近年高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算作业本理(2021年整理)

（北京专用）2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算作业本理
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第一节变化率与导数、导数的计算
A组基础题组
1。

已知函数f(x）=cos x，则f（π）+f '=( )
A.-
B.- —
C.-
D.-
2.已知f（x）=x（2 016+ln x),若f '(x0)=2 017，则x0等于（）
A.e2
B.1
C.ln 2
D.e
3.曲线y=xe x+2x-1在点(0,—1）的切线方程为( ）
A.y=3x-1 B。

y=-3x—1
C。

y=3x+1 D。

y=-3x-1
4.曲线y=xe x在点（1，e)处的切线与直线ax+by+c=0垂直，则的值为（)
A.—
B.— C。

D.
5。

若直线y=ax是曲线y=2ln x+1的一条切线,则实数a= （)
A。

B.2 C. D.2
6.若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是。

7.已知f(x）=3ln x—2xf '(1),则曲线y=f（x）在点A（1，m)处的切线方程为。

8。

曲线y=aln x(a>0)在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4，则a= 。

9.(2013北京,18,13分)设L为曲线C：y=在点（1,0）处的切线。

（1）求L的方程；
（2）证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方。

B组提升题组
10.下面四个图象中，有一个是函数f(x）=x3+ax2+（a2-1）x+1(a∈R)的导函数y=f '(x)的图象,则 f(—1）=（)
A。

B。

- C。

D。

—或
11.已知f（x)=ln x，g（x）=x2+mx+(m<0）,直线l与函数f(x）,g(x）的图象都相切,且与f（x)图象的切点为（1， f(1）），则m的值为( ）
A。

—1 B.—3 C。

—4 D.-2
12.函数f(x）=的图象在点(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于。

13。

已知函数f(x）=|ln x｜,关于x的不等式f(x)-f(x0)≥c(x—x0)的解集为(0，+∞），c 为常数.当x0=1时,c的取值范围是；当x0=时，c的值是.
14。

(2017北京海淀零模,19)已知函数f（x）=。

（1)若曲线y=f（x）与直线y=kx相切于点P，求点P的坐标;
（2)当a≤e时，证明：当x∈（0，+∞)时， f（x）≥a（x—ln x).
答案精解精析
A组基础题组
1。

C ∵f（x）=cos x，∴f ’(x）=—cos x+·（-sin x），∴f(π)+f '=-+·(-1）=-。

2.B f '（x）=2 016+ln x+x×=2 017+ln x，由f '(x0）=2 017,得2 017+ln x0=2 017，则ln x0=0，解得x0=1。

3.A 由题意得y'=（x+1)e x+2，则曲线y=xe x+2x-1在点(0,—1)处的切线的斜率为（0+1）e0+2=3，故曲线y=xe x+2x-1在点(0,-1)处的切线方程为y+1=3x，即y=3x-1.
4。

D y'=e x+xe x,则y’|x=1=2e，∵切线与直线ax+by+c=0垂直，∴—=-，∴=，故选D。

5.B 依题意，设直线y=ax与曲线y=2ln x+1的切点的横坐标为x0，对于y=2ln x+1,易知y'=,
则有y’=,于是有解得x0=,a=2,选B.
6。

答案（e，e)
解析令f（x)=xln x，则f '（x）=ln x+1，设P（x 0,y0），则f '(x0）=ln x0+1=2，∴x0=e,此时y0=x0ln x0=eln e=e,∴点P的坐标为（e,e).
7。

答案x-y-3=0
解析由题意得f ’(x)=—2f '(1)，所以f ’（1)=3—2f ’(1），即f ’（1）=1.∴
m=f(1)=-2f ’（1)=-2，所以所求切线方程为y+2=x-1,即x-y—3=0。

8。

答案8
解析令f(x）=y=aln x,则f ’(x）=,∴在x=1处的切线的斜率为a，∵f(1)=aln 1=0，故切点为（1，0），∴切线方程为y=a（x-1），令y=0,得x=1；令x=0,得y=-a，∵a〉0,∴所围
成的三角形的面积为×a×1=4,
∴a=8.
9.解析（1)设f(x)=，则f ’(x）=.
所以f '(1）=1.所以L的方程为y=x-1.
(2)证明:令g(x)=x—1—f(x），则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g（x）>0
（∀x>0,x≠1).g（x）满足g（1)=0,且g'（x）=1—f ’(x)=.
当0<x<1时,x2-1〈0，ln x〈0,所以g'(x）〈0,故g(x)单调递减;
当x〉1时,x2—1>0,ln x〉0,所以g'(x)〉0,故g(x)单调递增.
所以，g（x)〉g（1)=0(∀x>0，x≠1)。

所以除切点之外,曲线C在直线L的下方。

B组提升题组
10.D ∵f '(x)=x2+2ax+a2-1，∴f ’(x)的图象开口向上，则排除②④。

若f ’（x)的图象为
①，则a=0, f(—1）=；若f ’(x)的图象为③,则a2—1=0，且-a〉0,∴a=—1,
∴f(—1）=—.综上知选D。

11。

D ∵f ’（x)=，∴直线l的斜率k=f ’(1）=1，
又f(1）=0,∴切线l的方程为y=x-1.
g’（x）=x+m,设直线l与g(x）的图象的切点为(x0，y0),则有x0+m=1，y0=x0-1，y0=+mx0+(m<0），由此可解得m=—2。

12。

答案
解析 f '（x）
=
=,
则f ’(—1)=—4,故切线方程为y=-4x-2,切线在x,y轴上的截距分别为-，-2，故所求三角
形的面积为.
13.答案［-1，0];-2
解析当x 0=1时，f（x）-f(x0）≥c(x-x0）即f(x）-f(1)≥c（x—1).①当x〉1时，原不等式可化为≥c,如图1,c小于或等于f(x)=|ln x|（x>1)的图象上的点与点(1,0）的连线的斜率的最小值，易知，当x→+∞时,斜率趋近于0，所以c≤0。

②当0<x<1时，原不等式可化为≤c,c大于或等于f(x)=｜ln x|(0〈x〈1）的图象上的点与点(1，0）的连
线的斜率的最大值，当x→1时,斜率变大，又（—ln x)’=—,故曲线f(x)=
|ln x｜(0〈x<1）在点（1,0）处的切线l1的斜率的最大值为-1，于是c≥—1.综上，当x0=1时，c的取值范围是[-1，0]。

当x0=时,f（x）-f(x0）≥c(x—x0）即f(x)-f≥c。

①当x>时,原不等式可化为
≥c，如图2，c小于或等于f(x）=｜ln x|的图象上的点与点的连线的斜率的最小值，当x→时，斜率趋近于最小值,又曲线f(x)=｜ln x｜在点处的切线l2的斜率为—2,故c≤—2.②当x〈时，同理可得c≥-2.综上可得c=—2.
14。

解析（1)f ’(x）=,设点P的坐标为（x 0，y0),
由题意知解得x0=2,所以y0==,
从而点P的坐标为。

（2)证明：设函数g（x)=f(x)—a(x—ln x）=—a(x-ln x)，
则g’(x）=,x∈（0,+∞），
设h（x）=e x-ax，x∈（0,+∞）,则h’（x）=e x-a。

①当a≤1时，因为x>0，所以e x〉1，所以h'（x）=e x—a>0,
所以h（x)在区间(0，+∞）上单调递增,所以h（x）〉h（0）=1〉0;
②当1〈a≤e时,令h’（x）=0，得x=ln a,
所以当x∈(0,ln a）时，h’（x）<0；当x∈(ln a,+∞）时,h’(x）>0,
所以h（x)≥h（ln a）=a(1—ln a）≥0.
故当x∈(0，+∞）时,有h（x)≥0,所以g（x),g’(x)的变化情况如下表: x（0,1）1(1,+∞) g'（x)-0+ g（x)↘极小值↗
所以g(x)min=g（1）=e-a≥0，所以当x∈(0,+∞)时， f（x)≥a(x—ln x）。