高等数学第一章课件

[a , b ] { x | a x b }
半开区间 (a , b] { x | a x b} 和 [a , b ) { x | a x b } 称b－a为这些区间的长度. 称a,b为区间的端点， 以上这些区间都称为有限区间.
[a, b]
O
(a , b)
a
b
O
a
b
a
用数轴可以表示区间
3.邻域 (1) 设δ是任一正数，称开区间(a-δ,a+δ)为点a的 δ邻域，记为U(a,δ)，即
U(a, ) {x | a x a } {x | | x a | }
点a称为该邻域的中心，称δ为该邻域的半径.


a a x (2) 点a的去心邻域： U (a, ) { x | 0 | x a | }
M x x 所具有的特征

A {x x 4}
பைடு நூலகம்特殊集合
空集

全集
, I 或其他
实数集 R
自然数集
N 0 , 1 , 2 , , n ,
有理数集 Q
整数集合 Z
结论: 任何数集都是R的子集
集合运算
设A、B 是二个集合，定义
A B { x x A或x B}
第一章
§1 映射与函数
一、相关概念 1. 集合
定义.
函数
具有某种特定性质的事物的总体称为集合. A B C M 组成集合的事物称为元素. a b c
a M . a M ( 或 a M ) .
表示法
(1) 列举法： A a1 , a2 , , an (2) 描述法：
a i in1
（3）分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C )
(AB) C (AC) (BC)
（4）对偶律
DeMorgan's Theorem
( A B ) C AC B C ( A B ) C AC B C
2.区间和邻域 设a,b∈R,且a<b, 开区间 (a, b) { x | a x b} 闭区间
例5 函数
2 x ,0 x 1 y f ( x) 1 x, x 1
y
y 1 x
是一个分段函数. 它的定义域 D=[0,+∞). 如:
1 1 1 [0,1], f 2 2; 2 2 2
y2 x
3(1,), f (3) 1 3 4.
x y cot , 2
y u,
x u cot v , v . 2
四、极坐标的概念
平面上点的极坐标 定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox， 叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（取逆时针 方向）。对于平面内的任意一点M，用r表示线段OM的长 度，θ表示从Ox到OM的角，r叫做点M的极径，θ叫做点 M的极角，有序数对(r, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立 的坐标系叫做极坐标系
引
言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量，均匀变量，以静止 观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量，以变化的观点研究 问题.
二、主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分
最系统，最全面
多元微积分，曲线积分，曲面积分
3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
f ( x )
-x o x 偶函数
f ( x)
x
偶函数的图形关于y轴对称. 函数 y=cosx是偶函数.
设函数f (x)的定义域为D关于原点对称,对于 x D, 有f (-x)= -f (x)恒成立,则称f (x)为奇函数. y y f ( x)
f ( x)
-x
f ( x )
o
x
x
奇函数 奇函数的图形关于原点对称. 函数 y=sinx是偶函数. 函数 y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.
f : X Y,
其中y称为元素x(在映射 元素x称为元素y(在映射
f 下)的像,记作 f ( x ) ,即 y f ( x ), f 下)的一个原像;
集合X称为映射 f 的定义域, 记作 D f, 即 D f X ; X中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域, 记作 R f 或 f ( X ),即
(A与B的并集)
A B { x x A且x B } (A与B的交集)
A \ B { x x A且x B } (A与B的差集)
例如: 在实数集R中 A { x 0 x 1} 则有 AC { x x 0或x 1}
直积或笛卡儿乘积
A B {( x, y) x A且y B}
。
a
点a的左δ邻域: 开区间(a-δ,a) 点a的右δ邻域: 开区间 (a,a+δ) 注 若不强调δ的大小，点a的去心邻域记为U(a)
二、映射
1、映射的概念 定义 设X、Y是二个非空集合，如果存在一个法则 f , 使得对 X中每个元素x, 按法则 f , 在Y中有唯一确定的元素 y与之对 应, 则称 f 为从X到Y的映射,记为
(2) 函数的单调性: 设函数f (x)的定义域为D, 区间 I D , 如果对于区间I上任意两点 x1 及 x2 , 当 x1 x 2 时,恒有
f ( x1 ) f ( x 2 ),
则称函数f (x)在区间I上是单调增加的; y
y f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
y f g( x), x D 称为由函数u=g(x)和函数 y f (u) 构成的复合函数,它的
定义域为D,变量u称为中间变量. 函数g与函数f 构成的复合函数通常记为 f g. 函数g与函数f 构成复合函数 f g 的条件是: 函数g在D上的值域g(D)必须含在f 的定义域 Df 内,即
R f f ( X ) f ( x ) x X .
根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中,映射又 有不同的惯用名称. 如: 从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函. 从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换. 从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射称为定义在X 上的函数.
3 y x , x R 是单射,其反函数为 y x , x R. 如:函数
1 f 也是f (D)上的单调函数. 若函数f (x)在D上是单调函数,则
1 3
y
反函数 y ( x )
Q (b, a )
o
直接函数 y f ( x ) P (a , b )
x
复合函数 定义: 设函数 y f (u) 的定义域为 D 1, 函数u=g(x)在D上有 定义,且 g(D) D 1, 则由下式确定的函数
函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内. 函数的两要素: 定义域 D f 与对应法则f . 如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两 个函数就是相同的,否则就是不同的. 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有(实际)意义 的一切实数值.
例如， y 1 x 2 1 例如， y 1 x2
g(D) Df .
注意: 1. 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函 数的; 如: y arcsin u,
u 2 x ;
2
y arcsin( 2 x 2 )
( x R, u 2 x 2 [1,1] D y )
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. 如:
例如：
R R ( x, y) x R, y R
为xOy面上全体点的集合，记为 R 2 .
运算法则
（1）交换律 A B B A, A B B A （2）结合律 ( A B ) C A ( B C )
( A B) C A ( B C )
无限区间
[a , ) { x | x a }
( , b ) { x | x b}
(a , ) { x | x a }
( , b] { x | x b}
( , ) { x | x R}
[a , ]
( , b ) O b
O
定义域 D=(－∞,+∞),值域 Rf =[0, +∞). 这个函数称为绝对值函数.
y
y x
O
x
例3 函数
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
称为符号函数,定义域 D=(－∞,+∞),值域 Rf ={1,0,－1}.
x sgn x x
y 1 o -1 x
例4 取整函数 y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
5 如[-3.4]=-4,[－1]=－1, 0. 7 定义域 D=(－∞,+∞), 值域 R f =Z.
y 4321 阶梯曲线
x -4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 -2 -3 -4
三、函数
1.函数概念 定义 设数集 D R，则称映射 f : D R 为定义D上的函数， 通常简记为
y f ( x)
因变量 自变量
D称为定义域, 记作 D f , 即 Df D . 对每个 xD ,按对应法则 f ,总有唯一确定的值y与之对应, 这个值称为函数f 在x处的函数值,记作f (x),即y= f (x). 函数值f (x)的全体所构成的集合称为函数f 的值域, 记作 R f 或 f (D) , 即 Rf f (D) { y y f ( x), x D}.
设函数f (x)的定义域为D, 区间 I D, 如果对于区间I上任意两点 x1 及 x 2 , 当 x1 x 2时,恒有
f ( x1 ) f ( x 2 ),
则称函数f (x)在区间I上是单调减少的; y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
(3) 函数的奇偶性: 设函数f (x)的定义域为D关于原点对称,对于 xD, 有f (-x)= f (x)恒成立,则称f (x)为偶函数; y f ( x) y
D : [1,1] D : ( 1,1)
如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函 数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则 2 2 2 叫与多值函数． 例如: x y a ．
例如,在由方程 x y a 给出的对应法则中,附加“ y 0” 2 2 的条件, 就可得到一个单值分支 y y1 a x .
3l 2
例6 狄利克雷函数
1, x Q y D( x ) c 0 , x Q
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
它是一个周期函数,任何有理数都是它的周期, 但它没有最小正周期.
3. 反函数与复合函数 反函数的定义: 设函数 f : D f ( D) 是单射,则它存在逆函数 f 1 : f ( D) D, 称此映射 f 1 为函数f 的反函数.
2 2 2
表示函数的主要方法有三种: 表格法 图形法 解析法（公式法）
常见的几种函数 例1 函数y=2 它的定义域 D ( ,), 值域 Rf {2}, 它的图形是一条平行 于x轴的直线.
y
y=2
x
O
x 0, x, 例2 函数 y | x | x , x 0
O
1
x
2. 函数的几种特性 (1) 函数的有界性: 则称函数 若 X D, M 0, x X, 有 f ( x) M 成立， f (x)在X上有界.否则称为无界. y y M M y=f(x) x0 x x o o X X 无界 有界 -M -M
注意: (1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的. (2)有界与否是和X有关的. (3)证明无界的方法: 对于任意正数 M ,总存在 x1 X 使 f ( x1 ) M
(4) 函数的周期性: 设函数f (x)的定义域为D,如果存在一个正数l ,使得对于任 一 x D 有 ( x l)D, 且 f (xl) f (x) 恒成立, 则称f (x)为周期函数, l 称为f (x)的周期. （通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.

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l 2
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