八年级上学期 1月月考期末复习模拟数学试题

八年级上学期 1月月考期末复习模拟数学试题 一、选择题 1．下列图书馆的馆徽不是．．
轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．
2．下列实数中，无理数是（ ）
A ．227
B ．3π
C ．4-
D ．327
3．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，点E 是AB 中点，将CAE ∆沿着直线CE 翻折，得到CDE ∆，连接AD ，则线段AD 的长等于（ ）
A ．4
B ．165
C ．245
D ．5
4．在平面直角坐标系中，点P （﹣3，2）在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是边BC 上的中线，若5AB =，6BC =，则AD 的长为（ ）
A ．3
B ．7
C ．4
D ．11 6．1(1)
1a a --变形正确的是（ ） A ．1- B ．1a - C ．1a -- D ．1a --
7．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C．D．
8．下列图案属于轴对称图形的是（）
A． B．C．D．
9．下列以a、b、c为边的三角形中，是直角三角形的是（）
A．a＝4，b＝5，c＝6 B．a＝5，b＝6，c＝8 C．a＝12，b＝13，c＝5 D．a＝1，b＝1，c＝3
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣4
3
x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，M
是y轴上的点（不与点B重合），若将△ABM沿直线AM翻折，点B恰好落在x轴正半轴上，则点M的坐标为（）
A．（0，﹣4 ）B．（0，﹣5 ）C．（0，﹣6 ）D．（0，﹣7 ）
二、填空题
11．关于x的分式方程2
1
1
x a
x
+
=
+
的解为负数，则a的取值范围是_________.
12．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，4）和（3、0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，在运动的过程中，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，OC＝__．
13．49
的平方根为_______ 14．若x +2y ＝2xy ，则21+x y
的值为_____． 15．若等腰三角形的一个角为70゜，则其顶角的度数为_____ ．
16．若关于x 的多项式322ax bx +-的一个因式是231+-x x ，则+a b 的值为__________.
17．如图，点C 坐标为(0,1)-，直线334
y x =
+交x 轴，y 轴于点A 、点B ，点D 为直线上一动点，则CD 的最小值为_________.
18．当直线()223y k x k =-+-经过第二、三、四象限时，则k 的取值范围是_____．
19．如图，已知直线l 1：y=kx+4交x 轴、y 轴分别于点A （4，0）、点B （0，4），点C 为x 轴负半轴上一点，过点C 的直线l 2：12
y x n =+经过AB 的中点P ，点Q （t ，0）是x 轴上一动点，过点Q 作QM ⊥x 轴，分别交l 1、l 2于点M 、N ，当MN=2MQ 时，t 的值为_____．
20．若正比例函数y=kx 的图象经过点（2，4），则k=_____．
三、解答题
21．（模型建立）
（1）如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于点D ，过B 作BE ⊥ED 于点E ．
求证：△BEC ≌△CDA ；
（模型应用）
（2）① 已知直线l 1：y ＝
43
x ＋8与坐标轴交于点A 、B ，将直线l 1绕点A 逆时针旋转45o
至直线l 2，如图2，求直线l 2的函数表达式； ② 如图3，长方形ABCO ，O 为坐标原点，点B 的坐标为（8，－6），点A 、C 分别在坐标轴上，点P 是线段BC 上的动点，点D 是直线y ＝－3x ＋6上的动点且在y 轴的右侧．若△APD 是以点D 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D 的坐标．
22．已知△ABC ．
（1）在图①中用直尺和圆规作出B 的平分线和BC 边的垂直平分线交于点O （保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若点D 、E 分别是边BC 和AB 上的点，且CD BE =，连接OD OE 、求证：OD OE =；
（3）如图②，在（1）的条件下，点E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且△BEF 的周长等于BC 边的长，试探究ABC ∠与EOF ∠的数量关系，并说明理由．
23．某公司购买了一批A 、B 型芯片，其中A 型芯片的单价比B 型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A 型芯片的条数与用4200元购买B 型芯片的条数相等． （1）求该公司购买的A 、B 型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A 型芯片？
24．计算：()()023163.1422781
π-+-- 25．如图，点D 是△ABC 内部的一点，BD=CD ，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，且BE=CF ．求证：AB=AC ．
四、压轴题
26．如图，直线l 1：y 1=﹣x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P （m ，3）为直线l 1上一点，另一直线l 2：y 2=12
x +b 过点P ． （1）求点P 坐标和b 的值；
（2）若点C 是直线l 2与x 轴的交点，动点Q 从点C 开始以每秒1个单位的速度向x 轴正方向移动．设点Q 的运动时间为t 秒．
①请写出当点Q 在运动过程中，△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；
②求出t 为多少时，△APQ 的面积小于3；
③是否存在t 的值，使△APQ 为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
27．在平面直角坐标系中，点A 、B 在坐标轴上，其中()0,A a 、(),0B b 满足
|21|280a b a b --++-=．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）将线段AB 平移到CD ，点A 的对应点为()2,C t -，如图1所示，若三角形ABC 的面积为9，求点D 的坐标；
（3）平移线段AB 到CD ，若点C 、D 也在坐标轴上，如图2所示．P 为线段AB 上的
一动点（不与A 、B 重合），连接OP 、PE 平分OPB ∠，2BCE ECD ∠=∠．求证：3()BCD CEP OPE ∠=∠-∠．
28．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边在CD 的下方作等边CDE ∆，连结BE ．
（1）求CAM ∠的度数；
（2）若点D 在线段AM 上时，求证：ADC BEC ∆≅∆；
（3）当动点D 在直线AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断AOB ∠是否为定值？并说明理由．
29．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，
如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC =∠DAE ，AB =AC ，AD =AE ，则△ABD ≌△ACE ．
（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．
（深入探究）（2）如图2，△ABC 和△AED 是等边三角形，连接BD ，EC 交于点O ，连接AO ，下列结论：①BD =EC ；②∠BOC =60°；③∠AOE =60°；④EO =CO ，其中正确的有 ．(将所有正确的序号填在横线上)．
（延伸应用）（3）如图3，AB =BC ，∠ABC =∠BDC =60°，试探究∠A 与∠C 的数量关系．
30．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线1l ，2l ，3l 上，90BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们
提出了很多想法：
（1）小明说：我只需要过B 、C 向1l 作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB 的长. （2）小林说：“我们可以改变ABC 的形状.如图2，AB AC =，120BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长.”
（3）小谢说：“我们除了改变ABC 的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC 三个顶点分别落在三条平行线1l ，2l ，3l 上，且1l 与2l 之间的距离为1，2l 与3l 之间的距离为2，求AB 的长、”
请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB 的长度.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】
解：A 、是轴对称图形，不符合题意；
B 、是轴对称图形，不符合题意；
C 、是轴对称图形，不符合题意；
D 、因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】
A.22
7
是有理数，不符合题意；
B.3π是无理数，符合题意；
C.4
-=-2，4
-是有理数，不符合题意；
D.327=3，327是有理数，不符合题意.
故选：B.
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
延长CE交AD于F，连接BD，先判定△ABC∽△CAF，即可得到CF=6.4，EF=CF-CE=1.4，再依据EF为△ABD的中位线，即可得出BD=2EF=2.8，最后根据∠ADB=90°，即可运用勾股定理求得AD的长．
【详解】
解：如图，延长CE交AD于F，连接BD，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵∠ACB=90°，CE为中线，
∴CE=AE=BE=1
2.5 2
AB=，
∴∠ACF=∠BAC，
又∵∠AFC=∠BCA=90°，∴△ABC∽△CAF，
∴CF AC
AC BA
=，即
4
45
CF
=，
∴CF=3.2，
∴EF=CF-CE=0.7，
由折叠可得，AC=DC，AE=DE，
∴CE垂直平分AD，
又∵E为AB的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴BD=2EF=1.4，
∵AE=BE=DE，
∴∠DAE=∠ADE，∠BDE=∠DBE，
又∵∠DAE+∠ADE+∠BDE+∠DBE=180°，∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=90°，
∴Rt△ABD中，
24
5
==，
故选：C．
【点睛】
本题考查了翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质等知识的综合运用，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，灵活运用所学知识解决问题．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据各象限的点的坐标的符号特征判断即可．
【详解】
∵-3＜0，2＞0，
∴点P（﹣3，2）在第二象限，
故选：B．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-），记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
5．C
解析：C 【解析】【分析】
首先根据等腰三角形的性质：等腰三角形的三线合一，求出DB=DC
1
2
=CB，AD⊥BC，再利
用勾股定理求出AD的长．
【详解】
∵AB=AC，AD是边BC上的中线，
∴DB=DC
1
2
=CB=3，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，
∵AD2+BD2=AB2，
∴AD==4．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与勾股定理的应用，做题的关键是根据等腰三角形的性质证出△ADB是直角三角形．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义有条件得出1－a>0,再由此利用二次根式的性质化简得出答案．【详解】
1
1a
-
有意义，
10
a
∴->，
10
a
∴-<，
(a
∴-==
故选C．
【点睛】
考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念，一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合,这样的图形叫做轴对称图形. 据此进行选择即可.
根据轴对称图形定义，图形A、C、D中不是轴对称图形,而B是轴对称图形.
故选B
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形的辨识,解答本题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念.
8．D
解析：D
【解析】
分析：根据轴对称图形的定义，寻找四个选项中图形的对称轴，发现只有D有一条对称轴，由此即可得出结论．
详解：A、不能找出对称轴，故A不是轴对称图形；
B、不能找出对称轴，故B不是轴对称图形；
C、不能找出对称轴，故C不是轴对称图形；
D、能找出一条对称轴，故D是轴对称图形．
故选D．
点睛：本题考查了轴对称图形，解题的关键是分别寻找四个选项中图形的对称轴．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过寻找给定图象有无对称轴来确定该图形是否是轴对称图形是关键．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据直角三角形的判定，符合a2+b2＝c2即可．
【详解】
解：A、因为42+52＝41≠62，所以以a、b、c为边的三角形不是直角三角形；
B、因为52+62≠82，所以以a、b、c为边的三角形不是直角三角形；
C、因为122+52＝132，所以以a、b、c为边的三角形是直角三角形；
D、因为12+12≠）2，所以以a、b、c为边的三角形不是直角三角形；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
设沿直线AM将△ABM折叠，点B正好落在x轴上的C点，则有AB＝AC，而AB的长度根据已知可以求出，所以C点的坐标由此求出；又由于折叠得到CM＝BM，在直角△CMO中根据勾股定理可以求出OM，也就求出M的坐标．
设沿直线AM将△ABM折叠，点B正好落在x轴上的C点，
∵直线y＝﹣4
3
x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（3，0），B（0，4），
∴AB＝22
3+4＝5，
设OM＝m，
由折叠知，AC＝AB＝5，CM＝BM＝OB+OM＝4+m，
∴OC＝8，CM＝4+m，
根据勾股定理得，64+m2＝（4+m）2，解得：m＝6，
∴M（0，﹣6），
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一次函数的图象，图形折叠的性质以及勾股定理，通过勾股定理，列方程，是解题的关键．
二、填空题
11．【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程的解为负数,求出a的范围即可【详解】
分式方程去分母得:2x+a=x+1
解得:x=1-a,
由分式方程解为负数,得到1-a<0,且1
解析：12
a a
>≠
且
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程的解为负数,求出a的范围即可
分式方程去分母得:2x+a=x+1
解得:x=1-a,
由分式方程解为负数,得到1-a<0,且1-a≠-1
解得:a＞1且a≠2,
故答案为: a＞1且a≠2
【点睛】
此题考查分式方程的解，解题关键在于求出x的值再进行分析
12．．
【解析】
【分析】
设C点坐标为（0，a），由勾股定理可表示出BC2和AC2，由△ABC是以AB为底的等腰三角形可知BC＝AC，据此可列出关于的方程，求解即可.
【详解】
解：设C点坐标为（0，
解析：11 8
．
【解析】
【分析】
设C点坐标为（0，a），由勾股定理可表示出BC2和AC2，由△ABC是以AB为底的等腰三角形可知BC＝AC，据此可列出关于a的方程，求解即可.
【详解】
解：设C点坐标为（0，a），
当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，BC＝AC，
平方得BC2＝AC2，即32+a2＝22+（4﹣a）2，
化简得8a＝11，
解得a＝11 8
．
故OC＝11 8
，
故答案为：11 8
．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离及等腰三角形的判定，灵活利用两点的坐标确定两点间距离是解题的关键.
13．【解析】
【分析】
利用平方根立方根定义计算即可．
∵，
∴的平方根是±，
故答案为±.
【点睛】
本题考查了方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键.注意：区别平方根和算术平方根
解析：2 3
【解析】
【分析】
利用平方根立方根定义计算即可．【详解】
∵
2
24
=
39⎛⎫
±
⎪
⎝⎭
，
∴4
9
的平方根是±
2
3
，
故答案为±2 3 .
【点睛】
本题考查了方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键.注意：区别平方根和算术平方根．一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．
14．【解析】
【分析】
原式通分并利用同分母分式的加法法则变形，把已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
解：∵x+2y＝2xy，
∴原式＝＝2，
故答案为：2
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟
解析：【解析】
【分析】
原式通分并利用同分母分式的加法法则变形，把已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
解：∵x+2y＝2xy，
∴原式＝
22
x y xy
xy xy
+
=＝2，
故答案为：2
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．70°或40°
【解析】
【分析】
分顶角是70°和底角是70°两种情况求解即可.
【详解】
当70°角为顶角,顶角度数即为70°;
当70°为底角时,顶角=180°-2×70°=40°.
答案为:
解析：70°或40°
【解析】
【分析】
分顶角是70°和底角是70°两种情况求解即可.
【详解】
当70°角为顶角,顶角度数即为70°;
当70°为底角时,顶角=180°-2×70°=40°.
答案为: 70°或40°.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理,属于基础题,若题目中没有明确顶角或底角的度数,做题时要注意分情况进行讨论,这是十分重要的,也是解答问题的关键. 16．26
【解析】
【分析】
根据题意，令，进而整理得到a，b的值即可得解.
【详解】
根据题意，令
整理得：
∴，解得：，∴，
故答案为：26.
【点睛】
本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握整式的
解析：26 【解析】
【分析】
根据题意，令322
2()(31)ax bx ax k x x +-=++-，进而整理得到a ，b 的值即可得解.
【详解】
根据题意，令3222()(31)ax bx ax k x x +-=++-
整理得：3232(3)(3)2ax k a x k a x k ax bx +++--=+- ∴3302k a b k a k +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得：6202a b k =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，∴26a b +=，
故答案为：26.
【点睛】
本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握整式的乘法运算方法及技巧是解决本题的关键. 17．【解析】
【分析】
过点C 作直线AB 的垂线段CD ，利用三角形的面积即可求出CD 的长.
【详解】
连接AC ，过点C 作CD ⊥AB ，则CD 的长最短，如图，
对于直线令y=0，则，解得x=-4，令x=0
解析：165
【解析】
【分析】
过点C 作直线AB 的垂线段CD ，利用三角形的面积即可求出CD 的长.
【详解】
连接AC ，过点C 作CD ⊥AB ，则CD 的长最短，如图，
对于直线334y x =+令y=0，则3304x +=，解得x=-4，令x=0，则y=3，
∴A(-4，0)，B(0，3)，
∴OA=4，OB=3，
在Rt △OAB 中，222AB OA OB =+
∴5 ∵C （0，-1），
∴OC=1，
∴BC=3+1=4， ∴1122ABC S BC AO AB CD ==,即1144=522
CD ⨯⨯⨯⨯， 解得，165CD =
. 故答案为：
165
. 【点睛】 此题主要考查了一次函数的应用以及三角形面积公式的运用，解答此题的关键是利用三角形面积相等求出CD 的长.
18．.
【解析】
【分析】
根据一次函数，，时图象经过第二、三、四象限，可得，，即可求解；
【详解】
经过第二、三、四象限，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为.
【点睛】
本题考查一次函数图象与系数的关系
解析：13k <<.
【解析】
【分析】
根据一次函数y kx b =+，k 0<，0b <时图象经过第二、三、四象限，可得220k -<，30k -<，即可求解；
【详解】
()223y k x k =-+-经过第二、三、四象限，
∴220k -<，30k -<，
∴1k >，3k <，
∴13k <<，
故答案为13k <<.
【点睛】
本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数y kx b =+，k 与b 对函数图象的影响是解题的关键．
19．10或
【解析】
【分析】
先求出的值，确定的关系式，然后根据一次函数图象上点的坐标特征求得点M 、N 的坐标，由两点间的距离公式求得MN ，MQ 的代数式，由已知条件，列出方程，借助于方程求得t 的值即可；
解析：10或
227 【解析】
【分析】
先求出k n ，的值，确定12l l ，的关系式，然后根据一次函数图象上点的坐标特征求得点M 、N 的坐标，由两点间的距离公式求得MN ，MQ 的代数式，由已知条件，列出方程，借助于方程求得t 的值即可；
【详解】
解：把()40A ，
代入到4y kx =+中得：440k +=，解得：1k =-， ∴1l 的关系式为：4y x =-+，
∵P 为AB 的中点，()40A ，
，()0,4B ∴由中点坐标公式得：()2,2P ，
把()2,2P 代入到12y x n =
+中得：1222n ⨯+=，解得：1n =， ∴2l 的关系式为：112
y x =+， ∵QM x ⊥轴，分别交直线1l ，2l 于点M N 、，()0Q t ，
， ∴(),4M t t -+,1
,12N t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
， ∴()1341322
MN t t t ⎛⎫=-+-+=- ⎪⎝⎭，44MQ t t =-+=-， ∵2MN MQ =, ∴33242
t t -=-， 分情况讨论得：
①当4t ≥时，去绝对值得：
()33=242
t t --， 解得：10t =；
②当24t ≤<时，去绝对值得：
()33=242
t t --， 解得：227
t =； ③当2t <时，去绝对值得：
()33=242
t t --， 解得：102t =>，故舍去；
综上所述：10t =或227
t =； 故答案为：10或227
． 【点睛】
本题属于一次函数综合题，需要熟练掌握待定系数法确定函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式等知识点，能够表示出线段的长度表达式，合理的使用分类讨论思想是解决本题的关键，有一定的难度．
20．2
【解析】
解析：2
【解析】
4=22k k ⇒=
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）①y=-7x-42；② (2,0）或（5，-9）
【解析】
【分析】
（1）根据△ABC 为等腰直角三角形，AD ⊥ED ，BE ⊥ED ，可判定△ACD ≌△CBE ；
（2）①过点B 作BC ⊥AB ，交l 2于C ，过C 作CD ⊥y 轴于D ，根据△CBD ≌△BAO ，得出BD=AO=6，CD=OB=8，求得C （-8，14），最后运用待定系数法求直线l 2的函数表达式；②根据△APD 是以点D 为直角顶点的等腰直角三角形，当点D 是直线y=-3x+6上的动点且在y 轴的右侧时，分两种情况：当点D 在矩形AOCB 的内部或边上时，当点D 在矩形AOCB 的外部时，设D （x ，-3x+6），分别根据△ADE ≌△DPF ，得出AE=DF ，据此列出方程进行求解即可．
【详解】
解：（1）证明：如图1，∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴CB=CA，∠ACD+∠BCE=90°，
又∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D=∠E=90°，∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ACD与△CBE中，
D E
ACD EBC
CA CB
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）①如图2，过点B作BC⊥AB，交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，
∵∠BAC=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
由（1）可知：△CBD≌△BAO，
∴BD=AO，CD=OB，
∵直线l1：y＝
4
3
x＋8中，若y=0，则x=-6；若x=0，则y=8，
∴A（-6，0），B（0，8），
∴BD=AO=6，CD=OB=8，
∴OD=8+6=14，
∴C（-8，14），
设l2的解析式为y=kx+b，则
148
06
k b
k b
=-+
⎧
⎨
=-+
⎩
解得
7
42
k
b
=-
⎧
⎨
=-
⎩
∴l2的解析式：y=-7x-42；
②D（2，0），（5，-9）
理由：当点D是直线y=-3x+6上的动点且在y轴右侧时时，分两种情况：
当点D在矩形AOCB的内部或边上时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设D（x，-3x+6），则OE=3x-6，AE=6-（3x-6）=12-3x，DF=EF-DE=8-x，
由（1）可得，△ADE≌△DPF，则DF=AE，
即：12-3x=8-x，
解得2x=4，x=2，
∴-3x+6=0，
∴D（2，0），即点D为直线y=-3x+6与x轴交点，
此时，PF（PC）=ED（OD）=2，AO=6=CD，符合题意；
准确图形如下：
当点D在矩形AOCB的外部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设D（x，-3x+6），则OE=3x-6，AE=OE-OA=3x-6-6=3x-12，DF=EF-DE=8-x，
同理可得：△ADE≌△DPF，则AE=DF，
即：3x-12=8-x，
解得x=5，
∴-3x+6=-9，
∴D（5，-9），
此时，ED=PF=5，AE=BF=DF=3，BP=PF-BF=5-3=2 ＜6，点P在线段BC上，符合题意．
【点睛】
本题考查一次函数综合题，主要考查点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角
形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）ABC ∠与EOF ∠的数量关系是
2180ABC EOF ∠+∠=，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用基本作图作∠ABC 的平分线；利用基本作图作BC 的垂直平分线，即可完成； （2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作OH ⊥AB 于H ，
用角平分线的性质证明OH=OG ，BH=BG ，继而证明EH =DG ，然后可证明OEH ODG ∆≅∆,于是可得到OE=OD ；
（3）作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥CB 于G ，在CB 上取CD=BE ，利用(2)得到 CD=BE ，
OEH ODG ∆≅∆，OE=OD ，EOH DOG ∠=∠,180ABC HOG ∠+∠=,可证明EOD HOG ∠=∠,故有180ABC EOD ∠+∠=,由△BEF 的周长=BC 可得到DF=EF,于是可证明OEF OGF ∆≅∆,所以有EOF DOF ∠=∠,然后可得到ABC ∠与EOF ∠的数量关系.
【详解】
解：（1）如图，就是所要求作的图形；
（2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作OH ⊥AB 于H ，
∵BO 平分∠ABC ，OH ⊥AB ，OG 垂直平分BC ，
∴OH=OG ，CG=BG ，
∵OB=OB,
∴OBH OBG ∆≅∆,
∴BH=BG ，
∵BE=CD ，
∴EH=BH-BE=BG-CD=CG-CD=DG，
在OEH
∆和ODG
∆中,
90
OH OG
OHE OGD
EH DG
=
⎧
⎪
∠=∠=
⎨
⎪=
⎩
,
∴OEH ODG
∆≅∆,
∴OE=OD．
（3）ABC
∠与EOF
∠的数量关系是2180
ABC EOF
∠+∠=，理由如下；
如图 ，作OH⊥AB于H，OG⊥CB于G，在CB上取CD=BE，
由(2)可知，因为 CD=BE，所以OEH ODG
∆≅∆且OE=OD，
∴EOH DOG
∠=∠,180
ABC HOG
∠+∠=,
∴EOD EOG DOG EOG EOH HOG
∠=∠+∠=∠+∠=∠,
∴180
ABC EOD
∠+∠=,
∵△BEF的周长=BE+BF+EF=CD+BF+EF=BC
∴DF=EF,
在△OEF和△OGF中,
OE OD
EF FD
OF OF
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
,
∴OEF OGF
∆≅∆,
∴EOF DOF
∠=∠,
∴2
EOD EOF
∠=∠,
∴2180
ABC EOF
∠+∠=.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质，还考查了基本作图．熟练掌握相关性质作出辅助线是解题关键，属综合性较强的题目，有一定的难度，需要有较强的解题能力.
23．（1）A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条；（2）80．
【解析】
【分析】
（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，根据数量=总价
÷单价结合用3120元购买A 型芯片的条数与用4200元购买B 型芯片的条数相等，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买a 条A 型芯片，则购买（200﹣a ）条B 型芯片，根据总价=单价×数量，即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
（1）设B 型芯片的单价为x 元/条，则A 型芯片的单价为（x ﹣9）元/条，根据题意得： 312042009x x
=-， 解得：x ＝35，
经检验，x ＝35是原方程的解，
∴x ﹣9＝26．
答：A 型芯片的单价为26元/条，B 型芯片的单价为35元/条．
（2）设购买a 条A 型芯片，则购买（200﹣a ）条B 型芯片，根据题意得：
26a +35（200﹣a ）＝6280，
解得：a ＝80．
答：购买了80条A 型芯片．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24．49
- 【解析】
【分析】
原式利用零指数幂法则，平方根、立方根定义计算即可求出值．
【详解】
解：原式＝1+2﹣49
+（﹣3） ＝﹣
49
． 【点睛】 本题考查了实数的运算，涉及到了零指数幂、平方根、立方根定义，熟练掌握法则是解题的关键
25．证明见解析.
【解析】
【分析】
欲证明AB =AC ，只要证明∠ABC =∠ACB 即可，根据“HL ”证明Rt △BDE ≌Rt △CDF ，由全等三角形的性质可证∠EBD =∠FCD ，再由等腰三角形的性质∠DBC =∠DCB ，从而可证∠ABC =∠ACB .
【详解】
∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴∠BED=∠CFD=90°．
在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，
∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），
∴∠EBD=∠FCD ，
∵BD=CD ，
∴∠DBC=∠DCB ，
∴∠DBC+∠EBD=∠DCB+∠FCD ，
即∠ABC=∠ACB ，
∴AB=AC ． 【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 四、压轴题
26．（1）b=72；（2）①△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为S=﹣32t +272或S=32t ﹣272
；②7＜t ＜9或9＜t ＜11，③存在，当t 的值为3或9+2或9﹣2或6时，△APQ 为等腰三角形．
【解析】
分析：（1）把P (m ,3)的坐标代入直线1l 的解析式即可求得P 的坐标，然后根据待定系数法即可求得b ；
（2）根据直线2l 的解析式得出C 的坐标，①根据题意得出9AQ t =-，然后根据12
P S AQ y =⋅即可求得APQ 的面积S 与t 的函数关系式；②通过解不等式273322t -<或327 3.22
t -<即可求得7<t <9或9<t <11.时，APQ 的面积小于3；③分三种情况：当PQ =PA 时,则()()()2222(71)032103,t -++-=++-当AQ =PA 时,则
()()222(72)2103,t --=++-当PQ =AQ 时,则()222(71)03(72)t t -++-=--，
即可求得．
详解：解;(1)∵点P (m ,3)为直线l 1上一点，
∴3=−m +2，解得m =−1，
∴点P 的坐标为(−1,3)，
把点P 的坐标代入212y x b =+ 得,()1312
b =⨯-+，
解得72b =
； (2)∵72
b =； ∴直线l 2的解析式为y =12x +72，
∴C 点的坐标为(−7,0)，
①由直线11:2l y x =-+可知A (2,0)，
∴当Q 在A . C 之间时，AQ =2+7−t =9−t ， ∴11273(9)32222
S AQ yP t t =
⋅=⨯-⨯=-； 当Q 在A 的右边时，AQ =t −9， ∴11327(9)32222
S AQ yP t t ；=⋅=⨯-⨯=- 即△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为27322S t =
-或327.22S t =- ②∵S <3， ∴
273322t -<或327 3.22
t -< 解得7<t <9或9<t <11. ③存在；
设Q (t −7,0)，
当PQ =PA 时,则()()()222
2(71)032103,t -++-=++-
∴22(6)3t -=,解得t =3或t =9(舍去)， 当AQ =PA 时,则()()222(72)2103,t --=++-
∴2(9)18,t -=解得9t =+9t =- 当PQ =AQ 时,则()2
22(71)03(72)t t -++-=--，
∴22(6)9(9)t t -+=-， 解得t =6.
故当t 的值为3或9+9-6时，△APQ 为等腰三角形．
点睛：属于一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质以及三角形的面积,分类讨论是解题的关键.
27．（1）A ，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；（2）点D 的坐标是141,3⎛⎫-
⎪⎝⎭；（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据非负数的性质得出二元一次方程组，求解即可；
（2）过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作
y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，根据三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积）列出方程，求解得出点C 的坐标，由平移的规律可得点D 的坐标；
（3）过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，根据两直线平行，内错角相等与已知条件得出3BCD CEF ∠=∠，同样可证OGP OPE ∠=∠，由平移的性质与平行公理的推论可得FEP OGP ∠=∠，最后根据
CEP CEF FEP ∠=∠+∠，通过等量代换进行证明．
【详解】
解：（1）210a b --=，
又∵|21|0a b --≥0， |21|0a b ∴--=
0=，即210280
a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解方程组2128a b a b -=⎧⎨+=⎩得23
a b =⎧⎨=⎩， A ∴，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；
（2）如图，过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，
∴三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积），
根据题意得，11195(2||)232(2||)5||222t t t ⎡⎤=⨯+-⨯⨯+
⨯⨯++⨯⨯⎢⎥⎣⎦， 化简，得3||42
t =， 解得，83
t =±
， 依题意得，0t <， 83t ∴=-，即点C 的坐标为82,3⎛⎫-- ⎪⎝
⎭， ∴依题意可知，点C 的坐标是由点A 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143个单位长度得到的，从而可知，点D 的坐标是由点B 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143
个单位长度得到的， ∴点D 的坐标是141,3⎛⎫- ⎪⎝
⎭；
（3）证明：过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，如图所示，
则ECD CEF ∠=∠，
2BCE ECD ∠=∠，
33BCD ECD CEF ∴∠=∠=∠，
过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，如图所示，
则OGP BPE ∠=∠，
PE 平分OPB ∠，
OPE BPE ∴∠=∠，
OGP OPE ∴∠=∠，
由平移得//CD AB ，
//OG FE ∴，
FEP OGP ∴∠=∠，
FEP OPE ∴∠=∠，
CEP CEF FEP ∠=∠+∠，
CEP CEF OPE ∴∠=∠+∠，
CEF CEP OPE ∴∠=∠-∠，
3()BCD CEP OPE ∴∠=∠-∠．
【点睛】
本题综合性较强，考查非负数的性质，解二元一次方程组，平行线的性质，平移的性质，坐标与图形的性质，第（3）题巧作辅助线构造平行线是解题的关键．
28．（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；。