人教版数学八年级下册北京一六一中学第二学期期中考试

信达
初中数学试卷
北京一六一中学2014—2015学年度第二学期期中考试
初 二 数 学 试 题
班级______________姓名______________学号_________
第Ⅰ卷（主卷部分，共100分）
一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
1. 在□ABCD 中，如果∠A +∠C ＝140°，那么∠C 等于
A ． 20°
B ． 40°
C ．60°
D ．70°
2．下列各组长度的线段能组成直角三角形的是
A ．a =2，b =3，c =4
B ．a =4，b =4，c =5
C ．a =5，b =6，c =7
D ．a =5，b =12，c =13 3．用配方法解方程262
-=-x x 时，下列配方后方程变形正确的是
A ．9)3(2
=-x B ．7)3(2
=-x
C ．9)9(2=-x
D ．7)9(2
=-x
4．已知1x =是方程2
20x bx +-=的一个根，则b 的值为
A ．1
B ．2
C ．-2
D ．-1
5. 如图所示的□ABCD ，再添加下列某一个条件，不能．．
判定□ABCD 是矩形的是 A ．AC =BD B ．AB ⊥BC
C ．∠1=∠2
D ．ABC BCD ∠=∠
6. 关于x 的方程2
210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是
A ．k 为任何实数，方程都没有实数根
B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D ．根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相
等的实数根三种 7. 如图，菱形ABCD 中，∠BAD ＝80º，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在AB 上且BE ＝BO ，则∠EOA 的度数是
A.20º
B.25º
C.30º
D.35º
8. 有一张矩形纸片ABCD ，AB=3，AD =2，将纸片折叠，使点D 落在AB 边上的D ’处，折痕为AE ，再将△AD ’E 以D ’E 为折痕向右折叠，使点A 落在点A ’F （如图），则A ’F 的长为
A .
23 B ．
22
3
C ．322-
D ．64- 二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
9． △ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点， 若△DEF 的周长为6，则△ABC 周长为 . 10． 如图，菱形ABCD 的边长为5，对角线AC ，BD 相交于点O ，BD =6，则菱形ABCD 的面积
为 .
２
１
Ｄ
Ｃ
Ｂ
A
E
D ’
B D
A C
B
A
第5题图
第7题图
第8题图
F
A ’
C
E
D ’ B
信达
x
y O D C
B
A
1
1
11． 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，∠AOB =60°，若AB =1，则BD = ．
12．如图，在△ABC 中，∠C =90︒，∠B =36︒，D 为AB 的中点，则∠DCA = ︒.
13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点A 、C 的坐标分别为A （0，3）、
C （0，－3），则正方形ABC
D 的面积等于 ____．
14．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE ，则∠AEB =_____．
15．如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，E 为AB 的中点，DE ⊥AB ，若23AC =
则DE 的长为 ．
16．如图在由24个边长为1的正三角形组成的网格中，P 为一个格点，以P 为直角顶点作格点三
角形（顶点均在格点上），请你写出所有可能的直角三角形的斜边长_________.
三、解答题(本大题共6道小题，其中17每小题4分，18、19、20、21、22每小题
6分，共38分)
17．解下列一元二次方程：
（1）2
30x x +=；
（2）2
3620x x --=．
18． 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 经过对角线BD 的中点O 分
别与BC ，AD 交于点E ，F ． 求证：O 是EF 的中点.
19．如图，在□ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接AE 并延长交DC
的延长线于点F ，连接BF ．若AF =AD . 求证：四边形ABFC 是矩形．
20．已知：关于x 的方程2(2)20(0)mx m x m -++=≠．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．
21．如图，在△ABC 中，∠B =30°，∠BAC =105°，AB =8. 求BC 的长．
O A B C
D
O B
D
C
A
0题图
第11题图 第14题图 第13题图
B
C
D
A
第12题图
第15题图 第16题图 P O
C B
A
O
F
E D
C
B
A F
A B
C D
E
22．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC =b2+ab．
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB =c2+a（b﹣a）
∴b2+ab =c2+a（b﹣a）
∴a2+b2=c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．
求证：a2+b2=c2
四、解答题(本大题共2道小题，每小题7分，共14分)
23．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E，点F在BC上，BF=BO，且AE=6，AD=8.
（1）求BF的长；
（2）求四边形OFCD的面积.
24．把一个含45°角的直角三角板BEF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，连接DF，点M，N分别为DF，EF的中点，连接MA，MN.
（1）如图1，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，请判断MA，MN的数量关系和位置关系，
直接写出结论；
（2）如图2，点E，F分别在正方形的边CB，AB的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）
中得到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
图1 图2
第Ⅱ卷（附加卷部分，共20分）
一、填空题（本题6分）
1. 已知a是方程2520
x x
+-=的一个根，则代数式2
2107
a a
+-的值为；
代数式32
634
a a a
+++的值为 .
二、解答题（本大题共2小题，其中第2题6分，第3题8分，共14分）
B
F
N
M
E C
D
A
F
C
B
E
M
N
A D
E
O
F
D
C
B
A
信达
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2.【阅读材料】为解方程2
2
2
(1)5(1)40x x ---+=，我们可以将2
1x -看作一个整体， 然后设21x y -=，那么原方程可化为2
540y y -+=……①. 解得11y =，24y =.
当1y =时，211x -=，即2
2x =
. x ∴=当4y =时，2
14x -=，即2
5x =
. x ∴=
所以，原方程的解为1x =
2x =
3x
4x =
【解答问题】上述解题过程中的“由原方程得到方程①”这一步，是利用“整体换元”的方法达到了降次的目的，从而求出原高次方程的解，体现了转化的数学思想. 请你参考以上解决问题的方法解方程：4
2
60x x +-=．
3. 在正方形ABCD 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接BE ，DE 其中DE 交直线
AP 于点F ．
（1）依题意补全图1；
（2）若20PAB ∠=︒，求ADF ∠的度数；
（3）如图2，若4590PAB ︒<∠<︒，用等式表示线段AB ，EF ，FD 之间的数量关系，并证明．
北京一六一中学2014—2015学年度第二学期期中考试
初二数学标准答案和评分标准
第Ⅰ卷（主卷部分，共100分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. D 2.D 3. B 4. A 5. C 6. B 7. B 8. D
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 12 10.24 11.2 12.54 13. 18 14.15° 15. 3 16. 4，7，13 ，2
三、解答题(本大题共6道小题，其中17每小题4分，18、19、20、21、22每小题6
分，共38分)
17.（1）解：原方程可化为 (3)0x x +=． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - 2分
解得120 3x x ==-,． - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - -
- - - - - - - -4分
（2）解：因为 3,6,2a b c ==-=-，
所以()()2
24643
260b ac -=--⨯⨯-=． - - - - - -- - - - -- - - - -
- 1分
代入公式
x ，
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - 2分
得x ．
图 1
P
D
C
B
A
信达
A B C
D
E F
O 所以 原方程的解为1315
3
x +=
，23153x -= ． - - - - - - - - - - - -4
分
18. 证明：∵四边形ABCD 为平行四边形
∴AD ∥BC - - - - - - - 1
分
∵O 为BD 中点
∴OB =OD 2分
∴∠ADB =∠CBD 3分 在△FDO 和△EBO 中， ∠FOD =∠EOB
OD =OB
∠ADB =∠CBD
∴△FDO ≌△EBO （ASA ） 4分
∴OE =OF 5分
∴O 为EF 中点 6分
19. 证明：如图1．在□ABCD 中，AB ∥DC 即 AB ∥DF ． -------1分
∴∠1=∠2．
∵点E 是BC 的中点，∴BE =CE ． 在△ABE 和△FCE 中，
∠1=∠2， ∠3=∠4，
BE =CE ，
∴△ABE ≌△FCE ． ---------3分 ∴AB =FC ． ∵AB ∥FC ，
∴四边形ABFC 是平行四边形． ------------4分 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ． ∵AF =AD ，∴AF =BC ． ∴四边形ABFC 是矩形． -----------------------------------6分． 20. （1）证明： =（m +2）2
﹣4m ×2
=m 2
﹣4m+4
=（m ﹣2）2
，
∵（m ﹣2）2
≥0，即≥0，
∴ 方程总有两个实数根 ------------4分
（2）解：原方程化为（x ﹣1）（mx ﹣2）=0，
得x ﹣1=0或mx ﹣2=0，
∵m ≠0，∴ x 1=1，x 2=，
当m 为正整数1或2时，x 2为整数， 即方程的两个实数根都是整数， ∴ 正整数m 的值为1或2． ----------------------------6
分．
21. 过点A 作AD ⊥BC 于D ， ……………………………1分
在Rt △ABD 中，∠D =30°，
∴∠BAD =60°，AD =
2
1
AB =4，BD =3AD =43， ……3分 在Rt △ACD 中，∠CAD =105°﹣60°=45°，
∴CD =AD =4， … ………………………………5分 ∴BC =43+4 …………………………….6分
22. 证明：连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF =b ﹣a ，
∵S 五边形ACBED = S △ACB +S △ABE +S △ADE =ab +b 2
+ab ， -------4分 又∵S 五边形ACBED = S △ACB +S △ABD +S △BDE =ab +c 2
+a （b ﹣a ）， ∴
ab +b 2+ab =ab +c 2+a （b ﹣a ），
∴a 2
+b 2
=c 2
． ------6分
四、解答题(本大题共2道小题，每小题7分，共14分)
23. （1）∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAD ＝90°，∴∠EAD ＝180°—∠BAD ＝90°.
图1 4
32
1
E D
C B A F
信达
在Rt △EAD 中，
∵AE ＝6，AD ＝8，∴10DE . -------1
分
∵DE ∥AC ，AB ∥CD ，∴四边形ACDE 是平行四边形.
∴AC ＝DE ＝10. -------2
分
在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，
∵OA ＝OC ，∴1
52
BO AC ==. -------3
分
∵BF ＝BO ＝5. -------4分
（2）过点O 作OG ⊥BC 于点G ，
∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BCD ＝90°，∴CD ⊥BC .
∴OG ∥CD .
∵OB ＝OD ，∴BG ＝CG ，∴OG 是△BCD 的中位线. -------5分 由（1）知，四边形ACDE 是平行四边形，AE ＝6，∴CD ＝AE ＝6.
∴1
32
OG CD =
=. ∵AD ＝8，∴BC ＝AD ＝8. ∴33
2
BCD BOF OFCD S S S D D =-=
四边形 . ------7分
24. 解：（1）MA ＝MN 且MA ⊥MN ． ------- 2分
（2）（1）中结论仍然成立． ------- 3分
证明：连接 DE ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA
＝∠DAB ＝90°.
在Rt △ADF 中， ∵M 是DF 的中点，∴1
2
MA DF MD MF ===.
∴∠1＝∠3.
∵N 是EF 的中点，∴MN 是△DEF 的中位线.
∴1
2
MN DE =
，MN ∥DE . ------- 4分 ∵△BEF 为等腰直角三角形， ∴BE ＝BF ，∠EBF ＝90°.
∵点E ，F 分别在正方形的边CB ，AB 的延长线上，
∴AB BF CB BE +=+ ,即AF ＝CE .
∴△ADF ≌△CDE . ------- 5分
∴DF ＝DE ，∠1＝∠2.
∴MA ＝MN ，∠2＝∠3. ------- 6分 ∵∠2+∠4＝∠ABC ＝90°，∠4＝∠5，
∴∠3+∠5＝90°，∴∠6＝180°—（∠3+∠5）＝90°. ∴∠7＝∠6＝90°，MA ⊥MN . ------- 7分
第Ⅱ卷（附加卷部分，共20分）
一、填空题（本题6分） 1． 3-；6.
二、解答题（本大题共2小题，其中第2题6分，第3题8分，共14分） 2. 解：设2=x y .
∴原方程可化为2
60y y +-= . ……………………………………………………1分 ∴123,
2y y =-=. ……………………………………………2分
当2y =时，即2
2x =.
x ∴=…… …………………………………………………3分
当3y =-时，即2
3x =-.
∵无论x 取任何实数都有2
0x ≥，
7
6
5
4
32
1
D
A N
M
E
B
C
F
E
O
F
D
C
B
A
G
∴23
x=-无实数根，舍去. …………………………………………4分
∴原方程的解为
12
x =，
22
x=-．……………………………………6分
3. 解：（1）如图1所示：
……………………………………………………1分（2）如图2，连接AE，
则∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB=AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAP=∠BAP=20°，
∴∠EAD=130°，
∴∠ADF==25°………………………………………………4分
（3）如图3，连接AE、BF、BD，
由轴对称的性质可得：EF=BF，AE=AB=AD，
∠ABF=∠AEF=∠ADF，
∴∠BFD=∠BAD=90°，
∴BF2+FD2=BD2，
∴EF2+FD2=2AB2．…………………………………………8分
信达。