山东省烟台市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析

山东省烟台市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．随机变量ξ服从二项分布(),B n p ξ~，且300,200E D ξξ==，则p 等于（ ）
A ．23
B ．13
C ．1
D ．0
【答案】B
【解析】
因为(),B n p ξ~,所以()()()3001200E np D np p ξξ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩,解得90013n p =⎧⎪⎨=⎪⎩
.即p 等于13.故选B. 2．如图所示，给出了样本容量均为7的A 、B 两组样本数据的散点图，已知A 组样本数据的相关系数为r 1，B 组数据的相关系数为r 2，则（ ）
A ．r 1＝r 2
B ．r 1<r 2
C ．r 1>r 2
D ．无法判定
【答案】C
【解析】
【分析】 利用“散点图越接近某一条直线线性相关性越强，相关系数的绝对值越大”判断即可.
【详解】
根据,A B 两组样本数据的散点图知，
A 组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，
∴相关系数为1r 应最接近1，B 组数据分散在一条直线附近，也成正相关，
∴相关系数为2r ，满足21r r <，即12r r >，故选C ．
【点睛】
本题主要考查散点图与线性相关的的关系，属于中档题.判断线性相关的主要方法：（1）散点图（越接近直线，相关性越强）；（2）相关系数（绝对值越大，相关性越强）.
3．已知m ＞0，n ＞0，向量(,1),(1,1),a m b n a b ==-⊥r r r r 且 则12m n
+ 的最小值是（ ） A ．22B ．2 C ．322+ D ．422+
【答案】C
分析：利用向量的数量积为0，求出m ，n 的方程，然后利用基本不等式求解表达式的最小值即可.
详解：m ＞0，n ＞0，向量()(),1,1,1,a m b n a b ==-⊥r r r r 且，
可得1m n +=，
则()12122333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭
当且仅当1,m n n +==时，表达式取得最小值3+. 故选：C.
点睛：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
4．若()()55234512345122x a x a x a x a x a x a x +++=++++，则135a a a a +++=（ ）
A ．0
B ．1-
C ．243
D ．2
【答案】C
【解析】
分析：由题意根据二项式展开式的通项公式可得510,1a a +==-，再分别求得2135,,,a a a a 的值，从而可得结果.
详解：由常数项为零，根据二项式展开式的通项公式可得 510,1a a +=∴=-，
且111552220,a C C =+=
333335522160a C C =+=，
55255552264a C C =+=，
13512016064243a a a a ∴+++=-+++=，故选C.
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公
式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系
数和；（3）二项展开式定理的应用.
5．已知函数2()4,[,5]f x x x x m =-+∈的值域是[5,4]-，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(,1)-∞-
B ．(1,2]-
C ．[1,2]-
D ．[2,5]
【解析】
【分析】
函数()f x 在2x =时取得最大值4,在5x =或1-时得()5f x =-,结合二次函数()f x 图象性质可得m 的取值范围.
【详解】
二次函数()2
4f x x x =-+的图象是开口向下的抛物线. 最大值为4，且在2x =时取得，而当5x =或1-时，()5f x =-.
结合函数()f x 图象可知m 的取值范围是[]1,2-．
故选:C ．
【点睛】
本题考查二次函数的图像和性质,考查数形结合思想的应用,属于中档题.
6．若全集{}2|280U x x x =--<，集合{}|1327x A x =<<，则U C A =（ ）
A ．()0,3
B ．(2,0)(3,4)-U
C ．(2,0][3,4)-U
D ．(2,1][2,4)-U 【答案】C
【解析】
【分析】
分别化简求解集合U,A ，再求补集即可
【详解】
因为{|24}U x x =-<<，{|03}A x x =<<，所以][()
2,03,4U C A =-⋃.
故选：C
【点睛】
本题考查集合的运算，考查运算求解能力.
7．已知点P 的极坐标是π2,
6⎛⎫ ⎪⎝⎭，则过点P 且平行极轴的直线方程是( ) A ．ρ1=
B ．ρsin θ=
C ．1ρsin θ=-
D ．1ρsin θ
= 【答案】D
【解析】 分析：把点P 的极坐标化为直角坐标，求出过点P 且平行极轴的直线直角坐标方程，再把它化为极坐标方程．
详解：把点P 的极坐标π2,6⎛
⎫ ⎪⎝⎭化为直角坐标为）， 故过点P 且平行极轴的直线方程是1y = ，
化为极坐标方程为1sin ρθ=，
故选D ．
点睛：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，把直角坐标方程化为即坐标方程的方法，属于基础题． 8．若集合()(){}120A x x x =+-<，{}ln 0B x x =>，则A B =I （ ）
A ．{}12x x <<
B ．{}11x x -<<
C ．{}12x x -<<
D ．{}21x x -<< 【答案】A
【解析】
【分析】
分别化简集合A 和B ，然后直接求解A B I 即可
【详解】
∵()(){}{}12012A x x x x x =+-<=-<<，{}{}ln 01B x x x x =>=>，∴{}12A B x x ⋂=<<.
【点睛】
本题考查集合的运算，属于基础题
9．已知点M 的极坐标为π(5,)3，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是( )
A ．π(5,-)3
B ．4π(5,)3
C ．2π(5,)3-
D ．5π(5,)3- 【答案】D
【解析】
【分析】 由于3π 和53π-是终边相同的角，故点M 的极坐标53π⎛⎫ ⎪⎝⎭，也可表示为553π⎛⎫- ⎪⎝⎭
，． 【详解】
点M 的极坐标为53π⎛⎫
⎪⎝⎭，，由于3
π 和53π-是终边相同的角， 故点M 的坐标也可表示为553π
⎛⎫- ⎪⎝
⎭，
， 故选D ．
【点睛】 本题考查点的极坐标、终边相同的角的表示方法，属于基础题．
10．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ
，若()20.66P ξ≤=，则()0P ξ≤=（ ） A ．0.84
B ．0.68
C ．0.34
D ．0.16
【答案】C
【解析】
分析：先根据正态分布得(12)0.16,P ξ≤≤=再求(01)0.16,P ξ≤≤=最后求得 () 0P ξ≤=0.34.
详解：由正态分布曲线得(12)0.660.50.16,P ξ≤≤=-=
所以(01)0.16,P ξ≤≤=所以()0P ξ≤=0.5-0.16=0.34.
故答案为：C.
点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想和方法.（2）解答本题的关键是数形结合，要结合正态分布曲线的图像和性质解答，不要死记硬背.
11．已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,
1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩„若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A ．[]0,1
B ．[]0,2
C ．[]0,e
D ．[]1,e 【答案】C
【解析】
【分析】
先判断0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，转化为ln x a x
≤在(1,)+∞上恒成立． 【详解】
∵(0)0f ≥，即0a ≥，
（1）当01a ≤≤时，2222
()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->，
当1a >时，(1)10f =>，
故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；
若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln x a x ≤
在(1,)+∞上恒成立， 令()ln x g x x
=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=， 当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，
故max ()()g x g e e ==，所以a e ≤．当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；
综上可知，a 的取值范围是[0,]e ，
故选C ．
【点睛】
本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．
12．已知a v ，b v 是两个向量，则“0a b ⋅=v v ”是“0a =v
”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】
分析：先化简已知条件，再利用充分条件必要条件的定义判断. 详解：由题得0a b ⋅=v v ，所以cos ,0a b a b =v v v v ，所以||0a =r 或||0b =r 或a b ⊥r r ，
所以0a =r r 或0b =r r 或a b ⊥r r .
因为0a =r r 或0b =r r 或a b ⊥r r 是0a =v 的必要非充分条件,
所以“0a b ⋅=v v ”是“0a =v
”的必要非充分条件.
故答案是：B.
点睛：（1）本题主要考查充分条件和必要条件，考查向量的数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法，本题利用的是集合法.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．关于曲线C ：11221x y +=，给出下列五个命题：
①曲线C 关于直线y =x 对称； ②曲线C 关于点1144⎛⎫ ⎪⎝⎭
，对称；
③曲线C 上的点到原点距离的最小值为24； ④当01x x ≠≠且时，曲线C 上所有点处的切线斜率为负数；
⑤曲线C 与两坐标轴所围成图形的面积是16
. 上述命题中，为真命题的是_____.（将所有真命题的编号填在横线上）
【答案】①③④⑤
【解析】
【分析】
对每一个命题逐一分析判断得解.
【详解】
对于①：曲线方程为1,(01,01)x y x y +=剟
剟，交换x ，y 的位置后曲线方程不变，所以 曲线C 关于直线y x =对称，故该命题是真命题；
对于②：在第一象限内，因为点1(4，1)4
在曲线上，由图象可知曲线在直线1y x =-+的下方， 且为凹函数如图，所以曲线C 不关于点11
44
（，）对称，故该命题是假命题；
对于③：||OP 221
12+=44（）（） 对于④：因为函数为凹函数，所以当0x ≠，1时，曲线C 上所有点处的切线斜率为负值，
所以该命题是真命题；
对于⑤：曲线C 与两坐标轴所围成图形的面积设为S ，则
112001(1)(21)6
S x dx x x dx =-=-=⎰⎰，故该命题正确. 故答案为：①③④⑤
【点睛】
本题主要考查函数图像的对称问题，考查定积分的计算，考查函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为________.
【答案】32
π 【解析】
【分析】
几何体是一个圆柱，圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1，圆柱的全面积包括三部分，上下底面圆的面积和侧面展开矩形的面积.
【详解】
由三视图知几何体是一个圆柱，
圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1， 故圆柱的全面积是：2
113221222πππ⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查三视图和圆柱的表面积，关键在于由三视图还原几何体.
15．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程ˆ35y
x =-，若变量x 增加一个单位时，则y 平均增加5个单位； ③线性回归方程^^^y b x a =+所在直线必过()
,x y ；
④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；
⑤在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，则其两个变量之间有关系的可能性是0090. 其中错误的是________．
【答案】②④⑤
【解析】
分析：根据方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义确定命题真假.
详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确； 回归方程ˆ35y
x =-中若变量x 增加一个单位时，则y 平均减少5个单位； 曲线上的点与该点的坐标之间不一定具有相关关系；
在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，只能确定两个变量之间有相关关系的可能性，所以②④⑤均错误．
点睛：本题考查方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义，考查对基本概念理解与简单应用能力. 16．已知111()123f n n
=++++L .经计算(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，则根据以上式子得到第n 个式子为______.
【答案】()()1*32
2n n f n N ++>∈ 【解析】
【分析】
我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案.
【详解】
观察已知中等式：()()2134222
f f +=>=， ()()35238222
f f +=>
=， ()()43316232
f f +=>=， ()()574332222
f f +=>=，…， 则()()1*322
n n f n N ++>∈， 故答案为：()()1*322n n f n N ++>∈. 【点睛】
归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．设函数()ln(1)f x x =+，()'()g x xf x =，0x ≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.
（1）令1()()g x g x =，1()(())n n g x g g x +=，*n N ∈，求()n g x 的表达式；
（2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）()1n x g x nx
=
+；（2）(],1-∞. 【解析】 分析：（1）求出g x （）的解析式，依次计算即可得出猜想；
（2）已知()()f x ag x ≥恒成立，即(1
)1ax ln x x
≥+＋ 恒成立． 设()()φx ln 1x 1ax x
+＝＋－ (x≥0)， 则φ′(x)＝11x +=－21a x +＝211x a x +-+，
对a 进行讨论，求出h x （）
的最小值，令0min h x ≥（） 恒成立即可； 详解：
由题设得，g(x)＝
1x x
+ (x≥0)． (1)由已知，g 1(x)＝1x x
+， g 2(x)＝g(g 1(x))＝111x
x x x
+++＝12x x +， g 3(x)＝13x x +，…，可得g n (x)＝1x nx +. 下面用数学归纳法证明．
①当n ＝1时，g 1(x)＝
1x x
+，结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x)＝1x kx +. 那么，当n ＝k ＋1时，
g k ＋1(x)＝g(g k (x))＝1k k g x g x +＝11111x x kx x k x kx
+=++++， 即结论成立．
由①②可知， 结论对n∈N ＋成立．
所以g n (x)＝1x nx
+. (2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥
1ax x +恒成立． 设φ(x)＝ln(1＋x)－1ax x
+ (x≥0)， 则φ′(x)＝11x +=－21a x +＝211x a x
+-+， 当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，
∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，
∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，
∴a≤1时，ln(1＋x)≥1ax x
+恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a>1时，对x∈(0，a －1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a－1)<φ(0)＝0，
即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥
1ax x +不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．
点睛：本题考查了函数的单调性判断与最值计算，数学归纳法证明，分类讨论思想，属于中档题．
18．设i 为虚数单位，n 为正整数，[)0,2θ∈π （1）证明：()cos 2sin cos sin n
n i n θθθθ+=+；
（2）z i =，利用（1）的结论计算10z ． 【答案】 (1)证明见解析.
(2) ()
5121. 【解析】
分析：（1）利用数学归纳法先证明，先证明当1n =时成立，假设当()*n k k N =∈时，命题成立，只需证明当1n k =+时，命题也成立，证明过程注意三角函数和差公式的应用；（2）由（1）结论得
10
1011112cos sin 6
6
z i i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
1011112cos sin 66i π
π⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
结合诱导公式与特殊角的三角函数可得结果.
详解：（1）1°当1n =时，
左边cos sin i θθ=+，右边cos sin i θθ=+， 所以命题成立
2°假设当()*n k k N =∈时，命题成立， 即()cos sin cos sin k
i k i k θθθθ+=+， 则当1n k =+时，()
()()1
cos sin cos sin cos sin k k
i i i θθθθθθ++=++
()()cos sin cos sin k i k i θθθθ=++
()cos cos sin sin k k θθθθ=- ()sin cos cos sin i k k θθθθ++
()()cos 1sin 1k i k θθ⎡⎤⎡⎤=+++⎣⎦⎣⎦
所以，当1n k =+时，命题也成立
综上所述，()cos sin cos sin n
i n i n θθθθ+=+（n 为正整数）成立
（2）1222z i i ⎛⎫==⨯- ⎪ ⎪
⎝⎭
11112cos sin 66
i π
π
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
由（1）结论得10
1011112cos sin 66
z i i π
π
⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+
⎪ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎣⎦
1011112cos sin 66i π
π⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
()
101251212⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
点睛：本题主要考查复数的运算、诱导公式、特殊角的三角函数、归纳推理的应用以及数学归纳法证明，
属于中档题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证0n n =时结论成立；（2）假设n k =时结论正确，证明1n k =+时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.
19．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3470x y -+=相切，且被y
轴截得的弦长为C 的面积小于13. （1）求圆C 的标准方程：
（2）设过点(0,3)M 的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程：如果不存在，请说明理由.
【答案】 (1) 2
2
(1)4x y -+=. (2) 不存在这样的直线l . 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（I ）用待定系数法即可求得圆C 的标准方程；（Ⅱ）首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时，设直线l ：y=kx+3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).l 与圆C 相交于不同的两点，那么Δ>0.由题设及韦达定理可得k 与x 1、x 2之间关系式，进而求出k 的值.若k 的值满足Δ>0，则存在；若k 的值不满足Δ>0，则不存在. 试题解析：（I ）设圆C ：(x-a)2+y 2=R 2(a>0)，由题意知
R R ==，
，
解得a=1或a=
13
8
， 又∵S=πR 2<13， ∴a=1，
∴圆C 的标准方程为：(x-1)2+y 2=1．
（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l 为：x=0不满足题意． 当斜率存在时，设直线l ：y=kx+3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 又∵l 与圆C 相交于不同的两点， 联立2
2
3{
(1)4y kx x y =+-+=，
，
消去y 得：(1+k 2)x 2+(6k-2)x+6=0，
∴Δ=(6k -2)2-21(1+k 2)=3k 2-6k-5>0，
解得13k <-
或13
k >+．
x 1+x 2=2621k k --+，y 1+ y 2=k(x 1+x 2)+6=2
26
1k k
++， 121211
()()22
OD OA OB x x y y =+=++u u u r u u u r u u u r ，，(13)MC =-u u u u r ，，
假设OD uuu r ∥MC u u u
u r ，则12123()x x y y -+=+，
∴2
2
6226
311k k k k -+⨯
=++， 解得32626
(1)(1)4k =
∉-∞-⋃++∞，，，假设不成立． ∴不存在这样的直线l ． 考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系.
20．如图，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，//,22DE AP AP AD DE ===.
(Ⅰ)证明：平面//DCE 平面ABP ； (Ⅱ)求直线CP 与平面DCE 所成角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）直线CP 与平面DCE 6
. 【解析】
分析：(1)先根据线面平行判定定理得//DC 平面ABP ，//DE 平面ABP .，再根据面面平行判定定理得结论，(2)先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面DCE 的一个法向量，利用向量数量积求得向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系得结果. 详解： (Ⅰ)因为//DC AB ，AB ⊂平面ABP ，DC ⊄平面ABP ， 所以//DC 平面ABP . 同理可得，//DE 平面ABP . 又DC DE D ⋂=,
所以平面//DCE 平面ABP .
（Ⅱ）（向量法）以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
由已知得，点(020)D ，
，，()2,2,0C ,()0,2,1E ,()0,0,2P . 所以()2,2,2CP u u u v =--，()0,2,0AD =u u u v
.
易证AD ⊥平面DCE ，
则平面DCE 的一个法向量为
()0,2,0AD =u u u v . 设直线CP 与平面DCE 所成角为θ，则()()0,2,0?2,2,2·3
sin cos ,223AD CP AD CP AD CP θ--====⨯u u u v u u u v
u u u v u u u v u u u v u u u v 。

则2
236
cos 1sin 13θθ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
. 即直线CP 与平面DCE 6
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
21．设:p 关于x 的不等式1(01)x a a a >>≠且的解集为{|0},:x x q <函数()
2
lg y ax x a =-+的定义域
为R .若“p q 且”为假命题,“p q 或”为真命题,求实数a 的取值范围． 【答案】1
02
a <≤或1a ≥. 【解析】
试题分析：先分别求出命题p 和命题q 为真命题时a 的取值范围,然后根据“p q 且”为假命题,“p q 或”为真命题,得出p q 、一真一假,再求出a 的取值范围.
试题解析：由不等式1(01)x
a a a >>≠且的解集为{|0}x x <,得:01p a <<;
由函数(
)
2
lg y ax x a =-+的定义域为R ,
当0a =时,不合题意,
∴2
0140a a >⎧⎨=-<⎩
n ,解得1
2a >. ∵“p q 且”为假命题,“p q 或”为真命题, ∴p q 、一真一假,
∴0112a a <<⎧⎪
⎨≤⎪⎩
或1
12a a ≥⎧⎪⎨>⎪⎩
∴1
02
a <≤
或1a ≥. 点睛：由含逻辑连结词的命题的真假求参数的取值范围的方法： （1）求出当命题,p q 为真命题时所含参数的取值范围； （2）判断命题,p q 的真假性；
（3）根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．
22．为回馈顾客，新华都购物商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球（球的大小、形状一模一样），球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为40元，其余3个所标的面值均为20元，求顾客所获的奖励额ξ的分布列及数学期望；
（2）商场对奖励总额的预算是30000元，并规定袋中的4个球由标有面值为20元和40元的两种球共同组成，或标有面值为15元和45元的两种球共同组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡．请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由． 提示：袋中的4个球由标有面值为a 元和b 元的两种球共同组成，即袋中的4个球所标的面值“既有a 元又有b 元”．
【答案】（1）分布列见解析；期望为50；（2）应该选择面值设计方案“20,20,40,40”，即标有面值20元和面值40元的球各两个 【解析】 【分析】
（1）设顾客获得的奖励额为ξ，随机变量ξ的可能取值为40,60,分别求出对应概率，列出分布列并求出期望即可；（2）分析可知期望为60元，讨论两种方案：若选择“20,20,20,40”的面值设计，只有“20,20,40,40”的面值组合符合期望为60元，求出方差；当球标有的面值为15元和45元时，面值设
计是“15,15,45,45”符合期望为60元，求出方差，比较两种情况的方差，即可得出结论. 【详解】
解：（1）设顾客获得的奖励额为ξ，随机变量ξ的可能取值为40,60.
23241(40)2C P C ξ=== ，11
13241
(60)2
C C P C ξ===，
所以X 的分布列如下：
所以顾客所获的奖励额的期望为11
()406050.22
E ξ=⨯
+⨯= （2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为3000050060÷=元. 所以可先寻找使期望为60元的可能方案： 当球标有的面值为20元和40元时，
若选择“20,20,20,40”的面值设计，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60； 若选择“40,40,40,20”的面值设计，因为60元是面值之和的最小值，所以期望不可能为60. 因此可能的面值设计是选择“20,20,40,40”，
设此方案中顾客所获得奖励额为1X ，则1X 的可能取值为40,60,80.
221241(40)6C P X C ===，11221242(60)3C C P X C ===，2
21241
(80)6
C P X C ===.
1X 的分布列如下：
所以1X 的期望为1121
()40608060.636E X =⨯
+⨯+⨯= 1X 的方差为2221121400
()(4060)(6060)(8060).6
3
6
3
D X =-⨯+-⨯+-⨯=
当球标有的面值为15元和45元时，同理可排除“15,15,15,45”、“ 45,45,45,15”的面值设计， 所以可能的面值设计是选择“15,15,45,45”，
设此方案中顾客所获的奖励额为2X ，则2X 的可能取值为30,60,90.
222241(30)6C P X C ===，11222242(60)3C C P X C ===，222241
(90)6
C P X C ===.
2X 的分布列如下：
所以2X 的期望为2121
()3060+9060.636E X =⨯
+⨯⨯= 2X 的方差为2222121()(3060)(6060)+(9060)300.6
3
6
D X =-⨯+-⨯-⨯=
因为1212()()()()E X E X D X D X =<， 即两种方案奖励额的期望都符合要求，
但面值设计方案“20,20,40,40”的奖励额的方差要比面值设计方案“15,15,45,45”的方差小， 所以应该选择面值设计方案“20,20,40,40”，即标有面值20元和面值40元的球各两个. 【点睛】
本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了期望与方差的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题.。