1.1.2弧度制
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MODE MODE °′″
2
°′″ SHIFT DRG 1
67
=
30
1.178097245
因此,67° 因此 °30′≈1.178 rad
换算成角度(用度数表示 例2 将3.14 rad换算成角度 用度数表示 精 换算成角度 用度数表示,精 确到0.001) 确到 解:利用计算器
MODE 3.14 MODE
练习： 已知一半径为R的扇形 的扇形， 练习： 已知一半径为 的扇形，它的周长等 于所在圆的周长， 于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少 弧度？合多少度？扇形的面积是多少？ 弧度？合多少度？扇形的面积是多少？ 解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－ 所以扇形的中心角是2(π－ 所以扇形的中心角是 －1) rad. 合(
l 证明:(1) :(1)由公式 =αR 证明:(1)由公式 α = 得l=α =α r
知圆心角为n 知圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积 2 公式分别是 nπ R nπ R
l=
180
,S =
360
n°转换为弧度
1 2 S = αR 2
nπ α= 180 1 S = lR 2
利用计算器比较sin1.5和sin85°的大小 例4 利用计算器比较 和 ° 解:由计算器
角度制 在平面几何中研究角的度量，当 时是用度做单位来度量角，1°的角 是如何定义的？
1 叫做1度角,记为1 周角的 叫做1度角,记为1° 360
我们把用度做单位来度量角的制 度叫做角度制，在数学和其他许多科 学研究中还要经常用到一种度量角的 弧度制，它是如何定义呢？ 制度—弧度制 弧度制
弧度制定义 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心 角叫做1弧度的角．
课本第10页习题1.1A组 课本第10页习题1.1A组7
A x
A B 的长
πr 2πr r 2r πr 0 πr 2πr
OB旋转的 ∠AOB的弧 ∠AOB的度 方向 度数 数 π 逆时针方向 180° 2π 逆时针方向 360° 1 逆时针方向 -2 顺时针方向 -π -180° 顺时针方向 0 0° π 逆时针方向 180° 2π 逆时针方向 360°
1.1.2 弧度制
角度制 在角度制下，当把两个带着度、 在角度制下，当把两个带着度、 秒各单位的角相加、相减时， 分、秒各单位的角相加、相减时，由 于运算进率非十进制， 于运算进率非十进制，总给我们带来 不少困难． 不少困难．那么我们能否重新选择角 单位，使在该单位制下两角的加、 单位，使在该单位制下两角的加、减 运算与常规的十进制加减法一样去做 呢？
一一对应 正角 零角 负角 任意角的集合
正实 数
0
负实 数
实数集R 实数集R
例3 利用弧度制证明下列关于扇形公式:
(1) l = α R
1 2 ( 2) S = α R 2
1 ( 3) S = lR 2
其中R是半径， 是弧长 其中 是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心 是半径 是弧长， 为圆心 是扇形面积. 角,S是扇形面积 是扇形面积
5 合 − 36 π
小结
（1） 180 = π 弧度；
o
(2）“角化弧”时, 将n乘以 180 “弧化角”时，将α乘以
（3）弧长公式： l =α ⋅ r
180
π
； ；
π
1 1 2 扇形面积公式： S = lr = r α 2 2 （其中l为圆心角α所对的弧长,α为圆心 角的弧度数,r为圆半径.)
作业
π
练习： 在半径为R的圆中，240º的中心角所 练习： 在半径为 的圆中， º 的圆中 4 面积为2R 对的弧长为 π R ，面积为 2的扇 3 弧度。 形的中心角等于 4 弧度。
4 ：（1） 根据l=αR，得 解：（ ）240º= π ，根据 ， 3
4 l = πR 3 1 2 1 （2）根据 ）根据S= lR= αR ，且S=2R2. 2 2
角度制与弧度制的换算
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角, 其弧度数是2π,而在角度制里它是360°. 因此 360°=2π rad
1° =
π
180
180°=π rad
rad ≈ 0.017 45 rad
180 ° 1 rad = ≈ 57.30° = 57°18′ π
按照下列要求,把 ° 化成弧度 化成弧度: 例1 按照下列要求 把67°30′化成弧度 (1)精确值 精确值
所以 α=4.
练习：与角－ 的终边相同， 练习：与角－1825º的终边相同，且绝对值最 的终边相同
5 − π －25º 小的角的度数是＿＿＿， ＿＿＿弧度 ＿＿＿，合 36 弧度。 小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825º=－5×360º－25º， ：－ － × － ， 所以与角－ 的终边相同， 所以与角－1825º的终边相同，且绝对值 的终边相同 最小的角是－ 最小的角是－25º.
弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧） ②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧） 的大小， 的大小，而 1 是圆的
o
1 360
所对的圆心角（或该弧） 所对的圆心角（或该弧）
的大小； 的大小；
不论是以“ 弧度” 还是以“ ③ 不论是以 “ 弧度 ” 还是以 “ 度 ” 为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值． 的大小都是一个与半径大小无关的定值．
360(π − 1)
π
)º
2
扇形面积是 (π − 1)R
练习：扇形 练习：扇形AOB中，AB 所对的圆心角是 中 60º，半径是50米，求 AB 的长l（精确到 ，半径是 米 的长 （ 0.1米）。 米 解：因为60º= 3 ,所以 因为 所以 π l=α·r= 3×50≈52.5 . 的长约为52.5米. 答： AB 的长约为 米
MODE sin MODE sin MODE
2
=
1.5
0.997494986
MODE
1
°′″ =
85
0.996194698
所以
sin1.5>sin85° °
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度， 弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度， 角度制是以“ 为单位度量角的制度； 角度制是以“度”为单位度量角的制度；
135 解： 67 30′ = 2
o o
135 3 67 30′ = rad × = π rad 180 2 8
o
π
按照下列要求,把 ° 化成弧度 化成弧度: 例1 按照下列要求 把67°30′化成弧度 (2)精确到 精确到0.001的近似值 的近似值. 精确到 的近似值 (2)利用计算器 (2)利用计算器
演示课件
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度 数是多少？ 若弧是一个整圆呢？
为什么可以用弧长与其半径的比 值来度量角的大小呢？ 值来度量角的大小呢？即这个比值是 否与所取的圆的半径大小无关呢？ 否与所取的圆的半径大小无关呢？
演示课件
探究
半径为r的圆的圆心与原点重合 角 的始边与 的始边与x 半径为 的圆的圆心与原点重合,角α的始边与 的圆的圆心与原点重合 轴的正半轴重合,交圆于点 终边与圆交于点B. 交圆于点A,终边与圆交于点 轴的正半轴重合 交圆于点 终边与圆交于点 请完成表格. 请完成表格
思考：在弧度制下，与角α 思考：在弧度制下，与角α终边相同的角如何表 终边在坐标轴上的角如何表示？ 示？ 终边在坐标轴上的角如何表示？
β = α + 2kπ (k ∈Z) 终边x轴上： 终边x轴上： kπ(k ∈Z) π 终边y轴上： 终边y轴上： + kπ(k ∈Z)
2
练习： 练习：
(1)已知扇形的圆心角为72 半径等于20cm, 20cm,求 (1)已知扇形的圆心角为720,半径等于20cm,求 已知扇形的圆心角为 扇形的弧长和面积； 扇形的弧长和面积； 8π 80π 2)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm 已知扇形的周长为10cm （2)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇 形的圆心角的弧度数. 形的圆心角的弧度数. 8或1/2
1
=
SHIFT DRG 2
179.909
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度 弧 度
0o 30o 45o 60o 90o 120 o 135o 150o180o 270o 360o
0
π π
6
4
π π 2π 3π 5π 3 π π 2π
3 2
3
4
6
2
角的概念推广以后,在弧度制下, 角的概念推广以后,在弧度制下,角的集 合与实数集R之间建立了一一对应关系 之间建立了一一对应 合与实数集 之间建立了 一一对应 关系
r为半径 l为角 所对弧的长 为半径, 为角 为半径 为角α所对弧的长 α的正负由角 的终边旋转方向决定 的正负由角α的终边旋转方向决定 的正负由角
角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个 角时，除了零角以外，所得到的量数都 是不同的，但它们既然是度量同一个角 的结果，二者就可以相互换算．
角有正负零角之分,它的弧度数也应该 有正负零之分,如π,-2π,0等等. 正角的弧度数是一个正数,负角的弧度 数是一个负数,零角的弧度数是0. 角的正负主要由角的旋转方向来决定.
思考:如果一个半径为r的圆的圆 心角α所对的弧长是l,那么α的弧 度数是多少? l α= α的弧度数的绝对值是 角α的弧度数的绝对值是 r
2
°′″ SHIFT DRG 1
67
=
30
1.178097245
因此,67° 因此 °30′≈1.178 rad
换算成角度(用度数表示 例2 将3.14 rad换算成角度 用度数表示 精 换算成角度 用度数表示,精 确到0.001) 确到 解:利用计算器
MODE 3.14 MODE
练习： 已知一半径为R的扇形 的扇形， 练习： 已知一半径为 的扇形，它的周长等 于所在圆的周长， 于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少 弧度？合多少度？扇形的面积是多少？ 弧度？合多少度？扇形的面积是多少？ 解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－ 所以扇形的中心角是2(π－ 所以扇形的中心角是 －1) rad. 合(
l 证明:(1) :(1)由公式 =αR 证明:(1)由公式 α = 得l=α =α r
知圆心角为n 知圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积 2 公式分别是 nπ R nπ R
l=
180
,S =
360
n°转换为弧度
1 2 S = αR 2
nπ α= 180 1 S = lR 2
利用计算器比较sin1.5和sin85°的大小 例4 利用计算器比较 和 ° 解:由计算器
角度制 在平面几何中研究角的度量，当 时是用度做单位来度量角，1°的角 是如何定义的？
1 叫做1度角,记为1 周角的 叫做1度角,记为1° 360
我们把用度做单位来度量角的制 度叫做角度制，在数学和其他许多科 学研究中还要经常用到一种度量角的 弧度制，它是如何定义呢？ 制度—弧度制 弧度制
弧度制定义 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心 角叫做1弧度的角．
课本第10页习题1.1A组 课本第10页习题1.1A组7
A x
A B 的长
πr 2πr r 2r πr 0 πr 2πr
OB旋转的 ∠AOB的弧 ∠AOB的度 方向 度数 数 π 逆时针方向 180° 2π 逆时针方向 360° 1 逆时针方向 -2 顺时针方向 -π -180° 顺时针方向 0 0° π 逆时针方向 180° 2π 逆时针方向 360°
1.1.2 弧度制
角度制 在角度制下，当把两个带着度、 在角度制下，当把两个带着度、 秒各单位的角相加、相减时， 分、秒各单位的角相加、相减时，由 于运算进率非十进制， 于运算进率非十进制，总给我们带来 不少困难． 不少困难．那么我们能否重新选择角 单位，使在该单位制下两角的加、 单位，使在该单位制下两角的加、减 运算与常规的十进制加减法一样去做 呢？
一一对应 正角 零角 负角 任意角的集合
正实 数
0
负实 数
实数集R 实数集R
例3 利用弧度制证明下列关于扇形公式:
(1) l = α R
1 2 ( 2) S = α R 2
1 ( 3) S = lR 2
其中R是半径， 是弧长 其中 是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心 是半径 是弧长， 为圆心 是扇形面积. 角,S是扇形面积 是扇形面积
5 合 − 36 π
小结
（1） 180 = π 弧度；
o
(2）“角化弧”时, 将n乘以 180 “弧化角”时，将α乘以
（3）弧长公式： l =α ⋅ r
180
π
； ；
π
1 1 2 扇形面积公式： S = lr = r α 2 2 （其中l为圆心角α所对的弧长,α为圆心 角的弧度数,r为圆半径.)
作业
π
练习： 在半径为R的圆中，240º的中心角所 练习： 在半径为 的圆中， º 的圆中 4 面积为2R 对的弧长为 π R ，面积为 2的扇 3 弧度。 形的中心角等于 4 弧度。
4 ：（1） 根据l=αR，得 解：（ ）240º= π ，根据 ， 3
4 l = πR 3 1 2 1 （2）根据 ）根据S= lR= αR ，且S=2R2. 2 2
角度制与弧度制的换算
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角, 其弧度数是2π,而在角度制里它是360°. 因此 360°=2π rad
1° =
π
180
180°=π rad
rad ≈ 0.017 45 rad
180 ° 1 rad = ≈ 57.30° = 57°18′ π
按照下列要求,把 ° 化成弧度 化成弧度: 例1 按照下列要求 把67°30′化成弧度 (1)精确值 精确值
所以 α=4.
练习：与角－ 的终边相同， 练习：与角－1825º的终边相同，且绝对值最 的终边相同
5 − π －25º 小的角的度数是＿＿＿， ＿＿＿弧度 ＿＿＿，合 36 弧度。 小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825º=－5×360º－25º， ：－ － × － ， 所以与角－ 的终边相同， 所以与角－1825º的终边相同，且绝对值 的终边相同 最小的角是－ 最小的角是－25º.
弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧） ②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧） 的大小， 的大小，而 1 是圆的
o
1 360
所对的圆心角（或该弧） 所对的圆心角（或该弧）
的大小； 的大小；
不论是以“ 弧度” 还是以“ ③ 不论是以 “ 弧度 ” 还是以 “ 度 ” 为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值． 的大小都是一个与半径大小无关的定值．
360(π − 1)
π
)º
2
扇形面积是 (π − 1)R
练习：扇形 练习：扇形AOB中，AB 所对的圆心角是 中 60º，半径是50米，求 AB 的长l（精确到 ，半径是 米 的长 （ 0.1米）。 米 解：因为60º= 3 ,所以 因为 所以 π l=α·r= 3×50≈52.5 . 的长约为52.5米. 答： AB 的长约为 米
MODE sin MODE sin MODE
2
=
1.5
0.997494986
MODE
1
°′″ =
85
0.996194698
所以
sin1.5>sin85° °
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度， 弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度， 角度制是以“ 为单位度量角的制度； 角度制是以“度”为单位度量角的制度；
135 解： 67 30′ = 2
o o
135 3 67 30′ = rad × = π rad 180 2 8
o
π
按照下列要求,把 ° 化成弧度 化成弧度: 例1 按照下列要求 把67°30′化成弧度 (2)精确到 精确到0.001的近似值 的近似值. 精确到 的近似值 (2)利用计算器 (2)利用计算器
演示课件
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度 数是多少？ 若弧是一个整圆呢？
为什么可以用弧长与其半径的比 值来度量角的大小呢？ 值来度量角的大小呢？即这个比值是 否与所取的圆的半径大小无关呢？ 否与所取的圆的半径大小无关呢？
演示课件
探究
半径为r的圆的圆心与原点重合 角 的始边与 的始边与x 半径为 的圆的圆心与原点重合,角α的始边与 的圆的圆心与原点重合 轴的正半轴重合,交圆于点 终边与圆交于点B. 交圆于点A,终边与圆交于点 轴的正半轴重合 交圆于点 终边与圆交于点 请完成表格. 请完成表格
思考：在弧度制下，与角α 思考：在弧度制下，与角α终边相同的角如何表 终边在坐标轴上的角如何表示？ 示？ 终边在坐标轴上的角如何表示？
β = α + 2kπ (k ∈Z) 终边x轴上： 终边x轴上： kπ(k ∈Z) π 终边y轴上： 终边y轴上： + kπ(k ∈Z)
2
练习： 练习：
(1)已知扇形的圆心角为72 半径等于20cm, 20cm,求 (1)已知扇形的圆心角为720,半径等于20cm,求 已知扇形的圆心角为 扇形的弧长和面积； 扇形的弧长和面积； 8π 80π 2)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm 已知扇形的周长为10cm （2)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇 形的圆心角的弧度数. 形的圆心角的弧度数. 8或1/2
1
=
SHIFT DRG 2
179.909
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度 弧 度
0o 30o 45o 60o 90o 120 o 135o 150o180o 270o 360o
0
π π
6
4
π π 2π 3π 5π 3 π π 2π
3 2
3
4
6
2
角的概念推广以后,在弧度制下, 角的概念推广以后,在弧度制下,角的集 合与实数集R之间建立了一一对应关系 之间建立了一一对应 合与实数集 之间建立了 一一对应 关系
r为半径 l为角 所对弧的长 为半径, 为角 为半径 为角α所对弧的长 α的正负由角 的终边旋转方向决定 的正负由角α的终边旋转方向决定 的正负由角
角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个 角时，除了零角以外，所得到的量数都 是不同的，但它们既然是度量同一个角 的结果，二者就可以相互换算．
角有正负零角之分,它的弧度数也应该 有正负零之分,如π,-2π,0等等. 正角的弧度数是一个正数,负角的弧度 数是一个负数,零角的弧度数是0. 角的正负主要由角的旋转方向来决定.
思考:如果一个半径为r的圆的圆 心角α所对的弧长是l,那么α的弧 度数是多少? l α= α的弧度数的绝对值是 角α的弧度数的绝对值是 r