2019届四川省成都市高三第三次诊断性检测数学(理)试题(解析版)

成都市2016级高中毕业班第三次诊断性检测
数学(理科)
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集()(){}
130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( ) A. {}1,3- B. {}1,0- C. {}0,3 D. {}1,0,3-
【答案】A 【解析】 【分析】
先求得全集包含的元素，由此求得集合A 的补集.
【详解】由()()130x x +-≤解得13x -≤≤，故{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U C A =-，故选A. 【点睛】本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ） A. 33i - B. 33i + C. 13i + D. 13i -
【答案】D 【解析】 【分析】
直接相乘，得13i +，由共轭复数的性质即可得结果 【详解】∵21()()13z i i i =++=+ ∴其共轭复数为13i -. 故选：D
【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.
3.已知函数()3
sin ,f x x a x x R =+∈，若()12f -=，则()1f 的值等于（ ）
A. 2
B. 2-
C. 1a +
D. 1a -
【答案】B 【解析】 【分析】
由函数的奇偶性可得，(1)(1)2f f =--=-
【详解】∵3
()sin f x x a x =+
其中3()g x x =为奇函数，()sin t x a x =也为奇函数 ∴()()()f x g x t x =+也为奇函数 ∴(1)(1)2f f =--=- 故选：B
【点睛】函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：①奇函数±奇函数=奇函数；②奇函数×奇函数=偶函数；③奇函数÷奇函数=偶函数；④偶函数±偶函数=偶函数；⑤偶函数×偶函数=偶函数；⑥奇函数×偶函数=奇函数；⑦奇函数÷偶函数=奇函数
4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 、F 、G 分别是线段11A C 上的点，且11A E EF FG GC ===.则下列直线与平面1A BD 平行的是（ ）
A. CE
B. CF
C. CG
D. 1CC
【答案】B 【解析】 【分析】
连接AC ，使AC 交BD 于点O ，连接1A O 、CF ，可证四边形1A OCF 为平行四边形，可得1//A O CF ，利用线面平行的判定定理即可得解．
【详解】如图，连接AC ，使AC 交BD 于点O ，连接1A O 、CF ，则O 为AC 的中点，
在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形，
11//AC AC ∴且11A C AC =，
O Q 、F 分别为AC 、11A C 的中点，1//A F OC ∴且1A F OC =，
所以，四边形1A OCF 为平行四边形，则1//CF A O ，
CF ⊄Q 平面1A BD ，1
AO ⊂平面1A BD ，因此，//CF 平面1A BD . 故选：B.
【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题．
5.已知x ，y 满足约束条件0
20x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D 【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论． 【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，
2z x y =+等价于2y x z =-+，作直线2y x =-，向上平移，
易知当直线经过点()2,0时z 最大，所以max 2204z =⨯+=，故选D ．
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类
问题的基本方法．
6.若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的
是（ ） A. b a > B. b a < C. b a < D. b a >
【答案】C 【解析】 【分析】
令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得． 【详解】令23a
b
t ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==
，3
lg log lg 3
t
b t ==， ()
lg lg lg lg 3lg 20lg 2lg 3lg 2lg 3
t t t a b -∴-=
-=>⋅，因此，a b >. 故选：C.
【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 7.已知1
sin 243απ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，则sin α的值等于（ ） A. 79-
B. 29
-
C.
29
D.
79
【答案】A 【解析】 【分析】
由余弦公式的二倍角可得，27
cos()12sin 2249
π
απα⎛⎫+
=-+= ⎪⎝⎭，再由诱导公式有 cos()sin 2παα+=-，所以7
sin 9
α=-
【详解】∵1
sin 243
απ⎛⎫+=
⎪⎝⎭ ∴由余弦公式的二倍角展开式有
27
cos()12sin 2249
παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭
又∵cos()sin 2
π
αα+
=-
∴7sin 9
α=- 故选：A
【点睛】本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题 8.执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B 【解析】 【分析】
列出循环的每一步，进而可求得输出的n 值.
【详解】根据程序框图，执行循环前：0a =，0b =，0n =， 执行第一次循环时：1a =，2b =，所以：229840+≤不成立． 继续进行循环，…，
当4a =，8b =时，226240+=成立，1n =， 由于5a ≥不成立，执行下一次循环，
5a =，10b =，225040+≤成立，2n =，5a ≥成立，输出的n 的值为2.
故选：B ．
【点睛】本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
9.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M
满足MA MO
= ，则·OM ON u u u u r u u u r
的取
值范围是（ ） A. []0,2
B. 0,⎡⎣
C. []22-,
D. -⎡⎣
【答案】D 【解析】 【分析】
设出M 的坐标为(,)x y ，依据题目条件，求出点M 的轨迹方程22
(2)8x y +-=，
写出点M
的参数方程，则·os OM ON θ=u u u u r u u u r ，根据余弦函数自身的范围，可求得·OM ON u u u u r u u u r
结果. 【详解】设(,)M x y ，则
∵
MA MO
=，()0,2A -
=
∴2222
(2)2()x y x y ++=+
∴22
(2)8x y +-=为点M 的轨迹方程
∴点M
的参数方程为2x y θ
θ
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）
则由向量的坐标表达式有：
·os OM ON θ=u u u u r u u u r
又∵cos [1,1]θ∈-
∴·[OM ON θ=∈-u u u u r u u u r
故选：D
【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法
10.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期
《大戴礼》中．“n 阶幻方()
*
3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）
A. 75
B. 65
C. 55
D. 45
【答案】B 【解析】 【分析】
计算1225+++L 的和，然后除以5，得到“5阶幻方”的幻和.
【详解】依题意“5阶幻方”的幻和为125
25
1225265
55
+⨯+++==L ，故选B.
【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前n 项和公式，属于基础题.
11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()2
20y px p =>与双曲
线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125
cos 7
PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A.
23 B.
2或3
C. 23
D. 2或3
【答案】D 【解析】 【分析】
设1PF m =，2PF n =，根据125cos 7PF
F ∠=和抛物线性质得出25
7
PF m =，再根据双曲线性质得出
7m a =，5n a =，最后根据余弦定理列方程得出a 、c 间的关系，从而可得出离心率．
【详解】过P 分别向x 轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M 、N ，不妨设1PF m
=，2PF n =，
则121125cos 7
m
MF PN PF PF PF F ===∠=
， P Q 为双曲线上的点，则122PF PF a -=，即527
m
m a -
=，得7m a =，5n a ∴=， 又122F F c =，在
12PF F ∆中，由余弦定理可得222
5494257272a c a a c
+-=⨯⨯， 整理得22560c ac a -+=，即2560e e -+=，1e >Q ，解得2e =或3e =. 故选：D.
【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12.已知函数()()()1sin
,132
22,3100x x f x f x x π
⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩
，若函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,?··n a a a ，并记相应的极大值为12,,?·
·n b b b ，则()1
n
i
i
i a b =+∑的值为（ ）
A. 5022449+
B. 5022549+
C. 4922449+
D. 4922549+
【答案】C 【解析】 【分析】
对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当2x =时有极大值(2)1f =，而后一部分是前一部分的定义
域的循环，而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点n a 的通项公式
2n a n =，且相应极大值12n n b -=，分组求和即得
【详解】当13x ≤≤时，()cos 22
x f x π
ππ-⎛⎫
'=
⎪⎝⎭
， 显然当2x =时有，()0f x '=， ∴经单调性分析知
2x =为()f x 的第一个极值点
又∵3100x <≤时，()2(2)f x f x =- ∴4x =，6x =，8x =，…，均为其极值点 ∵函数不能在端点处取得极值 ∴2n a n =，149n ≤≤，n Z ∈ ∴对应极值12n n
b -=，149n ≤≤，n Z ∈
∴()4949
491
(298)491(12)
22449212i i i a b =+⨯⨯-+=
+=+-∑ 故选：C
【点睛】本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列和函数的熟悉程度高，为中档题
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分把答案填在答题卡上。

13.在5
(2)x +的展开式中，2x 的系数为______.(用数字作答) 【答案】80 【解析】 【分析】
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令2r =，求出展开式中2x 的系数．
【详解】二项展开式的通项为5152r r r
r T C x -+= 令2r =得2x 的系数为32
5280C =
故答案为80．
【点睛】利用二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 14.已知公差大于零的等差数列{}n a 中，2a 、6a 、12a 依次成等比数列，则12
2
a a 的值是__________． 【答案】
94
【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质，化简求出公差与2a 的关系，然后转化求解12
2
a a 的值. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d >，
由于2a 、6a 、12a 依次成等比数列，则2
6212a a a =，即()()2
222410a d a a d +=+，
0d >Q ，解得28a d =，因此，
122221018984
a a d d a a d +===. 故答案为：
9
4
. 【点睛】本题考查等差数列通项公式以及等比中项的应用，考查计算能力，属于基础题.
15.某学习小组有4名男生和3名女生.若从中随机选出2名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为___________．
【答案】
47
【解析】 【分析】
从7人中选出2人则总数有2
7C ，符合条件数有1
1
43C C ⋅，后者除以前者即得结果
【详解】从7人中随机选出2人的总数有2
721C =，则记选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为
事件A ，
∴11432
7124
()217
C C P A C ⋅=== 故答案为：
47
【点睛】组合数与概率的基本运用，熟悉组合数公式
16.三棱柱111ABC A B C -中， AB BC AC ==，侧棱1AA ⊥底面ABC ，且三棱柱的侧面积为若该三
棱柱的顶点都在同一个球O 的表面上，则球O 的表面积的最小值为_____． 【答案】4π 【解析】 【分析】
分析题意可知，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，所以三棱柱的中心即为外接球的球心O ，
设棱柱的底面边长为a ，高为h ，则三棱柱的侧面积为3a h ⋅=R =，
再由重要不等式即可得球O 表面积的最小值 【详解】如下图，
∵三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱 ∴设11A C a =，1BB h =
∴三棱柱的侧面积为3a h ⋅=
∴a h ⋅=
又外接球半径1R ，
2h =
时，等号成立，此时h =a = ∴外接球表面积244S R ππ=≥. 故答案为：4π
【点睛】
考查学生对几何体的正确认识，能通过题意了解到题目传达的意思，培养学生空间想象力，能够利用题目条件，画出图形，寻找外接球的球心以及半径，属于中档题
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且1
.2
acosB b c =+ （1）求角A 的大小；
（2）求22sin B sin C sinBsinC ++的值. 【答案】（1）23A π=；（2）34
. 【解析】 【分析】
（1）正弦定理的边角转换，以及两角和的正弦公式展开，特殊角的余弦值即可求出答案；
（2）构造齐次式，利用正弦定理的边角转换，得到2
2
sin sin sin sin B C B C ++222
2
sin b c bc
A a ++=g ，
结合余弦定理2222cos a b c bc A =+- 得到22
3
sin sin sin sin 4
B C B C ++= 【详解】解：（1）由已知，得
1
sin cos sin sin 2
A B B C =+
又∵()sin sin C A B =+
∴1
sin cos sin sin cos cos sin 2A B B A B A B =
++ ∴1
cos sin sin 02
A B B +=,因为()0,,sin 0B B π∈≠
得1
cos 2
A =-
∵0A π<< ∴23
A π=
. （2）∵22sin sin sin sin B C B C ++
222
2
sin sin sin sin sin sin B C B C
A A
++=g 222
34b c bc
a ++=g
又由余弦定理，得
22222cos
3
a b c bc π
=+- 22b c bc =++
∴22
3sin sin sin sin 4
B C B C ++=
【点睛】1.考查学生对正余弦定理的综合应用；2.能处理基本的边角转换问题；3.能利用特殊的三
角函数值推特殊角，属于中档题
18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PAD ∆为正三角形，平面PAD ⊥平面,,ABCD E F 分别是,AD CD 的中点.
（1）证明:BD ⊥平面PEF
（2）若60BAD ︒∠=，求二面角B PD A --的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）5
. 【解析】 【分析】
（1）连接AC ，由菱形的性质以及中位线，得BD FE ⊥，由平面PAD ⊥平面ABCD ，且PE ⊥交线AD ，得PE ⊥平面ABCD ，故而BD PE ⊥，最后由线面垂直的判定得结论.
（2）以E 为原点建平面直角坐标系，求出平面平PAD 与平面PBD 的法向量()0,1,0m =u r
，(
)
3,1,1n =
--r ，最后求得二面角B PD A --的余弦值为5.
【详解】解：（1）连结AC
∵PA PD = ，且E 是AD 的中点， ∴PE AD ⊥
∵平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD I 平面ABCD AD =， ∴PE ⊥平面ABCD . ∵BD ⊂平面ABCD ， ∴BD PE ⊥
又ABCD 为菱形，且,E F 为棱的中点， ∴//,EF AC BD AC ⊥
∴BD EF ⊥.
又∵,BD PE PE EF E ⊥⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ∴BD ⊥平面PEF . （2）由题意有，
∵四边形ABCD 为菱形，且60,BAD ︒
∠=
∴EB AD ⊥
分别以EA ，EB ，EP 所在直线
x 轴，y 轴，z 轴
建立如图所示的空间直角坐标系xyz E ，设1AD =，则
1,0,0,,2D B P ⎛
⎫⎛⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭
设平面PBD 的法向量为(),,.n x y z =r
由·0·0n DB n DP ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v
，得00
x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
令x =
)
1,1n =--r
取平面APD 的法向量为()0,1,0m =u r
∴cos ,m n ==u r r Q 二面角B PD A
--锐二面角，
∴二面角B PD A --
【点睛】处理线面垂直问题时，需要学生对线面垂直的判定定理特别熟悉，运用几何语言表示出来方才过关，一定要在已知平面中找两条相交直线与平面外的直线垂直，才可以证得线面垂直，其次考查了学生运用空间向量处理空间中的二面角问题，培养了学生的计算能力和空间想象力.
19.某保险公司给年龄在2070-岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示. 据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元.
年龄
（单位：岁） [)20,30
[)30,40
[)40,50
[)50,60 []60,70
保费
（单位：元） x
2x
3x
4x
5x
（1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求x 精确到整数时的最小值0x ；
（2）经调查，年龄在[]60,70之间的老人每50人中有1人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为
12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元.某老人年龄66岁，若购买该项保险(x 取()1中的0x ).
针对此疾病所支付的费用为X 元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为Y 元.试比较X 和Y 的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？ 【答案】（1）30；（2）()()E Y E X >，比较划算. 【解析】 【分析】
（1）由频率和为1求出0.032a =，根据a 的值求出保费的平均值3.35x ，然后解一元一次不等式
3.35100x ≥ 即可求出结果，最后取近似值即可；
（2）分别计算参保与不参保时的期望()E X ，()E Y ，比较大小即可.
【详解】解:（1）由()0. 0070.0160.0250.020101a ⨯++++=， 解得0.032a =.
保险公司每年收取的保费为:
()100000.070.1620.32 3.0.2540.20510000 3.35x x x x x x +⨯+⨯+⨯+⨯=⨯
∴要使公司不亏本，则10000 3.351000000x ⨯≥，即3.35100x ≥ 解得100
29.85,3.35
x ≥
≈ ∴030x =.
（2）①若该老人购买了此项保险，则X 的取值为150, 2150.
()()491
,215050 10
550P P X X ==
==Q ∴491
()1502150147431905050
E X =⨯
+⨯=+=(元). ②若该老人没有购买此项保险，则Y 的取值为0. 12000.
()()4910,120005050
P Y P Y ==
==Q ∴491
()0120002405050
E Y =⨯
+⨯=(元). ()()E Y E X >Q
∴年龄为66的该老人购买此项保险比较划算.
【点睛】本题考查学生利用相关统计图表知识处理实际问题的能力，掌握频率分布直方图的基本性质，知道数学期望是平均数的另一种数学语言，为容易题.
20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()22
22:10,0x y C a b a b
+=>>的短轴长为2，直线l 与椭圆C 相交
于,A B 两点，线段AB 的中点为M .当M 与O 连线的斜率为1
2-时，直线l 的倾斜角为4
π （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若2,AB P =是以AB 为直径的圆上的任意一点，求证：OP ≤
【答案】（1）2
212
x y +=；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由短轴长可知1b =，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由设而不求法作差即可求得21212
21212
y y x x b x x a y y -+=--+g ，
将相应值代入即求得a =
（2）考虑特殊位置，即直线l 与x
轴垂直时候，1OP =≤l 斜率存在时，设出直线l 方程y kx m =+，与椭圆联立，结合中点坐标公式，弦长公式，得到m 与k 的关系，将2||OM 表示出来，结合
基本不等式求最值，证明最后的结果 【详解】解：（1）由已知，得1b =
由22
112
222
2222
11x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得 21212
21212
y y x x b x x a y y -+=--+g
根据已知条件有， 当
1212
2x x y y +=-+时，12121y y
x x -=-
∴221
2
b a =
，即a =∴椭圆C 的标准方程为2
212
x y +=
（2）当直线l
斜率不存在时，1OP =<. 当直线l 斜率存在时，设:l y kx m =+
由22
22
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222
214220k x kmx m +++-= ∴2121222
422,2121km m x x x x k k --+==++，22
16880k m ∆=-+> ∴()
222
2222241,,212121km m k M OM m k k k -+⎛⎫= ⎪++⎝⎭+g
由2
AB==
化简，得
2
2
2
21
22
k
m
k
+
=
+
∴()
22
2
22
2
4121
22
21
k k
OM
k
k
++
=
+
+
g
()()
2
22
41
2122
k
k k
+
=
++
令2
411
k t
+=≥，则
()()
244
3
134
t
OM
t t t
t
==
++++
4
≤=-
当且仅当t=
∴1
OM≤=
∵1
OP OM
≤+
∴OP≤
当且仅当2k=时取等号
综上，OP≤
【点睛】本题为直线与椭圆的综合应用，考查了椭圆方程的求法，点差法处理多未知量问题，能够利用一元二次方程的知识转化处理复杂的计算形式，要求学生计算能力过关，为较难题
21.已知函数2
()ln23
f x x x ax x a
=-+-，a Z
∈.
（1）当1
a=时，判断1
x=是否是函数()
f x的极值点，并说明理由；
（2）当0
x>时，不等式()0
f x≤恒成立，求整数a的最小值.
【答案】（1）1
x=是函数()
f x的极大值点，理由详见解析；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）将1a =直接代入，对()f x 求导得()'ln 44f x x x =-+，由于函数单调性不好判断，故而构造函数，继续求导，判断导函数()f x '在1x =左右两边的正负情况，最后得出，1x =是函数()f x 的极大值点； （2）利用题目已有条件得1a ≥，再证明1a =时，不等式()0f x ≤ 恒成立，即证1
ln 230x x x
-+-≤，从而可知整数a 的最小值为1.
【详解】解:（1）当1a =时，()'ln 44f x x x =-+. 令()()'ln 44F x f x x x ==-+，则()114'4x F x x x
-=-= 当1
4
x >
时，()0F x '<. 即()'f x 在1,4⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
内为减函数，且()'10f = ∴当1,14x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，()'0f x >;当(1,)x ∈+∞时，()'0f x <.
∴()f x 在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
内是增函数，在(1,)+∞内是减函数.
综上，1x =是函数()f x 的极大值点. （2）由题意，得()10f ≤，即1a ≥.
现证明当1a =时，不等式()0f x ≤成立，即2ln 2310x x x x -+-≤. 即证1
ln 230x x x
-+-
≤ 令()1ln 23g x x x x
=-+-
则()()()22222111121'2x x x x g x x x x x
-+--++=-+== ∴当)1(0x ∈，
时，()'0g x >;当(1,)x ∈+∞时，()'0g x <. ∴()g x 在()0,1内单调递增，在(1,)+∞内单调递减，
()g x 的最大值为()10g =.
∴当0x >时，1ln 230x x x
-+-≤. 即当0x >时，不等式()0f x ≤成立.
综上，整数a 的最小值为1.
【点睛】本题考查学生利用导数处理函数的极值，最值，判断函数的单调性，由此来求解函数中的参数的取值范围，对学生要求较高，然后需要学生能构造新函数处理恒成立问题，为难题
请考生在第22 ,23题中任选择一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα
=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）设点()0,1M ，若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求MA MB +的值
【答案】（1）C 的普通方程为()2224x y -+=，l 的直角坐标方程为1x y +=；（2
）【解析】
【分析】
（1）在曲线C 的参数方程中消去参数α可得出曲线C 的普通方程，利用两角和的正弦公式以及cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
可将直线l 的极坐标方程化为普通方程； （2）设直线l
的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），并设点A 、B 所对应的参数分别为1t 、2t ，利用韦达定理可求得12MA MB t t +=+的值.
【详解】（1）由22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩
，得22cos x α-=，2sin y α=， ∴曲线C 的普通方程为()2224x y -+=，
由sin 42
πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，得sin cos 1ρθρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为1x y +=；
（2）设直线l
的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），
代入()2
224x y -+=
，得210t ++=，则184140∆=-=>，
设A 、B 两点对应参数分别为1t 、2t
，120t t ∴+=-<，1210t t =>， 10t ∴<，20t <
，1212MA MB t t t t ∴+=+=+=【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数方程几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.
23.已知函数()2
11f x x a x =---，a R ∈. （1）当4a =时，求函数()f x 的值域；
（2）[]00,2x ∃∈，()001f x a x ≥+，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）[)9,-+∞；（2）3,4⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
. 【解析】
【分析】
（1）将4a =代入函数()y f x =的解析式，将函数()y f x =的及解析式变形为分段函数，利用二次函数的基本性质可求得函数()y f x =的值域；
（2）由参变量分离法得出2111
x a x x -≤-++在区间[]0,2内有解，分[]0,1x ∈和(]1,2x ∈讨论，求得函数2111
x y x x -=-++的最大值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）当4a =时，()22
243,141145,1x x x f x x x x x x ⎧-+≥=---=⎨+-<⎩. 当1x ≥时，()()[)2
211,f x x =--∈-+∞；
当1x <时，()()[)2299,f x x =+-∈-+∞. ∴函数()y f x =的值域为[)9,-+∞；
（2）不等式()1f x a x ≥+等价于2
111x a x a x ---≥+， 即2111
x a x x -≤-++在区间[]0,2内有解 当[]0,1x ∈时，2211112x x a x x --≤=-++，此时，211,022x -⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，则0a ≤； 当(]1,2x ∈时，2211111122x x a x x x x x --⎛⎫≤==- ⎪-++⎝⎭
， 函数112y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭区间(]1,2上单调递增，当(]1,2x ∈时，1130,24x x ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则34
a ≤. 综上，实数a 的取值范围是3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦. 【点睛】本题主要考查含绝对值函数的值域与含绝对值不等式有解的问题，利用绝对值的应用将函数转化为二次函数，结合二次函数的性质是解决本题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。