甘谷一中高三上学期第一次检测考试数学试题

甘谷一中2013届高三上学期第一次检测考试数学（理)试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的. （1)复数212i i
+-的共轭复数是（ )
（A ）35
i - (B)35
i （C ）i - （D ）i
（2)下列函数中,既是偶函数又在+∞（0，）
单调递增的函数是( ) （A ）3
y x = （B ）
1y x =+ （C ）2
1y x
=-+ (D)
2
x
y -=
（3)执行右面的程序框图,如果输入的N 是6，那么输出的p 是( ）
（A ）120 （B)720 （C ）1440 （D)5040
（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ）
（A)13
（B ）12
（C ）23
(D ）
34
（5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos2θ=( ）
（A ）45
- （B ）35
- (C ）35
(D)45
（6）下列命题中错误的是( ）
A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C ．如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γ
D ．如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直，
L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，
则C 的离心率为( ） (A
（B （C ）2 （D ）3
（8）5
12a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪
⎝
⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数
项为（ ）
（A)-40 (B ）-20 (C)20 （D ）40
（9)由直线x =12
,x =2,曲线1y x
=及x 轴所围图形的面积为（ )
（A)154
(B ）17
4
（C)1ln 22
（D ）
2ln2
（10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
12:10,3P a b πθ⎡⎫
+>⇔∈⎪⎢⎣⎭
22:1,3P a b πθπ⎛⎤
+>⇔∈ ⎥⎝⎦
3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭
4:1,3P a b πθπ⎛⎤
->⇔∈ ⎥⎝⎦
其中的真命题是( )
（A ）1
4
,P P （B)1
3
,P P （C ）2
3
,P P (D ）2
4
,P P
（11)设函数
()sin()cos()(0,)2
f x x x π
ωϕωϕωϕ=+++><
的最小正周期为π，且
()()f x f x -=，则( )
(A)()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
单调递减 （B)()f x 在3,4
4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减
（C ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
单调递增 (D ）()f x 在3,4
4ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增
(12）函数1
1
y x =
-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）
(A ）2 (B) 4 (C) 6 （D)8
注意．． 第．13．．题．~．第．21．．题为必考题，每个．．．．．．．．试题考生都必须做答。

第．．．．．．．．．．．22．．、． 23．．题为选考题，考生根据要求做答．．．．．．．．．．．．．．.．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13）若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩
则2z x y =+的最小值为。

（14)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点1
2
,F F 在x 轴
上，离心率为
2。

过1
F 的直线L 交C 于,A B 两点,且△ABF 2的周长为
16，那么C 的方程为 .
(15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且
6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为。

（16）在△ABC 中，60,3B AC ==,则2AB BC +的最大值为。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）(本小题满分12分）已知等比数列{}n
a 中，11
3a
=
，公比13
q =． （I ）n
S 为{}n
a 的前n 项和,证明：12
n
n
a S
-=
（II ）设31323log log log n
n b
a a a =++
+，
求数列{}n
b 的通项公式
(18）（本小题满分12分)如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD
为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD ，PD ⊥底面ABCD. （Ⅰ）证明：PA ⊥BD ；
（Ⅱ）若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。

（19)(本小题满分12分）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料,公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料,若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元,否则月工资定为2100元，令X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力． （1)求X 的分布列；
(2）求此员工月工资的期望。

（20）．（本题满分为12分)已知椭圆中心在原点，焦点在y 轴上，
焦距为4,离心率为3
2．
（I)求椭圆方程；
（II ）设椭圆在y 轴的正半轴上的焦点为M,又点A 和点B 在椭圆
上，且M 分有向线段AB 所成的比为2，求线段AB 所在直线的方程．
（21）．(本题满分为12分） 已知函数
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≥<+++-=1,
ln 1
,)(23x x a x c bx x x x f 的图像过坐标原点O ,且在点
))1(,1(--f 处的切线的斜率是5-．
（1）求实数c b ,的值； (2)求()x f 在区间[]2,1-上的最大值；
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时请写清题号。

(22）（本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
2cos 22sin x y α
α
=⎧⎨
=+⎩(α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的
轨迹为曲线C 2
（Ⅰ）求C 2的方程
（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3
πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，
求AB 。

（23)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
设函数()3f x x a x =-+，其中0a >。

（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； (Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ,求a 的值.
理科数学试卷参考答案…………………..6分
D-xyz，
可取m=(0，—1,327
m n==-故二面角A-PB—C的余弦值为
cos,
7
27
27…… 12分
c 所以新录用员工月工资的期望为2280元. （12分）
所以)(x f 在[)1,1-上的最大值为2．②当21≤≤x 时，x a x f ln )(=
(12)
分。

（22）解：（ I ）设P （x ，y)，则由条件知M(2
,2Y X ).由于M 点在C 1
上，所以
(23）解:（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥．
由此可得 3x ≥或1x ≤-．故不等式()32f x x ≥+的解集为。