西安数学高三上期末经典习题(答案解析)

一、选择题
1．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *
}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x ＋1；
④y ＝sin
4
4
x π
π
+
（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( )
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角
三角形
3．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65
B ．184
C ．183
D ．176
4．设,x y 满足约束条件330
280440x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪+-≥⎩
，则3z x y =+的最大值是（ ）
A ．9
B ．8
C ．3
D ．4
5．设,x y 满足约束条件300
2x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
, 则3z x y =+的最小值是 A ．5-
B ．4
C ．3-
D ．11
6．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年 B ．丙寅年
C ．丁卯年
D ．戊辰年
7．若直线()10,0x y
a b a b
+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6
B ．8
C ．9
D ．10
8．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足30,
230,,x y x y x m +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪≥⎩
则实数m 的最大值为
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．3
9．设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．12
D ．13
10．“0x >”是“1
2x x
+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6
B π
=，4
C
π
，
则ABC ∆的面积为（ ） A ．223+
B ．31+
C ．232-
D ．31-
12．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，6a =
，
7
cos 8
A =
，则ABC ∆的面积为（ ） A ．17
B ．3
C ．15
D ．
152
13．在R 上定义运算
：A
()1B A B =-，若不等式()
x a -()1x a +<对任意的
实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<
B ．02a <<
C ．1322
a -
<< D ．31
22
a -
<< 14．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪--⎩
，
，则2z x y =-的最大值为（ ）.
A ．10
B ．8
C ．3
D ．2
15．已知函数1()2x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )
A ．(4,1)-
B ．(1,4)-
C ．(1,4)
D ．(0,4)
二、填空题
16．已知lg lg 2x y +=，则
11
x y
+的最小值是______. 17．计算：23lim 123n n n
n
→+∞-=++++________
18．已知0,0x y >>，
12
21
x y +=+，则2x y +的最小值为 .
19．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
，若三角形的面积
2
22)4
S a b c =
+-，则角C =__________． 20．在数列{}n a 中，“()n 12n a n N*n 1n 1n 1=
++⋯+∈+++，又n n n 1
1b a a +=，则数列
{}n b 的前n 项和n S 为______．
21．若ABC ∆的三个内角45A =︒，75B =︒，60C =︒
，且面积6S =+形的外接圆半径是______
22．已知a b c R ∈、、，c 为实常数，则不等式的性质“a b a c b c >⇐+>+”可以用一个函数在R 上的单调性来解析，这个函数的解析式是()f x =_________
23．已知0a >，0b >，且31a b +=，则43
a b
+的最小值是_______. 24．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，若a n +S n =2n (n ∈N ∗)，则log 2(2a 2−a 1)(2a 3−
a 2)⋯(2a 100−a 99)=_____． 25．若直线
1(00)x y
a b a b
+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 三、解答题
26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =，999S =.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()2
n n n a b n N *
=
∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . 27．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，且
222sin sin sin sin A C B A C +-．
（1）求角B ；
（2）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =
，cos()A C -=DC 的长．
28．在ABC 中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .
已知2,a b ==
，面积
2
S accosB =
. （1）求sin A 的值；
（2）若点D 在BC 上（不含端点），求
sin BD
BAD
∠的最小值.
29．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin 2sin 0b A a A C -+=． （1）求角A ；
（2）若3a =，ABC △
的面积为
2
，求11b c +的值．
30．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差
数列，b =.
（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．C 2．C 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．B 9．C 10．C 11．B 12．D 13．C 14．B 15．B
二、填空题
16．【解析】由得：所以当且仅当时取等号故填
17．【解析】【详解】结合等差数列前n项和公式有：则：
18．3【解析】试题分析：根据条件解得那么当且仅当时取得等号所以的最小值为3故填：3考点：基本不等式
19．【解析】分析：利用面积公式和余弦定理结合可得详解：由余弦定理：可得：∴∵∴故答案为：点睛：在解三角形时有许多公式到底选用哪个公式要根据已知条件根据待求式子灵活选用象本题出现因此联想余弦定理由于要求角
20．【解析】【分析】运用等差数列的求和公式可得可得由数列的裂项相消求和化简可得所求和【详解】解：则可得数列的前n项和故答案为【点睛】本题考查数列的前项和首先运用数列的裂项法对项进行分解然后重新组合最终达
21．【解析】【分析】设三角形外接圆半径R由三角形面积公式解方程即可得解【详解】由题：设三角形外接圆半径为R（）根据正弦定理和三角形面积公式：即解得：故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应
22．【解析】【分析】构造函数通过讨论其单调性即解析不等式的性质【详解】函数是定义在上的单调增函数若则即即故答案为：【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求
23．【解析】【分析】利用1的代换将求式子的最小值等价于求的最小值再利用基本不等式即可求得最小值【详解】因为等号成立当且仅当故答案为：【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值考查转化与化归思想的运用求解
24．4950【解析】【分析】由an+Sn＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an＝2n即可计算【详解】解：∵an+Sn＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an
25．【解析】当且仅当时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才能应用否则会出现
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；
②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；
③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 4
4x π
π⎛⎫+
⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.
答案：C.
2．C
解析：C 【解析】
在ABC ∆中，222222
cos ,2cos 222a b c a b c C a b C b ab ab
+-+-=∴==⋅
，2222a a b c ∴=+-，,b c ∴=∴此三角形一定是等腰三角形，故选C.
【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
3．B
解析：B 【解析】
分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：
81187
8828179962
S a d a ⨯=+
=+⨯=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．A
解析：A 【解析】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标还是在点
()3,2C 处取得最大值，其最大值为max 33329z x y =+=+⨯=.
本题选择A 选项.
5．C
解析：C 【解析】
画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
由3z x y =+可得3y x z =-+．平移直线3y x z =-+，结合图形可得，当直线
3y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 也取得最小值．
由300x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得32
3
2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，故点A 的坐标为33(,)22-．
∴min 3
3
3()322
z =⨯-+
=-．选C ． 6．C
解析：C 【解析】
记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年. 故选C.
7．C
解析：C 【解析】 【详解】 因为直线
()10,0x y
a b a b
+=>>过点()1,1,所以11+1a b = ,
因此
114(4)(+)5+59b a a b a b a b +=+≥+= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以选
C.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
首先画出可行域，然后结合交点坐标平移直线即可确定实数m 的最大值. 【详解】
不等式组表示的平面区域如下图所示， 由2230y x x y =⎧⎨
--=⎩，得：1
2x y =-⎧⎨=-⎩
，
即C 点坐标为（－1，－2），
平移直线x ＝m ，移到C 点或C 点的左边时，直线2y x =上存在点(,)x y 在平面区域内， 所以，m ≤－1， 即实数m 的最大值为－1.
【点睛】
本题主要考查线性规划及其应用，属于中等题.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
由约束条件可得可行域，将问题变成11
22
y x z =-+在y 轴截距最大问题的求解；通过平移直线可确定最大值取得的点，代入可得结果. 【详解】
由约束条件可得可行域如下图所示：
当2z x y =+取最大值时，11
22
y x z =-+在y 轴截距最大 平移直线12
y x =-，可知当直线11
22y x z =-+过图中A 点时，在y 轴截距最大
由240y x
x y =⎧⎨
--=⎩
得：()4,4A max 42412z ∴=+⨯=
故选：C 【点睛】
本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距最值问题的求解，属于常考题型.
10．C
解析：C 【解析】
先考虑充分性,当x>0时，11
22x x x x
+≥⋅=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立. 再考虑必要性，当1
2x x
+
≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x -+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0. 故选C.
11．B
解析：B 【解析】
试题分析：根据正弦定理，
，解得
，
，并且
，所以
考点：1．正弦定理；2．面积公式．
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
三角形的面积公式为1
sin 2
ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】
解：在ABC ∆中，2227
cos 28b c a A bc +-==
将2b c =，6a =222
467
48
c c c +-=， 解得：2c =
由7cos 8A =得2
715sin 18A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
所以，111515
sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯=
故选D. 【点睛】
三角形的面积公式常见形式有两种：一是
12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助1
2
（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助
1
sin 2
bc A 时，需要求出三角形两边
及其夹角的正弦值.
13．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成
立,整理后利用判别式求出a 范围即可
【详解】
A
()1B A B =-
∴()
x a -()x a +()()()()22
=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦
()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,
221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,
()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,
13
22
a ∴-<<
故选：C 【点睛】
本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键
14．B
解析：B 【解析】 【分析】
作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：
化目标函数为2y x z =-，
联立70
310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩
，解得5,2A
（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.
15．B
解析：B 【解析】 【分析】
先判断函数1()2x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的单调性，把()24(3)f a f a ->转化为自变量的不等式求解.
【详解】
可知函数()f x 为减函数，由2
(4)(3)f a f a ->，可得243a a -<，
整理得2340a a --<，解得14a -<<，所以不等式的解集为(1,4)-． 故选B. 【点睛】
本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.
二、填空题
16．【解析】由得：所以当且仅当时取等号故填
解析：1
5
【解析】
由lg lg 2x y +=得：100xy =
，所以
1111111
()1001005
xy x y x y x y ⎛⎫+=+=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当10x y ==时，取等号，故填
1
5
. 17．【解析】【详解】结合等差数列前n 项和公式有：则： 解析：6
【解析】 【详解】
结合等差数列前n 项和公式有：()11232
n n n ++++
+=
，则：
()()2
2
6231362lim lim lim lim
61123111n n n n n n n n n n n n n n n
→+∞→+∞→+∞→+∞-
---====+++++++
.
18．3【解析】试题分析：根据条件解得那么当且仅当时取得等号所以的最小值为3故填：3考点：基本不等式
解析：3 【解析】
试题分析：根据条件
，解得
，那么
，当且仅当
时取得等号，所以
的最小值为3，故填：3. 考点：基本不等式
19．【解析】分析：利用面积公式和余弦定理结合可得详解：由余弦定理：可得：∴∵∴故答案为：点睛：在解三角形时有许多公式到底选用哪个公式要根据已知条件根据待求式子灵活选用象本题出现因此联想余弦定理由于要求角
解析：
π3. 【解析】
分析：利用面积公式in 1
2
s S ab C =和余弦定理结合可得． 详解：由()
22231
sin 42
S a b c ab C =
+-=． 余弦定理：2222cos a b c ab C +-=， 31
2cos sin 2
ab C ab C =， ∴tan 3C = ∵0πC <<， ∴π3
C =
． 故答案为：
π3
． 点睛：在解三角形时，有许多公式，到底选用哪个公式，要根据已知条件，根据待求式子灵活选用，象本题出现222a b c +-，因此联想余弦定理2222cos a b c ab C +-=，由于要求C 角，因此面积公式自然而然 选用in 1
2
s S ab C =
．许多问题可能比本题要更复杂，目标更隐蔽，需要我们不断探索，不断弃取才能得出正确结论，而这也要求我们首先要熟记公式．
20．【解析】【分析】运用等差数列的求和公式可得可得由数列的裂项相消求和化简可得所求和【详解】解：则可得数列的前n 项和故答案为【点睛】本题
考查数列的前项和首先运用数列的裂项法对项进行分解然后重新组合最终达 解析：
4n
n 1
+ 【解析】 【分析】
运用等差数列的求和公式可得()n 11n
a n n 1n 122
=
⋅+=+，可得()n n n 1141
1b 4a a n n 1n n 1+⎛⎫=
==- ⎪++⎝⎭
，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和． 【详解】 解：()n 12n 11n
a n n 1n 1n 1n 1n 122
=++⋯+=⋅+=++++， 则()n n n 1141
1b 4a a n n 1n n 1+⎛⎫=
==- ⎪++⎝⎭
， 可得数列{}n b 的前n 项和n 1111111S 4122334n n 1⎛
⎫=-
+-+-+⋯+- ⎪+⎝
⎭
14n 41n 1n 1⎛
⎫=-=
⎪++⎝⎭
． 故答案为4n
n 1
+． 【点睛】
本题考查数列的前n 项和，首先运用数列的裂项法对项进行分解，然后重新组合，最终达到求和目的，考查化简整理的运算能力，属于基础题．
21．【解析】【分析】设三角形外接圆半径R 由三角形面积公式解方程即可得解【详解】由题：设三角形外接圆半径为R （）根据正弦定理和三角形面积公式：即解得：故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应
解析：【解析】 【分析】
设三角形外接圆半径R ，由三角形面积公式21
sin 2sin sin sin 2
S ab C R A B C ==解方程即可得解. 【详解】
由题：1sin sin 75sin(4530)2B =︒=︒+︒=
=
设三角形外接圆半径为R （0R >），根据正弦定理和三角形面积公式：
211
sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22
S ab C R A R B C R A B C =
=⋅⋅=
即26222
4R +⨯⨯
+=，
解得：R =
故答案为：【点睛】
此题考查三角形面积公式和正弦定理的应用，利用正弦定理对面积公式进行转化求出相关量，需要对相关公式十分熟练.
22．【解析】【分析】构造函数通过讨论其单调性即解析不等式的性质【详解】函数是定义在上的单调增函数若则即即故答案为：【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求 解析：x c -
【解析】 【分析】
构造函数()f x x c =-，通过讨论其单调性即解析不等式的性质． 【详解】
函数()f x x c =-，是定义在R 上的单调增函数， 若a c b c +>+，
则()()f a c f b c +>+，即a c c b c c +->+-， 即a b >． 故答案为：x c - 【点睛】
此题考查利用函数单调性解析不等式的性质，利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求解．
23．【解析】【分析】利用1的代换将求式子的最小值等价于求的最小值再利用基本不等式即可求得最小值【详解】因为等号成立当且仅当故答案为：【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值考查转化与化归思想的运用求解 解析：25
【解析】 【分析】
利用1的代换，将求式子43
a b +的最小值等价于求43()(3)a b a b
++的最小值，再利用基本不等式，即可求得最小值. 【详解】
因为
4343123()(3)491325b a a b a b a b a b +=++=+++≥+， 等号成立当且仅当21
,55
a b =
=.
故答案为：25. 【点睛】
本题考查1的代换和基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意一正、二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件.
24．4950【解析】【分析】由an+Sn ＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an ＝2n 即可计算【详解】解：∵an+Sn ＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an 解析：4950
【解析】 【分析】
由a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1，两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．即可计算． 【详解】
解：∵a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1， 两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．
则（2a 2﹣a 1）（2a 3﹣a 2）…（2a 100﹣a 99）＝21•22•23…299＝299(99+1)
2
=2
4950
．
log 2(2a 2−a 1)(2a 3−a 2)⋯(2a 100−a 99)=4950
【点睛】
本题考查了数列的递推式，属于中档题．
25．【解析】当且仅当时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才能应用否则会出现 解析：8
【解析】
1212412(2)()448b a a b a b a b a b a b +=∴+=++=++≥+= ，当且仅当2b a = 时取等号.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
三、解答题 26．
（Ⅰ）21n a n =+，n *∈N （Ⅱ）25
52n n
n T +=- 【解析】
试题分析：（1）先根据条件列出关于首项与公差的方程组,解得首项与公差,代入等差数列通项公式即可（2）利用错位相减法求和, 利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变
化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以1q -
试题解析：（Ⅰ）由题意得：1127
989992a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩
,解得132a d =⎧⎨
=⎩ , 故{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n N ∈ （Ⅱ）由（Ⅰ）得：21
2
n n
n b +=
23435792122222
n n n T +=
++++⋯+ ① 23411
3572121
2
22222n n n n n T +-+=+++⋯++ ② ①－②得：234113111
12122
22
2222n n n n T ++⎛⎫=++++⋯+- ⎪⎝⎭ 152522n n ++=- 故25
52
n n
n T +=-
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
27．
（Ⅰ）6
B π
=;
（Ⅱ）5AD =．
【解析】
【试题分析】（1
）运用正弦定理将已知中的222sin sin sin sin A C B A C +-=等式转化为边的关系，再借助运用余弦定理求解；（2）借助题设条件DA DC =，且11a =，
(
)cos 5
A C -=
，再运用正弦定理建立方程求解：
（Ⅰ）由正弦定理和已知条件，222a c b +-=
所以cos B =． 因为()0,B π∈，所以6
B π
=
．
（Ⅱ）由条件．由(
)(
)cos sin A C A C -=
⇒-=
．设AD x =，则CD x =，11BD x =-，在ABD ∆中，由正弦定理得
sin sin BD AD
BAD B
=∠
．故
512x
x =⇒=
．所以5AD DC ==．
28．
（1
）
7
；（2）3 【解析】 【分析】
（1）由三角形面积公式得出60B ︒=，再由正弦定理即可得出sin A 的值； （2）先由余弦定理得出AD ，再结合正弦定理以及二次函数的性质得出sin BD
BAD
∠的最
小值. 【详解】
（1
）由三角形面积公式得
1sin cos 2ac B B =
，则tan B =()0,B π∈，60B ︒∴=
由正弦定理sin sin a b A B
=
得，2sin sin 7a B A b === （2）由余弦定理得22222cos 230b a c ac B c c =+-⇒--=，解得1c =-（舍）或
3c =
设x BD =，则2DC x =-，()0,2x ∈
，由余弦定理得cos 14
C =
=
2222cos AD DC AC DC AC ACD =+-⋅
∠2(2)7(2)x x =-+--239x x =-+
由正弦定理得sin sin BD AD BAD ABC ==
∠∠ 当32x =时，sin BD BAD ∠
3= 【点睛】
本题主要考查了利用正余弦定理解三角形，属于中档题.
29．
（1）
3π；（2
【解析】 【分析】
（1）可通过化简()sin2sin 0b A a A C -+=计算出cos A 的值，然后解出A 的值。

（ 2）可通过计算b c +和bc 的值来计算11
b c
+的值。

【详解】
（1）由()bsin 2sin 0A a A C -+=得bsin 2sin sin A a B b A ==， 又0A π<<，所以sin 0A ≠，得2cos 1A =，所以A 3
π
=。

（2）由
ABC
的面积为
2及A 3π=
得1bcsin 232
π=，即bc 6= ，
又3a =，从而由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=
，所以b c +=，
所以
112
b c b c bc ++==。

【点睛】
本题考察的是对解三角函数的综合运用，需要对相关的公式有着足够的了解。

30．
(1)4c =；
(2) 【解析】 【分析】 【详解】
(1) 由角,,A B C 的度数成等差数列，得2B A C =+. 又,3
A B C B π
π++=∴=
.
由正弦定理，得34c a =,即34
c
a =
. 由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-,即2
2331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
，解得4c =. (2)
由正弦定理，得
,.
sin sin sin 2a c b a A c C A C B ====∴==
)(
)sin sin sin sin sin sin 3a c A C A A B A A π⎤⎛
⎫⎤∴+=+=++=++ ⎪⎥⎦⎝⎭⎦
3sin sin 26A A A π⎫⎛
⎫=
+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
.
由203A π<<，得5666
A πππ
<+<
.
所以当6
2
A π
π
+
=
，即3
A π
=
时，()max a c +=
【方法点睛】
解三角形问题基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等．。