高考数学一轮总复习 (基础轻过关+考点巧突破)第五章 第2讲 一元二次不等式及其解法课件 理 新人教

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1．不等式 x2＜1 的解集为(
A．{x|－1＜x＜1} C．{x|x＞－1}
A) B．{x|x＜1}
D．{x|x＜－1 或 x＞1}
2．不等式(x－1) A．{x|x>1} C．{x|x≥1}
x＋≥20 的解集是( B ) B．{x|x≥1 或 x＝－2} D．{x|x≥－2 且 x≠1}
2．会解含参数的简单一元二次 不等式，能将分式不等式转化成 整式不等式．
3．要明确方程的根、函数的图 象与 x 轴交点的横坐标与不等式 之间的关系.
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一元二次不等式与相应的二次函数(hánshù)及一元二次方程的关系如
下表
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋ bx＋c(a>0)的图象
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1．高次不等式(包括(bāokuò)分式不等式)解法
尽可能进行因式(yīnshì)分解，分解成一次因式(yīnshì)后，再利用数轴标根
法求解(注意每个因式的最高次项的系数(xìshù)要求为正数)． 2．解决一元二次不等式有关问题的常见数学思想方法 (1)数形结合思想：三个二次的完美结合是数形结合思想的具
一元二 次不等
ax2＋bx＋ c>0(a>0)
_{_x_|x_<_x_1_或_x_>_x_2_}___ _x__x≠__－__2_ba___
_R__
式的解 ax2＋bx＋ 集 c<0(a>0)
__{_x_|x_1_<_x<_x_2_}___
___∅__
__∅___
若a＜0 时，可以先将_____二__次__项__系___数__(x_ì_s_h_ù，)a对化照成(正du数ìzhào)上表求解．
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续表
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
一元二次方程 ax2＋ 有两相异实根 有两相同实
bx＋c＝0(a≠0)的 根
_____x_1_,2_＝_______
－b± b2－4ac
根_x_1,_2＝__－__2_ba_ _没__有_(_m_é_i_y_ǒu)实
_______2_a________
考点3 一元(yī yuán)二次不等式的应用 例3：已知二次函数(hánshù) f(x)的二次项系数为 a，且不等式 f(x)>－
2x 的解集为(1,3)．
(1)若方程(fāngchéng) f(x)＝0 的两根一个大于－3，另一个小于－3，求 a 的取值范围；
(2)若方程 f(x)＋6a＝0 有两个相等的实根，求 f(x)的解析式．
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思想(sīxiǎng)与方法
9．利用转化与化归思想(sīxiǎng)求参数的范围
例题(lìtí)：(2011届甘肃兰州联考)已知函数f(x)＝
x2＋2x＋a ，x∈[1，
x
＋∞)． (1)若对任意(rènyì) x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，求实数 a 的取值范
围；
(2)若对任意(rènyì) a∈[－1,1]，f(x)>4 恒成立，求实数 x 的取值范围．
与
x2－2x－6<2x－1
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4．不等式 x－3＜0 的解集为(
A)
x＋2
A．{x|－2＜x＜3}
B．{x|x＜－2}
C．{x|x＜－2 或 x＞3} D．{x|x＞3} 5．不等式－x2－2x＋3≥0 的解集是_________{_x|_－__3_≤_x_≤_1_}．
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上，原不等式的解集是…”．注意：按参数讨论，最后应按参数
取值分别(fēnbié)说明其解集．但若按未知数讨论，最后应求并集．解不
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体体现．
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(2)分类讨论思想：当二项系数含参数(cānshù) a 时，要对二次项系数 分 a>0、a<0 和 a＝0 三种情况讨论；对方程根的情况进行分类讨 论(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)；如果根里含有参数(cānshù)，要注意对两个根的大 小进行讨论．
(3)转化与化归思想：解分式、指数、对数、绝对值等类型的 不等式时，一般要把它们转化成一元二次(一次)不等式(组)的形式 进行解决．转化的方法通常是代数化、有理化(lǐhuà)、整式化、低次化．
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【互动(hù dònɡ)探究】
3．一元二次不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集是－12，13，则 a＋b
的值是( D )
A．10B．－10C．14D．－14
解析：方程 ax2＋bx＋2＝0 的两个根为－12和13，
－12＋13＝－ba，－12×13＝2a，a＝－12，b＝－2，a＋b＝－14.
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②(2011 年上海)不等式1x<1 的解为__x_<_0_或_x_>_1____． 解析：1x<1⇔1x－1<0⇔1－x x<0⇔x－x 1>0.解得 x<0 或 x>1.
解一元二次不等式的步骤：①先对不等式变形， 使不等式的右边为零，左边(zuǒ bian)的二次项系数为正；②计算相应的判 别式；③求出相应方程的根，或者判定相应的方程无根；④结合 相应二次函数的图象写出不等式的解集．
解析(jiě xī)：∵x2－(3＋a)x＋3a>0， ∴(x－3)(x－a)>0. (1)当a<3时，x<a或x>3，不等式解集为{x|x<a或x>3}． (2)当a＝3时，不等式为(x－3)2>0，解集为{x|x∈R且x≠3}． (3)当a>3时，x<3或x>a，不等式解集为{x|x<3或x>a}．
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(2)要使当 a∈[－1,1]时，f(x)>4 恒成立．
即x2＋2xx＋a>4，x∈[1，＋∞)恒成立． ∴x2－2x＋a>0 对 a∈[－1,1]恒成立．
把 g(a)＝a＋(x2－2x)看成 a 的一次函数，
则使 g(a)>0 对 a∈[－1,1]恒成立的条件是
g1>0， g－1>0.
解析：(1)设函数f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0. 则f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x. 若方程f(x)＝0的两实根一个大于－3，另一个小于－3， 只需 f(－3)>0.∴－14<a<0.
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(2)∵f(x)＝ax2－(4a＋2)x＋3a， ∴f(x)＋6a＝ax2－(4a＋2)x＋9a＝0 有两个相等实根． ∴Δ＝(4a＋2)2－36a2＝0.∴a＝1 或 a＝－15. 又 a<0，∴a＝－15. 故所求解析式为 f(x)＝－15x2－65x－35.
解：原不等可化为(ax－1)(x－1)<0. (1)当 a＝0 时，x＞1. (2)当 a＜0 时，x＜1a或 x＞1. (3)当 a＞0 时，上面不等式可化为x－1a(x－1)＜0. ①当 0＜a＜1 时，1＜x＜1a； ②当 a＝1 时，解集为∅； ③当 a＞1 时，1a＜x＜1.
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1．结合(jiéhé)二次函数图象解不等式时，一定要注意不等号的方向
与二次函数图象(tú xiànɡ)的开口方向．
2．不等式的解集一定要用集合或区间的形式表示出来． 3．含参数不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函 数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综
考点(kǎo解di一ǎn元)1(yī yuán)二次、分式不等式
例 1：①(2011 年广东)不等式 2x2－x－1>0 的解集是( D )
A.－12，1
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D.－∞，－12∪(1，＋∞)
解析：2x2－x－1>0⇒(x－1)(2x＋1)>0
⇒x<－12或 x>1，所以，不等式的解集为－∞，－12∪(1，＋∞)．
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解析：(1)若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立， 即x2＋2xx＋a>0，x∈[1，＋∞)恒成立． 亦即 x2＋2x＋a>0，x∈[1，＋∞)恒成立． 即 a>－x2－2x，x∈[1，＋∞)恒成立． 即 a>(－x2－2x)max，x∈[1，＋∞)， 又∵－x2－2x＝－(x＋1)2＋1. 当 x＝1 时，而(－x2－2x)max＝－3，x∈[1，＋∞)，∴a>－3. ∴对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，实数 a 的取值范围为 {a|a>－3}．
即xx22－ －22xx＋ －11>>00.，
解得 x<1－ 2或 x> 2＋1.
又 x≥1，∴x> 2＋1. 故所求 x 的范围是( 2＋1，＋∞)．
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在含有多个变量的数学问题中，选准“主元”往 往是解题的关键．即需要确定合适(héshì)的变量或参数，能使函数关系 更加清晰明朗．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围 的量为参数．如(1)中x 为变量(关于x 的二次函数)，a 为参数． (2)中a 为变量(关于a 的一次函数)，x 为参数．
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【互动(hù dònɡ)探究】 1．(2011 年安徽)函数 y＝ 6－1x－x2的定义域是__(_－__3,_2_)__．
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考点2 含参数(cānshù)不等式的解法
例2：解关于 x 的一元二次不等式 x2－(3＋a)x＋3a＞0. 解题(jiě tí)思路：比较根的大小确定解集．
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3．(2010 年广东佛山质量检测)下列给出的四组不等式中，同
解的是( C )
A. x－2(x2－4x＋3)<0 与 x2－4x＋3<0
B.x－1x－21x－2≥0 与(x－1)(x－2)≥0
2x－3 C. x－5 >0
与(2x－3)(x－5)>0
x2－2x－6 D. 2x－1 <1
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解含参数的有理不等式时分(shífèn)以下几种情况讨论： ①根据二次项系数讨论(大于0、小于 0、等于0)； ②根据根的判别式讨论(Δ>0、Δ＝0、Δ<0)； ③根据根的大小讨论(x1>x2、x1＝x2、x1<x2)．
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【互动(hù dònɡ)探究】
2．解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0.
第2讲 一元(yī yuán)二次不等式及其解法
考纲要求
1.会从实际情境中抽象出一元二 次不等式模型． 2．通过函数图象了解一元二次 不等式与相应的二次函数、一元 二次方程的联系． 3．会解一元二次不等式，对给 定的一元二次不等式，会设计求 解的程序框图.
考纲研读
1.深刻理解“三个二次”之间的 关系，充分借助于图象的直观性 解一元二次不等式．