一中2012届高三数学第一次月考 理 新人教A版

乌鲁木齐市第一中学2011—2012学年高三第一次月考数学试题（理
科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．设集合2
M {|60},{|13}x x x N x x =+-<=≤≤，则M
N =
（ ）
A ．[1,2）
B ．[1,2]
C ．
（
2,3]
D ．[2,3]
2．设集合2
{1,2},{}M N a ==，则“1a =”是“N M ⊆”的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．公差不为零的等差数列}{n a 中，2a ，3a ，6a 成等比数列，则其公比q 为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
4．下列命题中是假命题的是
（ ）
A ．π0,
,2x ⎛⎫
∀∈ ⎪⎝
⎭
x x sin > B ．000,sin cos 2x R x x ∃∈+=
C ．,x ∀∈R 03>x
D ．0,x R ∃∈0lg 0=x
5．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1()n n n b a a n N *
+=-∈，若3102,12b b =-=，则
8a ＝
（ ）
A ．0
B ．3
C ．8
D ．11
6．已知⎩⎨
⎧>≤+-=1
,log 1
,4)13()(x x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是
（ ）
A ．(0,1)
B ．1(0,)3
C ．11[,)73
D ．1[,1)7
7．在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，若2
2
a b -=
，sin C B =，
则A =（ ）
A ．30
B ．60
C ．120
D ．150
8．已知函数2
()sin 22cos 1f x x x =+-，将()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来
2
1
，纵坐标不变，再将所得图象向右平移4
π
个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的解析式为
（ ）
A ．()g x x =
B ．()g x x =
C ．()4g x x =
D ．3())4
g x x π=-
9．已知函数()log x
a f x a x =+(0a >且1)a ≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为
log 26a +，则a 的值为
（ ）
A ．
12
B ．
1
4
C ．2
D ．4
10．由直线,,03
3
x x y π
π
=-
=
=与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为
（ ）
A ．12
B ．1
C ．3
2
D ． 3 11．已知函数)2sin()(φ+=x x f 满足)()(a f x f ≤对R x ∈恒成立，则函数
（ ）
A ．)(a x f -一定为奇函数
B ．)(a x f -一定为偶函数
C ．)(a x f +一定为奇函数
D ．)(a x f +一定为偶函数
12．下列关于函数2
()(2)x
f x x x e =-的判断正确的是
（ ）
①()0{|02}f x x x <<<的解集是 ② )2(-f 是极小值，)2(f 是极大值
③)(x f 有最小值，没有最大值 ④ )(x f 有最大值，没有最小值
A ．①③
B ．①②③
C ．②④
D ．①②④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．角θ终边上一点M （x ，-2）（)0(≠x ，且cos 3
x
θ=
，则sin θ= ．
14．若两个等差数列的前n 项和之比为723
5+-n n ，则这两个数列的第9项之比是 。

15．已知直线1+=x y 与曲线)ln(a x y +=相切，则a 的值为 ． 16．下列说法正确的为 ①函数()y f x =与直线1x =的交点个数为0或l ；
②集合A = {}
2|3100x x x --≤，B ={|121x a x a +≤≤-}，若B ⊆A ，则-3≤a ≤3； ③函数(2)y f x =-与函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称； ④函数)lg(2
a x x y ++=的值域为R 的充要条件是：1(,]4
a ∈-∞；
⑤与函数2)(-=x f y 关于点（1，-1）对称的函数为(2)y f x =--．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数()sin()
(0,0,)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><
的图象与y 轴的交点为
(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和
0(2,2)x π+-．
（1）求()f x 的解析式及0x 的值；
18．（12分）等比数列{a n }的各项均为正数，且2
12326231,9a a a a a +==。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和．
19．（12分）已知向量)
322,cos x x =
+m ，()1,2cos x =n ，设函数()f x =⋅m n ．
（１）求)(x f 的最小正周期与单调递增区间； （２）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角
A 、
B 、
C 的对边，若()=41,f A b =，△ABC 的面积为
2
3
，求a 的值．
20．（ 12分）设函数1()e 1ax
x f x x
-+=
-． （1）写出定义域及)('
x f 的解析式；（2）设0a >，讨论函数()y f x =的单调性； （3）若对任意)1,0(∈x ，恒有1)(>x f 成立，求实数a 的取值范围．
21．（12分）已知数列}{n a ，其前n 项和n S ，满足)0(121>+=+λλn n S S ，且4,131==a a 。

（1）求实数λ的值；（2）求数列}{n a 的通项公式n a ；（3）设数列}{n na 的前n 项和为n T ，
试比较2
n
T 与n S 的大小．
22．（12分） 已知二次函数22
2(),:8(0 2.f x ax bx c l y t t t t =++=-+≤≤直线其中为常数）；
1:2l x =．若直线l 1、l 2与函数()f x 的图象以及l 2，y 轴与函数()f x 的图象所围成的封
闭图形如阴影所示． （1）求a 、b 、c 的值；
（2）求阴影面积S 关于t 的函数S （t ）的解析式； （3）若,ln 6)(m x x g +=问是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题：每小题5分，共60分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13 2
3
-
； 14 2 ； 15 2 ； 16①,③,④,⑤ . 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（1）1
()2sin()2
6
f x x π
=+；
（2
）7
(4)9
f θ= 18．（1）1()3
n
n a =；（2）21
n
n -+ 19．（1）()2sin(2)36
f x x π
=+
+ T π=，单调递增区间为：[,]()36
k k k Z π
π
ππ-
+∈
20.解：（1）()f x 的定义域为22
2(,1)(1,),()e (1)ax
ax a f x x -+-'-∞+∞=
-． （2）①当02a <≤时，()0f x '≥，所以(),1f x ∞∞在(-),(1,+)上为增函数；
② 当2a >
，由2
()020,f x ax a x x '>+->>
<得，
()(,)f x ∴-∞+∞在
上为增函数，在(上是减函数． （3）①当02a <≤时，由（1）知，对任意(0,1)x ∈，恒有()(0)1f x f >= ；
②当2a >时，由（1
）知，()f x 在
上是减函数，在上是增函数，
取0(0,1)x =
，则0()(0)1f x f <=；
③当0a ≤时，对任意(0,1)x ∈，恒有
111>-+x
x
且e 1ax -≥， 得1()e 11ax
x f x x
-+=
>-． 综上，当且仅当(,2]a ∈-∞时，若对任意(0,1)x ∈恒有()1f x >成立．
21．（1）1λ=；（2）1
2n n a -=；
（3）(1)21n
n T n =-⋅+，当3n ≤时，
2n n T S <；当4n ≥时，2
n n T
S > 22．解：（I ）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f(x)的最大值为16
则22
0188080416,4c a a b c b c ac b a
⎧
⎪==-⎧⎪⎪⋅+⋅+==⎨⎨=⎪-⎪⎩=⎪⎩解之得：， ∴函数f （x ）的解析式为x x x f 8)(2
+-=
（Ⅱ）由⎪⎩
⎪⎨⎧+-=+-=x x y t t y 882
2
得,8,,0)8(8212
t x t x t t x x -==∴=---
∵0≤t ≤2，∴直线l 1与f （x ）的图象的交点坐标为（)8,2
t t t +- 由定积分的几何意义知：
2
22220
()[(8)(8)][(8)(8]t t
S t t t x x dx x x t t dx =-+--++-+--+⎰⎰
2
3322220[(8)(4)][(4)(8)]33t
t
x x t t x x x t t x =-+--++-+--+⋅
32440101633
t t t =-+-+
（Ⅲ）令.ln 68)()()(2
m x x x x f x g x ++-=-=ϕ 因为x ＞0，要使函数f （x ）与函数g （x ）有且仅有2个不同的交点，则函数
m x x x x ++-=ln 68)(2ϕ的图象与x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点
)0()
3)(1(2682682)(2'
>--=+-=+-=∴x x
x x x x x x x x ϕ
∴x=1或x=3时，0)('
=x ϕ
当x ∈（0，1）时，)(,0)('
x x ϕϕ>是增函数； 当x ∈（1，3）时，)(,0)('x x ϕϕ<是减函数 当x ∈（3，+∞）时，)(,0)('x x ϕϕ>是增函数
∴;7)1()(-=m x ϕϕ极大值为153ln 6)3()(-+=m x ϕϕ极小值为 又因为当x →0时，-∞→)(x ϕ；当+∞→+∞→)(x x ϕ时，
所以要使0)(=x ϕ有且仅有两个不同的正根，必须且只须⎩⎨⎧>=⎩⎨
⎧<=0
)1(0
)3(0)3(0
)1('
ϕϕϕϕ或 即⎩⎨
⎧>-=-+⎩⎨
⎧<-+=-0
70
153ln 60153ln 607m m m m 或， ∴m=7或.3ln 615-=m ∴当m=7或.3ln 615-=m 时，函数f （x ）与g （x ）的图象有且只有两个不同交点。