【易错题】数学高考一模试题(含答案)

【易错题】数学高考一模试题(含答案)
一、选择题
1．设5sin
7
a π
=，2cos
7b π=，2tan 7
c π=，则（ ） A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．b a c <<
2．设集合(){}
2log 10M x x =-<，集合{
}
2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ） A ．{}
22x x -≤<
B ．{}
2x x ≥-
C ．{}2x x <
D ．{}
12x x ≤<
3．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ⋂N 中元素的个数为( ) A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
4．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅=（ ） A ．4
B ．16
C ．8
D ．32
5．已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A ．
22
B ．
23
C ．
28
D ．
24
6．函数3
2
()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞
B ．(,2)-∞
C ．(,0)-∞
D ．(0,2)
7．设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，则()C U A B ⋃等于（ ） A ．{5,6}
B ．{3,5,6}
C ．{1,3,5,6}
D ．{1,2,3,4}
8．设R λ∈，则“3λ=-”是“直线2(1)1x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
9．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4
100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺
序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
10．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +> C ．()()2
2
112
a b -+-<
D ．228a b +>
11．已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的
距离为
3
2
c ，则双曲线的渐近线方程为（） A
．3y x =±
B ．2y x =±
C ．y x =±
D ．2y x =±
12．已知非零向量AB 与AC 满足
0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪
⎝⎭
且1
2AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形
D ．以上均有可能
二、填空题
13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()2
21y ax a x =+++相切,则a= ．
14．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．
15．已知实数,x y 满足不等式组201030
y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩
，则y
x 的取值范围为__________．
16．已知0x >，0y >，0z >，且36x y z ++=，则32
3x y z ++的最小值为
_________．
17．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．
18．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．
19．计算：1726
cos()sin 43
ππ-
+=_____． 20．若函数2
()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的最小值是__________．
三、解答题
21．已知向量()2sin ,1a x =+，()2,2b =-，()sin 3,1c x =-，
()1,d k =(),x R k R ∈∈
（1）若,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦，且()
//a b c +，求x 的值. （2）若函数()f x a b =⋅，求()f x 的最小值.
（3）是否存在实数k ，使得()()
a d
b
c +⊥+？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.
22．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214
y x =的焦点，离心率为
25
. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若
1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值.
23．已知A 为圆2
2
:1C x y +=上一点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点P 满足
2.BP BA =
（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）设Q 为直线:3l x =上一点，O 为坐标原点，且OP OQ ⊥，求POQ ∆面积的最小值.
24．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，
1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =
（Ⅰ）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；
（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面111A B C ，求线段
BM 的长．
25．如图所示，在四面体PABC 中，PC⊥AB，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点，求证： (1)DE∥平面BCP ； (2)四边形DEFG 为矩形．
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 因为
，
，所以，
，且，所以
，
，所以
,
故选D.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
求解出集合M ，根据并集的定义求得结果. 【详解】
(){}{}{}2log 1001112M x x x x x x =-<=<-<=<<
{}2M N x x ∴⋃=≥-
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.
3．B
解析：B 【解析】
试题分析：{1,2,6)M N ⋂=.故选B. 考点：集合的运算.
4．B
解析：B 【解析】
等比数列的性质可知2
26416a a a ⋅==,故选B .
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据平方运算可求得12
a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】
由题意可知：2
22
2324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12
a b ⋅=
cos ,22
a b a b a b
⋅∴<>=
=
=
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】
32'2()31()363(2)002f x x x f x x x x x x -=-<⇒=+∴=<-<，所以函数的单调
减区间为(0,2)，故本题选D. 【点睛】
本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
先求并集，得到{1,2,3,4}A B ⋃=，再由补集的概念，即可求出结果. 【详解】
因为{1,2,4}A =，{2,3,4}B =，所以{1,2,3,4}A B ⋃=， 又{1,2,3,4,5,6}U =，所以()C {5,6}U A B ⋃=.
故选A. 【点睛】
本题主要考查集合的并集与补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
当3λ=-时，两条直线是平行的，但是若两直线平行，则3λ=-或1λ=，从而可得两者之间的关系. 【详解】
当3λ=-时，两条直线的方程分别为：6410x y ++=，3220x y +-=，此时两条直线平行；
若两条直线平行，则()()2161λλλ⨯-=--，所以3λ=-或1λ=，经检验，两者均符合，
综上，“3λ=-”是“直线()211x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行” 的充分不必要条件，故选A. 【点睛】
充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则
p 是q 的既不充分也不必要条件.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 【详解】
由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒， ∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，
当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意； 当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 故跑第三棒的是丙． 故选：C ． 【点睛】
本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能
力，是基础题．
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，
33log log 222+>，即可判断出结果．
【详解】 ∵236a b ==；
∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；
∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；
()()
()()23222
2
3211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；
∵()()()2
2
232223log log 2log 2323log 2a b =+++++
232l 23og log 82>+=⋅，故D 正确
故C ． 【点睛】
本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：a b +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>，求出a ，b 的
关系式，然后求解双曲线的渐近线方程． 【详解】
双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点(),0c 到渐近线0bx ay +=，
可得：
=
，可得2
b c =，b
a =C 的渐近线方程为y =．
故选A ． 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出,a b 的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
AB
AB 和AC
AC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫
⎪+⋅= ⎪
⎝⎭表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由1
2
AB AC AB
AC
⋅
=
可求出A ∠，即得三角形形状。

【详解】
由题的，∵0AB AC BC AB AC ⎛⎫
⎪+⋅= ⎪⎝⎭
，∴A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，∴ABC 为等腰三角形.又12AB AC AB
AC
⋅
=
，∴1cos 2A =，∴3
A π
=，故ABC 为等边三角形. 故选：C 【点睛】
本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。

二、填空题
13．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】
解析：8 【解析】
试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111
|1|2x x y x
===+
='，所以切线方程为；曲线2
(2)1y ax a x =+++的导函数的为
，因与该曲线
相切，可令
，当
时，曲线为直线，与直线
平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点
，代入切线方程即
可求得
.
考点：导函数的运用.
【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代
入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．14．【解析】【详解】因为所以①因为所以②①②得即解得故本题正确答案为
解析：
1 2 -
【解析】
【详解】
因为，
所以，①
因为，
所以，②
①②得，
即，
解得，
故本题正确答案为
15．【解析】【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单
解析：
1
,2 2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】【分析】
作出可行域，y
x
表示()
,x y与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值
即可求解.【详解】
如图，不等式组201030
y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+-⎩
表示的平面区域ABC （包括边界），所以y
x 表示()
,x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B ，，所以1
22
OA OB k k ==，，故1,22y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.
16．【解析】【分析】利用已知条件目标可转化为构造分别求最小值即可【详解】解：令在上递减在上递增所以当时有最小值：所以的最小值为故答案为【点睛】本题考查三元函数的最值问题利用条件减元构造新函数借助导数知识 解析：
37
4
【解析】 【分析】
利用已知条件目标可转化为2
323
45334x y z x x y ⎛++=-++ ⎝⎭，构造()3
3f x x x =-，(
)2
454g y y ⎛=-+ ⎝⎭
，分别求最小值即可. 【详解】
解：32
3x y z ++=
()
3236x y x ++--
2
34534x x y ⎛=-++ ⎝⎭
令()3
3f x x x =-，(
)2
454g y y ⎛=+ ⎝
⎭， ()()()2'33311f x x x x =-=-+，0x >， ()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，
所以，()()min 12f x f ==-
当y =
()g y 有最小值：()min 454g y =
所以，3
2
3x y z ++的最小值为4537244
-+
= 故答案为
37
4
【点睛】
本题考查三元函数的最值问题，利用条件减元，构造新函数，借助导数知识与二次知识处
理问题.考查函数与方程思想，减元思想，属于中档题.
17．【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为 解析：513|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭
【解析】
由题意可得，函数lg(12sin )y x =-满足12sin 0x ->，即1sin 2x ， 解得51322,66
k x k k Z ππππ+<<+∈， 即函数lg(12sin )y x =-的定义域为513{|
22,}66x k x k k Z ππππ+<<+∈. 18．【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系则答案可求【详解】设三棱柱的底面积为高为则再设到底面的距离为则得所以则到上底面的距离为所 解析：1
【解析】
【分析】
由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求．
【详解】
设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ，
则9'9'S h S h
==，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则
1''23S h =，得19'23h h ⋅⋅=， 所以'23
h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13h ，
所以三棱锥111S A B C -的体积为
111'91339S h ⋅=⋅=． 故答案为1． 【点睛】
本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为1V 3
S h =底，本题是中档题． 19．【解析】【分析】利用诱导公式化简题目所给表达式根据特殊角的三角函数值求得运算的结果【详解】依题意原式【点睛】本小题主要考查利用诱导公
式化简求值考查特殊角的三角函数值考查化归与转化的数学思想方法属于基
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简题目所给表达式，根据特殊角的三角函数值求得运算的结果.
【详解】 依题意，原式
17π26ππ2πcos
sin cos 4πsin 8π4343⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2πcos sin 432
=+=. 【点睛】 本小题主要考查利用诱导公式化简求值，考查特殊角的三角函数值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.利用诱导公式化简，首先将题目所给的角，利用诱导公式变为正角，然后转化为较小的角的形式，再利用诱导公式进行化简，化简过程中一定要注意角的三角函数值的符号.
20．【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立根据分离变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得的最大值进而得到结果【详解】函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令根据二次函数的 解析：18
【解析】
【分析】
由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据分离变量的方式得到22a x x ≥-在()0,∞+上恒成立，利用二次函数的性质求得22x x -的最大值，进而得到结果.
【详解】
函数()2
1ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增 ()210a f x x x '∴=-+
≥在()0,∞+上恒成立 22a x x ∴≥-在()0,∞+上恒成立 令()22g x x x =-，0x > 根据二次函数的性质可知：当14
x =时， ()max 18g x = 18a ∴≥，故实数a 的最小值是18
本题正确结果：
18
【点睛】 本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数
的符号的问题，通过分离变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.
三、解答题
21．（1）6x π=-
；（2）0；（3）存在[]5,1k ∈-- 【解析】
【分析】
（1）由向量平行的坐标表示可求得sin x ，得x 值；
（2）由数量积的坐标表示求出()f x ，结合正弦函数性质可得最值；
（3）计算由()()0a d b c +⋅+=得k 与sin x 的关系，求出k 的取值范围即可．
【详解】
（1）()sin 1,1b c x +=--，()
//a b c +， ()2sin sin 1x x ∴-+=-，即1sin 2x =-.又,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，6x π∴=-. （2）∵()2sin ,1a x =+，()2,2b =-，()()22sin 22sin 2f x a b x x ∴=⋅=+-=+. x R ∈，1sin 1x ∴-，()04f x ∴，()f x ∴的最小值为0.
（3）∵()3sin ,1a d x k +=++，()sin 1,1b c x +=--，
若()()a d b c +⊥+，则()()
0a d b c +⋅+=，即()()()3sin sin 110x x k +--+=， ()2
2sin 2sin 4sin 15k x x x ∴=+-=+-，由[]sin 1,1x ∈-，得[]5,1k ∈--， ∴存在[]5,1k ∈--，使得()()
a d
b
c +⊥+
【点睛】
本题考查平面得数量积的坐标运算，考查正弦函数的性质．属于一般题型，难度不大． 22．（Ⅰ）2
215
x y +=（Ⅱ）-10 【解析】
【分析】
（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22
221x y a b
+=，根据它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，
得到1b =，又5
c a ==，由此求出椭圆C 的标准方程. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程2215
x y +=，得()222215202050k x k x k +-+-=，由此利用韦达定理结合已知条件能求出12λλ+的值.
【详解】
（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>， 抛物线方程化为2
4x y =，其焦点为()0,1 则椭圆C 的一个顶点为()0,1，即1b =，
由c e a ===，解得25a =， ∴椭圆C 的标准方程为2
215
x y += （Ⅱ）证明：∵椭圆C 的方程为2
215
x y +=， ∴椭圆C 的右焦点()2,0F
设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，由题意知直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程2
215
x y +=， 并整理，得()222215202050k x k x k +-+-=， ∴21222015k x x k +=+，2122
20515k x x k -=+， 又()110,MA x y y =-，()220,MB x y y =-，()112,AF x y =--，()222,BF x y =--， 而1MA AF λ=，2MB BF λ=，
即()()1101110,2,x y y x y λ--=--，()()2202220,2,x y y x y λ--=--， ∴1112x x λ=-，222
2x x λ=-， ∴()()12121212121212
22102242x x x x x x x x x x x x λλ+-+=
+==----++. 【点睛】 本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
23．(1) 2
214
x y += (2) 3.2 【解析】
【分析】
（1）设出A 、P 点坐标，用P 点坐标表示A 点坐标，然后代入圆方程，从而求出P 点的轨迹；
（2）设出P 点坐标，根据斜率存在与否进行分类讨论，当斜率不存在时，求出POQ ∆面
积的值，当斜率存在时，利用点P 坐标表示POQ ∆的面积，减元后再利用函数单调性求出最值，最后总结出最值.
【详解】
解：（1） 设(),P x y ，
由题意得：()()1,,0,A x y B y ，
由2BP BA =，可得点A 是BP 的中点，
故102x x +=， 所以12
x x =， 又因为点A 在圆上， 所以得2
214
x y +=， 故动点P 的轨迹方程为2
214
x y +=. （2）设()11,P x y ，则10y ≠，且221114
x y +=， 当10x =时，11y =±，此时()33,0,2POQ Q S ∆=
； 当10x ≠时，11,OP y k x =
因为OP OQ ⊥, 即11,OQ x k y =-
故1133,x Q y ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，
OP ∴=
OQ ==， 22111
1322POQ x y S OP OQ y ∆+==⋅①， 221114
x y +=代入① 2111143334322POQ y S y y y ∆⎛⎫-=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭ ()101y <≤
设()()4301f x x x x
=-<≤ 因为()24f x 30x '=-
-<恒成立， ()f x ∴在(]0,1上是减函数， 当11y =时有最小值，即32POQ S ∆≥
, 综上：POQ S ∆的最小值为3.2
【点睛】
本题考查了点的轨迹方程、椭圆的性质等知识，求解几何图形的长度、面积等的最值时，常见解法是设出变量，用变量表示出几何图形的长度、面积等，减元后借助函数来研究其最值.
24．（Ⅰ
；（Ⅱ
；（Ⅲ
【解析】
【分析】
（Ⅰ）以B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴，建立坐标系，设异面直线AC 与11A B 所成角为α，算出11,AC A B ，再利用cos α=11|cos ,|AC A B 〈〉计算即可；
（Ⅱ）分别求出平面11AA C 的法向量m 与平面111B AC 的法向量n ，再利用向量的夹角公式算得cos ,m n 〈〉即可；
（Ⅲ）设(,,0)M a b ，由MN ⊥平面111A B C ，得111100
MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，进一步得到M 的坐标，再由模长公式计算BM 的长.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，其中点B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴，
由题意，
111(0,0,0),B A C A B C ，
（Ⅰ）11(2,
2,5),(22,0,0)AC A B =--=-，
所以111111cos ,3||||3AC A B AC A B AC A B ⋅〈〉===⨯， 设异面直线AC 与11A B 所成角为α，
则cos α=112|cos ,|3
AC A B 〈〉=，
所以异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值为3
. （Ⅱ
）易知111(0,22,0),(2,AA AC ==-，
设平面11AA C 的法向量(,,)m x y z
=，
则11100
m AC m AA ⎧
⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即0
⎧+=⎪⎨
=⎪⎩， 令x =z =，所以(5,0,m =，
同理，设平面111B AC 的法向量(,,)n x y z =
，
则111
100n
A C n A
B ⎧
⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即00
⎧-+=⎪⎨-
=⎪⎩， 令y =2z =，所以(0,5,n =，
所以2cos ,7
||||7m n m n m n ⋅〈〉===⋅
⋅， 设二面角111A AC B --的大小为θ，
则
sin θ== 所以二面角111A AC B --. （
Ⅲ）由N 为棱11B
C 的中点，得N ⎝⎭
， 设(,,0)M a b ，则2
,,222
MN a b ⎛⎫
=-- ⎪
⎝⎭
，
由MN ⊥平面1
11A B C ，得1
11100
MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即 (02((022a a b ⎧⎛⎫-⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛
⎫⎛⎫⎪-⋅+-⋅= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎩，
解得
2
2
2
4 a
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，故
22
,,0
24
M
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，因此
22
,,0
24
BM
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，
所以线段BM的长为
10
||
4
BM=.
【点睛】
本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查学生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
25．(1)见解析； (2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据DE平行PC即可证明（2）利用PC，可知DE与FG平行且相等，即可证明.
【详解】
证明：(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC.
又因为DE⊄平面BCP，PC⊂平面BCP，所以DE∥平面BCP.
(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，
所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.
所以四边形DEFG为平行四边形．
又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG.
所以四边形DEFG为矩形．
【点睛】
本题主要考查了直线与平面平行的判定及中位线的性质，属于中档题.。