PA=PB.
●
P
l
回顾 思考
角平分线的这条性 质是怎样得到的呢？
•角平分线的性质是什么 ？
• 用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两 边叠合在一起，再把纸片展开，你看到 了什么？
• 角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等
开启智慧
(二)线段垂直平分线的性质定理:
线段的垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的距离相等.
定理:到一条线段的两个端点的距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线上.
求证:三角形三边的垂直平分线交于一点.
已知:△ABC中，DE、FG、MN分别是三边的垂直 平分线.
A M
D F
N
求证:DE、FG、MN交于一点. G
练习1：指出下列命题的题设和结论，并说出它 们的逆命题. 1、如果一个三角形是直角三角形，那么它的
两个锐角互余.
题设：一个三角形是直角三角形.
结论：它的两个锐角互余.
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余， 那么这个三角形是直角三角形.
2、等边三角形的每个角都等于60° 题设：一个三角形是等边三角形. 结论：它的每个角都等于60° 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，
• 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否 一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明： PD⊥OA，PE⊥OB，点D、 E为垂足，
A D
∴∠PDO= ∠PEO=Rt ∠ 在Rt △PDO 与Rt △PEO中 O
在第三条直线上即可.这时可以考虑前
A
面刚刚学习的内容. 如图，设△ABC的角平分线BM，
ND M PF
CN相交于点P，过点P分别作BC，
AC，AB的垂线，垂足分别是E，F B
EC
，∵DB. M是△ABC的角平分线，点P在BM上
，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
∴PD=PF. 同理，PE=PF.
1 2
P C
｛OPPD==OPEP（（已公知共）边）
E
∴Rt△PDO≌△PDO
B
∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上
于是就有定理：
角的内部到角两边距 离相等的点在角的平 分线上.
命题:三角形三个角的平分线相交于一点.
基本想法:我们知道，两条直线相交 只有一个交点.要想证明三条直线相交
于一点，只要能证明两条直线的交点
2、判断题（ × ）
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
CB D
B
∴ BD = DC ，
( 角的平分线上的点到角的 ) A
两边的距离相等
D C
练习 1． 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到
∠AOB的两边OA、OB的距离相等．
提示：作∠AOB的平分线，交直 线l于P就是所求的点
练习2. 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的 平分线相交于点F，
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如图，已知:OC是∠AOB的 平分线，P是OC上任意一点 ，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足 分别是D，E. 求证:PD=PE(平分线上的 O 点到这个角的两角边距离 相等).
A D
1 2
PC
E B
• 证明: 因为PD⊥OA，PE⊥OB（已知）， • 所以 ∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）．
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角 的两边距离相等的点，在这个角的平分线上). ∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.
随Leabharlann 练习A 1、 ∵∠1= ∠2，DC⊥AC， DE⊥AB
∴_D__C_=_D__E____
12
(角__平__分__线__上__的__点__到__角__的__两__边___的__距__离__相__等_) E
B
C
E
已知:△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交 ∠BAC的平分线AE于E， EF⊥AB于F， EG⊥AC 交AC的延长线于G.求证:BF=CG.
A
F
D
B
C
G
E
已知:△ABC中，AD是它的角平分线， D为BC的 中点，DE⊥AB于E， DF⊥AC于F，.求证:BE=CF.
A
E
F
BD
C
已知:在等边△ABC中， ∠B 、∠C的平分线交于 O点， OB的垂直平分线交BC于E， OC的垂直平 分线交BC于F.