吉林省长春市吉林大学附属中学2019-2020学年高二数学文模拟试卷含解析

吉林省长春市吉林大学附属中学2019-2020学年高二数
学文模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图是一个几何体的三视图（侧试图中的弧线是半圆），则该几何体的体积是
( )
A．8+2πB．8+πC．8+πD．8+π
参考答案：
B
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体上半部分是正方体，下半部分是圆柱的一半，结合图中数据求出它的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图得，
该几何体的上半部分是棱长为2的正方体，
下半部分是半径为1，高为2的圆柱的一半，
∴该几何体的体积为
V=23+×π×12×2=8+π．
故选：B．
【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题．
2. 某班有50名学生，一次考试的成绩ξ（ξ∈N）服从正态分布N．已知P（90≤ξ≤100）=0.3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为（）
A．10 B．20 C．30 D．40
参考答案：
A
【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】根据考试的成绩ξ服从正态分布N．得到考试的成绩ξ关于ξ=100对称，根据P （90≤ξ≤100）=0.3，得到P=0.3，从而得到P=0.2，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．
【解答】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N．
∴考试的成绩ξ关于ξ=100对称，
∵P（90≤ξ≤100）=0.3，
∴P=0.3，
∴P=0.2，
∴该班数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10
故选A．
3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．64 B．72 C．80 D．112
参考答案：
B
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题．
【分析】由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3．分别求体积，再相加即可
【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=64，上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积×，
故该几何体的体积是64+8=72．
故选B．
【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题．
4. 在等差数列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于（）
A.40
B.42
C.43
D.45
参考答案：
B
5. 在△ABC中，AB=，AC=2，若O是△ABC内部一点，且满足
，则等于（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
略
6. 命题：“若，则”的逆否命题是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
参考答案：
D
略
7. 已知正四棱锥P—ABCD的四条侧棱，底面四条边及两条对角线共10条线段，现有一只蚂蚁沿着这10条线段从一个顶点爬行到另一个顶点，规定： (1)从一个顶点爬行到另一个顶点视为一次爬行；(2)从任一顶点向另4个顶点爬行是等可能的. 则蚂蚁从顶点P开始爬行4次后恰好回到顶点P的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
8. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．
正视图侧视图俯视图
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
9. 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）
A．B．C．3 D．2
参考答案：
A
【考点】椭圆的简单性质；余弦定理；双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．
【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2
∵∠F1PF2=，
∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①
在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，
即，②
在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，
即，③
联立②③得， =4，
由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，
即（）=
即，d当且仅当时取等号，
法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2
∵∠F1PF2=，
∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos=（r1）2+（r2）2﹣r1r2，由，得，
∴=，
令m===，
当时，m，
∴，
即的最大值为，
法3：设PF1|=m，|PF2|=n，则，
则a1+a2=m，
则=，
由正弦定理得=，
即=sin≤=
故选：A
10. 椭圆的焦点坐标为（）
A. B. C.
D.
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为。

参考答案：
略
12. 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP=α，则矩形ABCD的面积最大是．
参考答案：
【考点】扇形面积公式．
【专题】应用题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．
【分析】如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值．
【解答】解：如图，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，
在Rt△OAD中，=tan60°=，
所以OA=DA=BC=sinα．
所以AB=OB﹣OA=cosα﹣sinα．
设矩形ABCD的面积为S，
则S=AB?BC=（cosα﹣sinα）sinα=sinαcosα﹣sin2α
=sin2α+cos2α﹣=（sin2α+cos2α）﹣
=sin（2α+）﹣．
由于0＜α＜，所以当2α+=，即α=时，S最大=﹣=．
因此，当α=时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简，属于中档题．
13. 已知函数，函数(a>0)，若存在，使得成立，则实数的取值范围
是。

参考答案：
14. 设,则二项式展开式中的项的系数为
参考答案：
-160
15. 若（2x2﹣3）n展开式中第3项的二项式系数为15，则n= ．
参考答案：
6
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】由题意可得： =15，解出n即可得出．
【解答】解：由题意可得： =15，化为：n2﹣n﹣30=0，解得n=6．
故答案为：6．
16. 已知点P（x,y）是曲线上一动点，则的范围为．
参考答案：
17. 把数列{2n+1}依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），…在第100个括号内的最后一个数字为．
参考答案：
501
【考点】归纳推理．
【分析】由a n=2n+1可得数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（3），（5，
7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故第100个括号内各数是第25组中第4个括号内各数．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数，所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列，公差均为20，可得结论．
【解答】解：由已知可知：原数列按1、2、3、4项循环分组，每组中有4个括号，每组中共有10项，
因此第100个括号应在第25组第4个括号，
该括号内四项分别为a247、a248、a249、a250，
因此第100个括号内的最后一个数字a250=501，
故答案为501．
【点评】本题综合考查了等差数列，考查归纳推理的应用，本题关键是确定第100个括号里有几个数，第1个最后一个是几，这就需要找到规律．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣1|．
（1）在答题卷该题图中画出y=f（x）的图象；
（2）求不等式f（x）+1＞0的解集．
参考答案：
【考点】分段函数的应用．
【分析】（1）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；
（2）求出f（x）=﹣1时x的值，即可求f（x）＞﹣1．
【解答】解：（1）…
如图所示：
…
（2）f（x）＞﹣1
由﹣x+2=﹣1，得x=3，
由3x=﹣1，得，…
∵f（x）＞﹣1，∴…
所以，不等式的解集为…
19. （本题10分）设复数，且，求实数的值．
参考答案：
；
略
20. 如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知AB为直径，且km,O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB．现在准备从A经过C 到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧，C到D是线段CD.设，观光路线总长为y km.
（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）求观光路线总长的最大值.
参考答案：
（1），（2）
试题分析：（1）观光路线总长为+，根据弧长公式有，根据等腰三角形OCD有，所以，根据角实际意义可知：
（2）利用导数求函数最值：先求导数，得定义区间上零点：。

列表
(0，) (，)
分析可知函数在处取得极大值，这个极大值就是最大值，即. 试题解析：(1)由题意知，，2分
，5分
因为为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且，
所以
所以，7分
(2)记,则，9分
令，得，11分
列表
(0，) (，)
所以函数在处取得极大值，这个极大值就是最大值，13分
即，
答：观光路线总长的最大值为千米．14分
考点：函数解析式，利用导数求最值
21. 据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数如下表：
（Ⅰ）为进行某项研究，从所用时间为12天的60辆汽车中随机抽取6辆.
（ⅰ）若用分层抽样的方法抽取，求从通过公路1和公路2的汽车中各抽取几辆？（ⅱ）若从（ⅰ）的条件下抽取的6辆汽车中，再任意抽取两辆汽车，求这两辆汽车至少有一辆通过公路1的概率？
（Ⅱ）假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发.为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径？
参考答案：
（Ⅰ）（i）公路1抽取辆汽车，公路2抽取辆汽车．（2分）
（ii）通过公路1的两辆汽车分别用表示，通过公路2的4辆汽车分别用
表示，任意抽取两辆汽车共有15种可能的结果：
（4分）其中至少有1辆通过公路1的有9种，（5分）
所以至少有1辆通过公路1的概率为．（6分）（Ⅱ）频率分布表，如下：
设分别表示汽车A在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；分别表示汽车B前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙．
∴汽车A应选择公路
1．（10分）
∴汽车B应选择公路
2．（12分）
22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，线C的极坐标方程是
.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）己知直线l与曲线C交于A、B两点，且，求实数a的值.
参考答案：
（1）l的普通方程；C的直角坐标方程是；（2）
【分析】
（1）把直线l的标准参数方程中的t消掉即可得到直线的普通方程，由曲线C的极坐标
方程为ρ＝2sin（θ），展开得（ρsinθ+ρcosθ），利用
即可得出曲线的直角坐标方程；
（2）先求得圆心到直线的距离为，再用垂径定理即可求解．
【详解】（1）由直线的参数方程为，所以普通方程为
由曲线的极坐标方程是，
所以，
所以曲线的直角坐标方程是
（2）设的中点为，圆心到直线的距离为，则，
圆，则，，
,
由点到直线距离公式，
解得，所以实数的值为.
【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程，考查了点到直线的距离公式，圆中垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。