高二数学 人教A版选修2-3习题 第3章 统计案例3.1 Word版含答案

选修2-3 第三章 3.1
一、选择题
1．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x －＝3，y －
＝3.5，则由该观测数据算得线性回归方程可能为( )
A ．y ^＝0.4x ＋2.3
B ．y ^＝2x －2.4
C ．y ^＝－2x ＋9.5
D ．y ^
＝－0.3x ＋4.4 [答案] A
[解析] 因为变量x 和y 正相关，所以回归直线的斜率为正，排除C 、D ；又将点(3,3.5)代入选项A 和B 的方程中检验排除B ，所以选A ．
2．由变量x 与y 相对应的一组数据(1，y 1)、(5，y 2)、(7，y 3)、(13，y 4)、(19，y 5)得到的线性回归方程为y ^＝2x ＋45，则y －
＝( )
A ．135
B ．90
C ．67
D ．63 [答案] D
[解析] ∵x －＝15(1＋5＋7＋13＋19)＝9，y －＝2x －
＋45，
∴y －
＝2×9＋45＝63，故选D ． 3．观测两个相关变量，得到如下数据：
x －1 －2 －3 －4 －5 5 4 3 2 1 y
－0.9
－2
－3.1
－3.9
－5.1
5
4.1
2.9
2.1
0.9
A ．y ^＝0.5x －1
B ．y ^＝x
C ．y ^
＝2x ＋0.3 D ．y ^
＝x ＋1
[答案] B
[解析] 因为x －
＝0，
y －＝－0.9－2－3.1－3.9－5.1＋5＋4.1＋2.9＋2.1＋0.910＝0，根据回归直线方程必经过样本
中心点(x －，y －
)可知，回归直线方程过点(0,0)，所以选B ．
4．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据(略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为y ^
＝7.19x ＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )
A ．身高一定是145.83cm
B ．身高在145.83cm 以上
C ．身高在145.83cm 左右
D ．身高在145.83cm 以下
[答案] C
[解析] 将x 的值代入回归方程y ^＝7.19x ＋73.93时，得到的y ^
值是年龄为x 时，身高的估
计值，故选C ．
5．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y (个)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：
( ) A ．68 B ．66 C ．72 D ．70
[答案] A
[解析] ∵x －＝14(18＋13＋10－1)＝10，y －＝1
4(24＋34＋38＋64)＝40，
∴40＝－2×10＋a ，∴a ＝60， 当x ＝－4时，y ＝－2×(－4)＋60＝68.
6．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^
＝0.85x －85.71，则下列结论中不．正确．．
的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －
)
C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg
D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg [答案] D
[解析] 本题考查线性回归方程．
D 项中身高为170cm 时，体重“约为”58.79，而不是“确定”，回归方程只能作出“估计”，而非确定“线性”关系． 二、填空题
7．下列五个命题，正确命题的序号为____________.
①任何两个变量都具有相关关系； ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；
③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系； ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；
⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．
[答案] ③④⑤
[解析] 变量的相关关系是变量之间的一种近似关系，并不是所有的变量都有相关关系，而有些变量之间是确定的函数关系．例如，②中圆的周长与该圆的半径就是一种确定的函数
关系；另外，线性回归直线是描述这种关系的有效方法；如果两个变量对应的数据点与所求出的直线偏离较大，那么，这条回归直线的方程就是毫无意义的．
8．在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)．由散点图初步判定其具有线性相关关系，则由此得到的回归方程的斜率是________.
施化肥量x 15202530354045
水稻产量y 330345365405445450455 [答案] 4.75
[解析]列表如下，
i 1234567
x i15202530354045
y i330345365405445450455
x i y i49506900912512150155751800020475
x＝30，y≈399.3，∑
i＝1
7
x2i＝7000，∑
i＝1
7
x i y i＝87175
则b
^
≈
87175－7×30×399.3
7000－7×302
≈4.75.
回归方程的斜率即回归系数b
^
.
9．以下是某地区的降雨量与年平均气温的一组数据：
年平均气温(℃)12.5112.8412.8413.6913.3312.7413.05 年降雨量(mm)542507813574701432464
或“不具有”)
[答案]不具有
[解析]画出散点图，观察可知，降雨量与年平均气温没有相关关系．
三、解答题
10．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积(m2)11511080135105
销售价格(万元)
24.8 21.6 18.4 29.2 22
(1)画出数据对应的散点图；
(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m 2时的销售价格． [解析] (1)数据对应的散点图如下图所示：
(2)x ＝15
∑5
i ＝1x i ＝109，l xx ＝∑5 i ＝1 (x i －x )2＝1570，
y ＝23.2，l xy ＝∑5
i ＝1 (x i －x )(y i －y )＝308. 设所求回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，
则b ^
＝l xy l xx ＝3081570≈0.1962，a ^
＝y －b ^x ＝1.8166.
故所求回归直线方程为y ^
＝0.1962x ＋1.8166. (3)据(2)，当x ＝150m 2时，销售价格的估计值为 y ^
＝0.1962×150＋1.8166＝31.2466(万元)．
一、选择题
1．下列说法正确的有几个( )
(1)回归直线过样本点的中心(x －，y －
)；
(2)线性回归方程对应的直线y ^＝b ^x ＋a ^
至少经过其样本数据点(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、…、(x n ，y n )中的一个点；
(3)在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越宽，其模型拟合的精度越高； (4)在回归分析中，R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
[答案] B
[解析] 由回归分析的概念知①④正确，②③错误．
2．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )
A ．r 2<r 1<0
B ．0<r 2<r 1
C ．r 2<0<r 1
D ．r 2＝r 1
[答案] C
[解析] ∵变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)， ∴X ＝10＋11.3＋11.8＋12.5＋13
5＝11.72，
Y ＝1＋2＋3＋4＋55
＝3，
∑i ＝1
5
(x i －x )(y i －y )＝(10－11.72)×(1－3)＋(11.3－11.72)×(2－3)＋(11.8－11.72)×(3－3)
＋(12.5－11.72)×(4－3)＋(13－11.72)×(5－3)＝7.2，
∑i ＝1
5
(x i －x
)2∑i ＝1
5
(y i －y )2＝19.172，
∴这组数据的相关系数是r 1＝
7.2
19.172
＝0.3755， 变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，U ＝1
5(10
＋11.3＋11.8＋12.5＋13)＝11.72，
V ＝
5＋4＋3＋2＋1
5
＝3，
∑i ＝1
5
(U i －U )(V i －V )＝(10－11.72)×(5－3)＋(11.3－11.72)×(4－3)＋(11.8－11.72)×(3－
3)＋(12.5－11.72)×(2－3)＋(13－11.72)×(1－3)＝－7.2，
∑i ＝1
5
(U i －U
)2·
∑i ＝1
5 (V i －V )2＝19.172.
∴这组数据的相关系数是r 2＝－0.3755，
∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选C ． 二、填空题
3．已知两个变量x 和y 之间有线性相关性，5次试验的观测数据如下表：
那么变量y 关于x [答案] y ^
＝0.575x －14.9
[解析] 根据公式计算可得b ^
＝0.575，a ^＝－14.9，所以回归直线方程是y ^
＝0.575x －14.9.
4．某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y (件)与平均气温x (℃)之间的关系，随机统计
了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表：
由表中数据算出线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ＝－2，样本中心点为(10,38)． (1)表中数据m ＝________.
(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为________．
[答案] (1)40 (2)14件 [解析] (1)由y ＝38，得m ＝40. (2)由a ＝y －b x 得a ＝58， 故y ^
＝－2x ＋58， 当x ＝22时，y ^
＝14，
故三月中旬的销售量约为14件． 三、解答题
5．(2015·随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
(1)求y 关于t 的回归方程y ＝b t ＋a ；
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款．
附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中，b ^
＝
∑i ＝1
n
t i y i －n t y
∑i ＝1
n
t 2i －n t
2
，a ^＝y －b ^
t .
[解析] (1)列表计算如下
5 5 10 25
50 ∑
15
36
55
120
这里n ＝5，t ＝1n ∑i ＝1n t i ＝155＝3，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝36
5＝7.2.
又l nt ＝∑i ＝1n
t i －n t
2＝55－5×32＝10，l ny ＝∑i ＝1
n
t i y i
－n t y ＝120－5×3×7.2＝12.
从而b ^＝l ny l nt ＝1210＝1.2，a ^＝y －b ^ t ＝7.2－1.2×3＝3.6.故所求回归方程为y ^
＝1.2t ＋3.6.
(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ^
＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．
6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.
x 3 4 5 6 y
2.5
3
4
4.5
(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝b ^
x ＋a ^
；
(3)已知该 厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
[解析] (1)由题设所给数据，可得散点图如图：
(2)由对照数据，计算得∑i ＝14
x 2i ＝86，x ＝
3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.5
4
＝3.5，已知∑i ＝14
x i y i ＝66.5，所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数b ^
＝
∑i ＝1
4
x i y i －4x y
∑i ＝1
4
x 2i －4x
2
＝
66.5－4×4.5×3.586－4×4.52
＝0.7，a ^
＝y －b ^ x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
因此，所求的线性回归方程为y＝0.7x＋0.35.
(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，知降低的生产能耗为90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．。