由数列递推关系求通项公式

由数列递推关系求通项公式
在咱们学习数学的这个大天地里，数列那可是个相当重要的角色。

而其中，由数列递推关系求通项公式这一部分，就像是一个神秘的宝藏，等待着咱们去挖掘和探索。

记得我之前教过一个学生，叫小明。

这孩子聪明是聪明，可一碰到
数列递推关系求通项公式的问题，就像是霜打的茄子——蔫了。

有一
次课堂上做练习，给他一道简单的数列递推题：已知数列
\(a_{n+1}=2a_{n} + 1\)，\(a_{1}=1\)，求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式。

小明瞪着题目看了半天，愣是没写出个所以然来。

我走到他身边，看了看他的草稿纸，上面写得乱七八糟。

我就问他：“小明，你先想想，咱们能不能通过变形，把这个递推式变得更简单一点？”小明一脸迷茫地看着我，摇了摇头。

这其实就是很多同学在面对这类问题时容易出现的状况，一看到复
杂的递推式就慌了神，不知道从哪里入手。

那咱们就来好好聊聊由数列递推关系求通项公式的那些事儿。

先来说说等差数列和等比数列。

这两个数列那可是基础中的基础。

等差数列的通项公式是\(a_{n}=a_{1} + (n - 1)d\)，其中\(a_{1}\)是首项，\(d\)是公差。

等比数列的通项公式是\(a_{n}=a_{1}q^{n - 1}\)，\(a_{1}\)
为首项，\(q\)为公比。

这两个公式大家可得牢记于心，就像记住自己的
名字一样熟悉。

对于一些简单的递推关系，咱们可以通过观察和变形来求解。

比如说，如果递推式是\(a_{n + 1} = a_{n} + d\)，这很明显就是一个等差数
列嘛。

再比如，递推式是\(a_{n + 1} = qa_{n}\)，那就是等比数列啦。

可实际问题往往没这么简单，经常会碰到一些需要巧妙变形的递推式。

像刚才提到的小明做的那道题\(a_{n + 1} = 2a_{n} + 1\)，咱们可以
这样来处理。

设\(a_{n + 1} + k = 2(a_{n} + k)\)，展开得到\(a_{n + 1} = 2a_{n} + k\)，对比原来的递推式，就可以得出\(k = 1\)。

这样原递推式
就变成了\(a_{n + 1} + 1 = 2(a_{n} + 1)\)，那数列\(\{a_{n} + 1\}\)就是一个等比数列啦，首项是\(a_{1} + 1 = 2\)，公比是\(2\)，所以\(a_{n} + 1
= 2 \times 2^{n - 1} = 2^{n}\)，从而\(a_{n} = 2^{n} - 1\)。

再比如，如果递推式是\(a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + a_{n}}\)，咱
们可以两边取倒数，得到\(\frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{1 + a_{n}}{a_{n}} = \frac{1}{a_{n}} + 1\)，这样就变成了一个等差数列的形式。

还有一种常见的类型是累加法和累乘法。

如果递推式是\(a_{n + 1} - a_{n} = f(n)\)，咱们就可以用累加法，把\(a_{n}\)表示出来。

比如说
\(a_{n + 1} - a_{n} = 2n\)，那么\(a_{2} - a_{1} = 2 \times 1\)，\(a_{3} -
a_{2} = 2 \times 2\)，\(\cdots\)，\(a_{n} - a_{n - 1} = 2(n - 1)\)，把这些
式子相加，就可以求出\(a_{n}\)。

累乘法也是类似的道理，如果递推式是\(\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} =
f(n)\)，就可以用累乘法。

说了这么多方法，可能有的同学会觉得有点晕乎。

没关系，多做几
道题练练手，慢慢就能找到感觉了。

后来小明按照我教的方法，回去认真做了好多练习题，终于掌握了
由数列递推关系求通项公式的技巧。

再碰到这类题，他再也不会像之
前那样不知所措了。

总之，由数列递推关系求通项公式虽然有点复杂，但只要咱们掌握
了方法，多练习，就一定能攻克这个难关，在数学的海洋里畅游无阻！。