2.5直梁弯曲

M(+)
max
σ M为正:上压（负） (c)
σ+ max
下拉（正）
M(-)
M(-)
σ+ max
ym-ax
(b)
M为负:上拉（正） y+
max
下压（负）
(c)
σm-ax
σ在横截面上的分布规律——线性分布:中性轴上点正应力
为0，距中性轴越远的点正应力绝对值越大。
M 29 y
Iz
截面最大正应力σmax
y
2.使dx 微段有顺时针转动
趋势的剪力为正。
+m
Q
Q
m
dx
这样，在截面左侧向上的外力F 或右侧向下的 外力F 将产生正的剪力Q 。
外力F “左上右下”产生正的剪力Q 11
剪力正负号的规定
1.使dx 微段有 左端向下而右 端向上的相对错动时，横截 面 m-m 上的剪力为负 。
2.使dx微段有逆时针转动 趋势的剪力为负。
3.梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的 弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中 力偶的大小。
19
2.5.3纯弯曲时梁截面上的正应力
1.横力弯曲 既有弯矩，又有剪力（图中AC 段和BD 段 ） 2. 纯弯曲 只有弯矩而无剪力的弯曲（图中AB 段 ）
Ｐa
aＰ
CA
BD
Q
P
+x
P
-
P
M
Pa
-
x
实验观察
_m
弯矩为为负。
梁弯曲凸向上时，截面弯矩为负 m
（凸向上）
外力矩“左顺右逆”产生正的弯矩
13
例2-14 外伸梁AD 。计算E、B、C 截面上的内力。
解：1.求约解束反力
qa2
q
FB
9 4
qa,
FA
1 4
qa
A
C
B
D
Ea
2a
2a
FA
2a
2.应用截面法计算各横截面上的内力
FB
C-截面：取截面左侧为研究对象 C+截面：取截面左侧为研究对象 B-截面：取截面左侧为研究对象 B+截面：取截面左侧为研究对象
M
M
x
z
中性轴
y
My Iz
当y最大时 max
M Iz
ymax
Iz
M / ymax
M Wz
σmax 出现在截面的上下边缘处
抗弯截面模量
Wz
Iz ymax
矩形截面梁
Wz
Iz
30
h/2
常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面
IZ
d 4
64
WZ
d 3
32Leabharlann IZ y2dA圆环截面
IZ
D4
64
(1
4)
WZ
D3
面上必有一个与外力平衡的切向
内力，它抵抗梁在截面处的相对
错动，称为剪力Q。
剪力与截面平行，用Q表示
z
M
x
Q
截面内还有一个与其平衡的内力偶矩，作用在 梁的纵向对称面内，抵抗梁在截面处的相对转
动，称为弯矩M。
弯矩作用面在纵向对称面内，用M 表示
弯曲内力有两钟：剪力Q 和弯矩M
梁弯曲时的内力：剪力和弯矩
集中单力位矩N/逆m时针为正、顺时针为负。
7
3.梁的类型
单跨静定梁可分为三种形式
简支梁
悬臂梁
一端固定铰支座 另一端活动铰支座
外伸梁
一端固定 一端自由
一端固定铰支座，另一端活 动铰支座，梁伸出支座之外 部分有载荷作用
8
2.5.2 梁的内力、内力图
1.剪力和弯矩的概念与计算
y
取横截面左段为研究对象，横截
在 p 时， E
y
所以
E y
M
M
★横截面上正应力分布规律
x
①横截面上的正应力沿截
面高度方向按线性分布 ；
z
②中性轴处纤维长度不变，所以正应力为零 中性轴
③离中性轴最远的上、下边缘各点
M
处正应力最大
x
④离中性轴距离相等的各点应力相等
25
5. 正应力公式的推导
（1）变形几何关系 弧b1b2 = y d y
(3)列出内力的分段方程Q(x)和M(x)，明确其定
义域。
(4)画剪力图和弯矩图。先根据内力方程式判断 内力图的形状，再通过计算若干控制截而(如各 段的首尾截面、剪力为零的截面)的内力值，就 可描点画图。
16
例2-15：简支梁AB 在点C 处受到集中力F 作用，试作出
梁的剪力图和弯矩图。
解（1）求约束反力
（2）物理关系
dx d
E E y
（3）静力学关系
X 0
M y 0
M z M
中性轴 y
A dA 0
A
z
dA
0
z
ydA M
y
Mz dA
26
A A
E y
zE
dA y
0 dA
0
M
y
A y E
dA
E y
E
A y dA 0 Sz 0
z轴过形心
E
A
L
a
b
F
C
M A 0
M B 0
B
a
FB
FA
F bl F
l
（2）列剪力方程和弯矩方程
FA
x1
Fb
x2 FB AC段：（0 x1 a)
Q
l
Fb
（+）
Fab
（-）
x Fa
Q(x1)
M (x1)
FA l
FA x1
Fb l
x1
M
l
（+）
l
BxC段：Q（M(0x(2x)2 )x2FFBBbx2)FlaFla x2
A yzdA 0 I yz 0
y轴是对称轴
E
A
y2dA
E
Iz
M
1 M
EIz
M
（EI
是梁的抗弯刚度）
z
y
Iz
Mz
中性轴 y
z
y
σdA
中性轴
z y
横截面上任一点正应力计算公式 M y
式中：
Iz
M——截面弯矩；
y——截面上任一点到中性轴的距离；
Iz——截面对中性轴的惯性矩，它与极惯性矩相似，也 是一个与横截面形状尺寸有关的几何量,单位为mm2。
b
b1
21
在拉伸区则变窄了些 。
1）平面假设 变形前后横截面维持为 平面且仍垂直于弯曲后 梁的轴线。
横截面对称轴
纵向对称面
压缩区
2）中性层： 在纵向伸长和缩短 的纤维之间，必存 在一层既不伸长也 不缩短的纤维，这 层长度不变的纤维
称为中性层。
中性轴
轴线
拉伸区
中性层
3）中性轴z：中性层与横截面的交线。
yy
-
这种截面强度计算时应同时校核最大拉应力及最
大压应力， 即强度条件为
1max
My2 IZ
[1]
y max
My1 IZ
[ y ]
4. 应 用：
（1）校核弯曲正应力强度：max
M max WZ
[ ]
（2）按正应力强度设计截面尺寸：WZ
M
-m
m
dx
这样，在截面左侧向下的外力F 或右侧向上的 外力F 将产生负的剪力Q。
外力F “左下右上”产生负的剪力Q 12
弯矩正负号的规定
+
m M
M
当dx 微段弯曲变形向下 凸时，横截面m-m 上的 弯矩为正；
m（凸向下）
梁弯曲凸向下时，截面弯矩为正
当dx 微段弯曲变形向上 凸时，横截面m-m 上的
用于塑性材料，如钢 [1] [ y ] 。
max
M max Iz
ymax
M max Wz
M(+)
M(-)
-
z +
y
z
y
34
（2）横截面不关于中性轴对称（T形截面）用于脆性材 料，如铸铁，[1] [ y ]
+ MM(-(-))
zz -
由于铸铁许用拉应力小于许 用压应力，在设计时应使应 力小的一侧受拉，应力大的 一侧受压。
连续），突变值等于集中力F 的大小，弯矩图
有转折（不可导）。
18
弯矩图的规律
1.梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直 线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；在 集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集 中力偶的大小。
2.梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线， 且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。
3.画剪力图和弯矩图
（1）由式剪力方程可知，AC 和BC 两段梁的剪力 均为常数，因此剪力图为两条平行于x 轴的直线。
（2）AC 和BC 两段梁弯矩方程M(x1)、M(x2)均为x
的一次函数，因此两段梁上的弯矩图均为斜直线。 对每一段梁只要求出两个端点的弯矩值，就可画 出弯矩图。
可见，在集中力F 作用处，剪力图有突变（不
（1）等截面直杆，最大正、负弯矩的截面；
（2）横向尺寸较小的横截面；
（3）弯矩、尺寸都不大不小的横截面，也可能为危险面。
2. 危 险 点： 危险面上距中性轴最远的点是梁的正应力危险点。
max
M max Iz
ymax
M max Wz
33
3. 正应力强度条件：
（1）横截面关于中性轴对称（圆形、矩形、工字型等）
（2）讨论：变形几何规律
1)以中性层为基准，凹的一侧纤维变短，凸的一侧纤维 伸长；
2)以中性层为基准，纤维的伸长或缩短与纤维所在的位
置至中性层的距离成正比关系。
y
y
M
x
4. 应力分布规律（物理关系）
假设：
1）纵向纤维无挤压，因而各纤维只受正应力的作用， 各点只处于单向应力状态。
2）拉伸与压缩的弹性模量一样
正应力 是梁强度的主要因素，h 剪应力t对梁 强度的影响很小，可忽略不计。用纯弯曲时的 正应力强度条件近似计算细长梁的横力弯曲。
二、纯弯曲时正应力的强度条件计算公式
Mz
Q
dA σdA τdA y
分析思路：
静力关系
应力
内力分布
几何关系
实验观察
物理关系
变形几何规律
32
梁弯曲时的强度计算
1.正应力强度条件 1. 危 险 面：
中性轴将横截面分为拉伸和压缩两个区域，且通过截
面形心。弯曲变形时，梁内各横截面绕中性轴作相对
旋转。
22
3. 变形几何关系：指用应变表达的几何关系
（1）推导 F
mn
F
o
mn
m
n
d
mn
m
n
dx 为推导几何规律取dx微体
考虑离中性轴y远的bb1，则
弧b1b2 dx
y d
d
y
y dx
b m
d
b2
b1 n
2.5 直梁弯曲
主要内容:
1.直梁平面弯曲的概念 2.梁的类型及计算简图 3.梁弯曲时的内力（剪力和弯矩） 4.纯弯曲时梁横截面上的正应力 5.梁弯曲时的强度计算 6.梁的弯曲变形和刚度计算
1
工程实际中的弯曲问题
P
PPP
PPP
P
2
2.5.1 平面弯曲的概念
1.弯曲概念
受力特点：受横向力（即垂直于杆轴的力）或 在轴线平面内的力偶作用。
m
m
梁发生弯曲变形后，我们观察 现象如下：
a
a1
（1） 横向线a-b和a1-b1仍是 直线且仍与梁的轴线正交，只 是相互倾斜了一个角度；
b
b1
（2）纵向线（包括轴线）都变 成了弧线。轴线以上的纵向线
缩 短 （ 如 a-a1 ） ， 轴 线 以 下 的M
纵向线伸长（如b-b1）；
M
a
a1
（3）梁横截面的宽度发生了微 小变形，在压缩区变宽了些，
变形特点：杆的轴线由直线变为曲线 。
以弯曲为主要变形形式的杆件统称为梁。 2.平面弯曲 各横截面的对称轴与梁的轴线所构成的平面称
为梁的纵向对称平面。
平面弯曲：梁的外载荷都作用在纵向对称面内时， 则梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。 3
梁的轴线和横截面的对称轴构成 的平面称为纵向对称平面。
平面弯曲：梁的外载荷都作用在纵向对称面内时， 则梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。 4
32
(1
4)
矩形截面
IZ
bh3 12
bh2 WZ 6
A
WZ
IZ y max
箱形截面
IZ
b0h03 12
bh3 12
WZ
( b0 h03 12
bh3 12
)
/(h0
/
2)
31
一、弯曲时横截面上的应力
剪力Q
剪应力t
弯矩M 正应力σ
★ 纯弯曲时，横截面上只有正应力σ ★横力弯曲时，对细长梁（l 5），弯曲
弯矩图
M = M(x) —弯矩方程
画法：以与梁轴线平行的x坐标表示横截面位置， 纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小， 正弯矩画在轴的上方，负弯矩画在轴的下方。
剪力图 纵坐标y按一定比例表示截面上剪力的大小15
绘梁的内力图的基本方法和步骤
(1)求支座反力。
(2)分段。在集中力(包括支座反力)和集中力偶作 用处，以及分布载荷的分布规律发生变化处(对 均布载荷而言，其变化处即均布载荷的边界处)。
梁弯曲的工程实例— 火车车轴
F
FA
外伸梁
F
FB
5
梁弯曲的工程实例—车刀切削
F
悬臂梁
6
梁的计算简图
在计算简图中，通常以梁的轴线表示梁。作用 在梁上的载荷，一般可以简化为三种形式:
（1）集中力F
（2）集中力偶M
（3）分布载荷 (均布载荷)q
梁上的载荷正负号规定：
集中力和分布载荷与坐标轴同向为正、反向为负；
正应力σ符号规定
应用上式时，M 与y 代入绝对值，所求点处应力σ
是拉应力（σ＞0）还是压应力（σ＜0） ，可直接
根据梁的弯曲方向判定。
以中性层为界，变形后的凸边为拉应力（σ＞0） ，
边为压应力（σ＜0） 。
28
凸边为拉应力， 凹边为压应力。
横截面上正应力的画法
M(+) ym-ax
σ- max
y+
(a)
求梁的内力的方法仍然是截面法。
截面上剪a力FQ3
等于F截2 面一侧F1所有外力的代数和；
m
A
B
取左段截面F上3x截弯面c矩m形MM心等C于力截QM矩面的==一代FF侧数AA 所-x和有。F-外3 F力3(对x-a) Q
FA
F2
F1
Q′c
取右段
10
M′
FB
剪力正负号的规定
1.使dx 微段有 左端向上而右 端向下的相对错动时，横截 面 m-m 上的剪力为正 。
E截面：取截面右侧为研究对象
集中力偶作用处C 两侧，
剪力不变，弯矩有突变
集中力作用处B 两侧，
剪力有突变，弯矩不变
剪力方程和弯矩方程