新教材2020-2021学年4.5函数的应用(二)4.5.3函数模型的应用 课件
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第四章 指数函数与对数函数
【对点练习】❷ 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研 究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 v(单位：m/s)与其耗氧量单位数 Q 之间 的关系可以表示为函数 v＝klog31Q00＋b，其中 k，b 为常数．已知一条鲑 鱼在静止时的耗氧量为 100 个单位；而当它的游速为 1.5 m/s 时，其耗氧 量为 2 700 个单位．
[错解] 设该企业所能获取的最大利润为z万元，则 z＝20x－(10＋2x＋2x2)，即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5， 故z的最大值为30.5，即该企业所能获取的最大利润为30.5万元．
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第四章 指数函数与对数函数
[错因分析] 题目中的条件已经暗示了x为自然数，而该错解中却是 在x＝4.5时取到的最大值30.5，这种情况在实际中是无法操作的．
[解析] 由题意，繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋ 1)，这种动物第1年有100只，
所以100＝alog2(1＋1)， 所以a＝100， 所以y＝100log2(x＋1)， 所以当x＝7时y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.
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第四章 指数函数与对数函数
t＝21时，y＝2，即
1
2＝e2
k，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.
当 t＝2 时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.
即经过 5 小时，1 个细菌通过繁殖个数变为 1 024.
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第四章 指数函数与对数函数
3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设 这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到___3_0_0__只．
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第四章 指数函数与对数函数
(2)当 x＝10 时，y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7， 故 10 年后该县人口总数约有 112.7 万人． (3)设 x 年后该县人口总数将达到 120 万人， 即 y＝100(1＋1.2%)x＝120， 解得 x＝log1.012112000≈16. 故大约 16 年后该县的人口总数将达到 120 万人．
2．某种细菌经30分钟个数变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律
为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个
数 ， 则 k ＝ ____2_ln__2___ ， 经 过 5 小 时 ， 1 个 细 菌 通 过 繁 殖 个 数 变 为
__1__0_2_4____.
[解析]
由题意知，当Байду номын сангаас
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第四章 指数函数与对数函数
1．建立拟合函数模型的步骤 (1)收集数据． (2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图． (3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型． (4)选择其中的几组数据求出函数模型． (5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实 际，若不符合实际，则返回步骤(3)，若符合实际，则进入下一步． (6)用所得函数模型解释实际问题．
第四章 指数函数与对数函数
[解析] (1)当x＝1时， y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%) 当 x ＝ 2 时 ， y ＝ 100(1 ＋ 1.2%) ＋ 100(1 ＋ 1.2%)×1.2% ＝ 100(1 ＋ 1.2%)2； 当 x ＝ 3 时 ， y ＝ 100(1 ＋ 1.2%)2 ＋ 100(1 ＋ 1.2%)2×1.2% ＝ 100(1 ＋ 1.2%)3； …… 故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
[分析] 解指数方程，要进行指对式互化．
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第四章 指数函数与对数函数
[解析] 由 2011 年世界人口数据，把 y0＝70，r＝0.002 1 代入马尔萨 斯人口模型，得 y＝70e0.002 1t.
解不等式 y＝70e0.002 1t≥140 得 t≥0.0ln022 1≈330. 所以由马尔萨斯人口模型估算，经过 330 年后，即 2341 年世界人口 达到 140 亿．
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第四章 指数函数与对数函数
[解析] 画出散点图如图所示：
由图可知上述散点大致在函数y＝log2x上，故函数y＝log2x可以近似 地反映这些数据的规律．
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第四章 指数函数与对数函数
关键能力·攻重难
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第四章 指数函数与对数函数
题型探究 题型一 指数函数模型的应用
例 1 2011年10月31日世界人口达到70亿，假设世界人口年增长率 为2.1‰，用英国经济学家马尔萨斯提出自然状态下的人口增长模型：y＝ y0ert预测什么时候世界人口会翻一番？
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数应用(二)
4.5.3 函数模型的应用
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第四章 指数函数与对数函数
必备知识·探新知
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第四章 指数函数与对数函数
基础知识 知识点1 指数函数与对数函数模型
指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
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第四章 指数函数与对数函数
[解析] (1)由题意，x0＝2，x＝8 100， 得 v＝21log38110000－lg 2＝1.7， 故此时候鸟的飞行速度为 1.7 km/min. (2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是 0，可得，0＝21log310x0 －lg 5， 即 log310x0＝2lg 5，解得：x＝466， 故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量为 466 个单位．
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第四章 指数函数与对数函数
【对点练习】❶ 目前某县有100万人．经过x年后为y万人．如果年平 均增长率是1.2%.请回答下列问题：
(1)写出y关于x的函数解析式； (2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．
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第四章 指数函数与对数函数
[归纳提升] 对数型函数问题的类型及解法 (1)对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数型函数模 型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解． (2)对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模 型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题， ④得出结论．
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第四章 指数函数与对数函数
知识点3 拟合函数模型问题 定量分析和研究实际问题时，要深入调查、研究、了解对象信息，
作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学 模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这 个建立数学模型的全过程，就称为数学建模．根据收集的数据或给出的 数据画出散点图，然后选择函数模型，并求出函数解析式，再进行拟 合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合)．
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第四章 指数函数与对数函数
2．建立拟合函数模型的一般流程 根据建立拟合函数模型的步骤， 我们用如图来表示建立拟合函数模型 的一般流程．
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第四章 指数函数与对数函数
基础自测
1．某厂2008年的产值为a万元，预计产值每年以n%的速度递增，则
该厂到2020年的产值(单位：万元)是( B )
4．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数
据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下 5 个模拟函数： ①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x； ⑤y＝(12)x＋1.74. 请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应 选__④____(填序号)．
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第四章 指数函数与对数函数
知识点2 解函数应用题的基本思路与步骤 1．建立函数模型解决实际问题的基本思路
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第四章 指数函数与对数函数
2．建立函数模型解决实际问题的解题步骤 某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为 y.它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答 案．具体解题步骤为： 第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型．了解变量的含义， 若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定． 第二步，求解数学模型．利用数学知识，如函数的单调性、最值 等，对函数模型进行解答． 第三步，转译成实际问题的解．
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第四章 指数函数与对数函数
(3)设雄鸟的耗氧量为 x1，雌鸟的耗氧量为 x2， 由题意得：2.5＝21log31x010－lg x0，
1.5＝12log31x020－lg x0， 两式相减可得 1＝12log3xx21，解得：xx21＝9， 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的 9 倍．
所以游速 v 与其耗氧量单位数 Q 之间的函数解析式 v＝12log31Q00.
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第四章 指数函数与对数函数
(2)由题意，有12log31Q00≤2.5，即 log31Q00≤5， 所以 log31Q00≤log335， 由对数函数的单调性有 0<1Q00≤35， 解得 0<Q≤24 300， 故当一条鲑鱼的游速不高于 2.5 m/s 时，其耗氧量至多需要 24 300 个 单位．
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第四章 指数函数与对数函数
误区警示 忽视实际问题对定义域的限制致误
例 3 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示 为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为x(件)时的成本函 数为y＝10＋2x＋2x2(万元)，如果售出一件商品的价格是20万元，那么该 企业所能获取的最大利润是多少？
[正解] 设该企业所能获取的最大利润为z万元，则z＝20x－(10＋2x ＋2x2)(x∈N)，即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5，故当x＝4或5 时，z取最大值30，即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为 30万元．
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第四章 指数函数与对数函数
题型二 对数函数模型的应用 例 2 有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科
学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数 v＝12log310x0－lg x0， 单位是 km/min，其中 x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0 代表测量过 程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg 2＝0.30,31.2＝3.74,31.4＝ 4.66)．
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第四章 指数函数与对数函数
(1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度 是多少km/min?
(2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？ (3) 若 雄 鸟 的 飞 行 速 度 为 2.5 km/min ， 同 类 雌 鸟 的 飞 行 速 度 为 1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ [分析] (1)将x0，x代入解析式求速度． (2)利用候鸟休息的速度为0解题． (3)利用对数运算，两式相减构成耗氧量的商．
A．a(1＋n%)13
B．a(1＋n%)12
C．a(1＋n%)11
D．a(1－n%)12
[解析] 2008年的产值为a万元，2009年的产值为a＋a·n%＝a(1＋
n%)，2010年的产值为a(1＋n%)＋a(1＋n%)·n%＝a(1＋n%)2，…，2020
年的产值为a(1＋n%)12.
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第四章 指数函数与对数函数
(1)求出游速 v 与其耗氧量单位数 Q 之间的函数解析式； (2)求当一条鲑鱼的游速不高于 2.5 m/s 时，其耗氧量至多需要多少个 单位．
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第四章 指数函数与对数函数
[解析]
(1)由题意可得10.＝5＝k·lko·lgo3g1130020017＋0000b＋，b，
解得 k＝21，b＝0，
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第四章 指数函数与对数函数
[归纳提升] 指数型函数问题的类型及解法 (1)指数型函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关 人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来 表示． (2)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立 数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学 问题，④得出结论．
第四章 指数函数与对数函数
【对点练习】❷ 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研 究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 v(单位：m/s)与其耗氧量单位数 Q 之间 的关系可以表示为函数 v＝klog31Q00＋b，其中 k，b 为常数．已知一条鲑 鱼在静止时的耗氧量为 100 个单位；而当它的游速为 1.5 m/s 时，其耗氧 量为 2 700 个单位．
[错解] 设该企业所能获取的最大利润为z万元，则 z＝20x－(10＋2x＋2x2)，即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5， 故z的最大值为30.5，即该企业所能获取的最大利润为30.5万元．
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第四章 指数函数与对数函数
[错因分析] 题目中的条件已经暗示了x为自然数，而该错解中却是 在x＝4.5时取到的最大值30.5，这种情况在实际中是无法操作的．
[解析] 由题意，繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋ 1)，这种动物第1年有100只，
所以100＝alog2(1＋1)， 所以a＝100， 所以y＝100log2(x＋1)， 所以当x＝7时y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.
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第四章 指数函数与对数函数
t＝21时，y＝2，即
1
2＝e2
k，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.
当 t＝2 时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.
即经过 5 小时，1 个细菌通过繁殖个数变为 1 024.
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第四章 指数函数与对数函数
3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设 这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到___3_0_0__只．
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第四章 指数函数与对数函数
(2)当 x＝10 时，y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7， 故 10 年后该县人口总数约有 112.7 万人． (3)设 x 年后该县人口总数将达到 120 万人， 即 y＝100(1＋1.2%)x＝120， 解得 x＝log1.012112000≈16. 故大约 16 年后该县的人口总数将达到 120 万人．
2．某种细菌经30分钟个数变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律
为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个
数 ， 则 k ＝ ____2_ln__2___ ， 经 过 5 小 时 ， 1 个 细 菌 通 过 繁 殖 个 数 变 为
__1__0_2_4____.
[解析]
由题意知，当Байду номын сангаас
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第四章 指数函数与对数函数
1．建立拟合函数模型的步骤 (1)收集数据． (2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图． (3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型． (4)选择其中的几组数据求出函数模型． (5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实 际，若不符合实际，则返回步骤(3)，若符合实际，则进入下一步． (6)用所得函数模型解释实际问题．
第四章 指数函数与对数函数
[解析] (1)当x＝1时， y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%) 当 x ＝ 2 时 ， y ＝ 100(1 ＋ 1.2%) ＋ 100(1 ＋ 1.2%)×1.2% ＝ 100(1 ＋ 1.2%)2； 当 x ＝ 3 时 ， y ＝ 100(1 ＋ 1.2%)2 ＋ 100(1 ＋ 1.2%)2×1.2% ＝ 100(1 ＋ 1.2%)3； …… 故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
[分析] 解指数方程，要进行指对式互化．
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第四章 指数函数与对数函数
[解析] 由 2011 年世界人口数据，把 y0＝70，r＝0.002 1 代入马尔萨 斯人口模型，得 y＝70e0.002 1t.
解不等式 y＝70e0.002 1t≥140 得 t≥0.0ln022 1≈330. 所以由马尔萨斯人口模型估算，经过 330 年后，即 2341 年世界人口 达到 140 亿．
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第四章 指数函数与对数函数
[解析] 画出散点图如图所示：
由图可知上述散点大致在函数y＝log2x上，故函数y＝log2x可以近似 地反映这些数据的规律．
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第四章 指数函数与对数函数
关键能力·攻重难
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第四章 指数函数与对数函数
题型探究 题型一 指数函数模型的应用
例 1 2011年10月31日世界人口达到70亿，假设世界人口年增长率 为2.1‰，用英国经济学家马尔萨斯提出自然状态下的人口增长模型：y＝ y0ert预测什么时候世界人口会翻一番？
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数应用(二)
4.5.3 函数模型的应用
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第四章 指数函数与对数函数
必备知识·探新知
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第四章 指数函数与对数函数
基础知识 知识点1 指数函数与对数函数模型
指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
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第四章 指数函数与对数函数
[解析] (1)由题意，x0＝2，x＝8 100， 得 v＝21log38110000－lg 2＝1.7， 故此时候鸟的飞行速度为 1.7 km/min. (2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是 0，可得，0＝21log310x0 －lg 5， 即 log310x0＝2lg 5，解得：x＝466， 故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量为 466 个单位．
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第四章 指数函数与对数函数
【对点练习】❶ 目前某县有100万人．经过x年后为y万人．如果年平 均增长率是1.2%.请回答下列问题：
(1)写出y关于x的函数解析式； (2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．
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第四章 指数函数与对数函数
[归纳提升] 对数型函数问题的类型及解法 (1)对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数型函数模 型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解． (2)对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模 型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题， ④得出结论．
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第四章 指数函数与对数函数
知识点3 拟合函数模型问题 定量分析和研究实际问题时，要深入调查、研究、了解对象信息，
作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学 模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这 个建立数学模型的全过程，就称为数学建模．根据收集的数据或给出的 数据画出散点图，然后选择函数模型，并求出函数解析式，再进行拟 合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合)．
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2．建立拟合函数模型的一般流程 根据建立拟合函数模型的步骤， 我们用如图来表示建立拟合函数模型 的一般流程．
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基础自测
1．某厂2008年的产值为a万元，预计产值每年以n%的速度递增，则
该厂到2020年的产值(单位：万元)是( B )
4．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数
据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有如下 5 个模拟函数： ①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x； ⑤y＝(12)x＋1.74. 请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应 选__④____(填序号)．
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第四章 指数函数与对数函数
知识点2 解函数应用题的基本思路与步骤 1．建立函数模型解决实际问题的基本思路
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2．建立函数模型解决实际问题的解题步骤 某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为 y.它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答 案．具体解题步骤为： 第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型．了解变量的含义， 若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定． 第二步，求解数学模型．利用数学知识，如函数的单调性、最值 等，对函数模型进行解答． 第三步，转译成实际问题的解．
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第四章 指数函数与对数函数
(3)设雄鸟的耗氧量为 x1，雌鸟的耗氧量为 x2， 由题意得：2.5＝21log31x010－lg x0，
1.5＝12log31x020－lg x0， 两式相减可得 1＝12log3xx21，解得：xx21＝9， 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的 9 倍．
所以游速 v 与其耗氧量单位数 Q 之间的函数解析式 v＝12log31Q00.
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(2)由题意，有12log31Q00≤2.5，即 log31Q00≤5， 所以 log31Q00≤log335， 由对数函数的单调性有 0<1Q00≤35， 解得 0<Q≤24 300， 故当一条鲑鱼的游速不高于 2.5 m/s 时，其耗氧量至多需要 24 300 个 单位．
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误区警示 忽视实际问题对定义域的限制致误
例 3 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示 为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为x(件)时的成本函 数为y＝10＋2x＋2x2(万元)，如果售出一件商品的价格是20万元，那么该 企业所能获取的最大利润是多少？
[正解] 设该企业所能获取的最大利润为z万元，则z＝20x－(10＋2x ＋2x2)(x∈N)，即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5，故当x＝4或5 时，z取最大值30，即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为 30万元．
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第四章 指数函数与对数函数
题型二 对数函数模型的应用 例 2 有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科
学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数 v＝12log310x0－lg x0， 单位是 km/min，其中 x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0 代表测量过 程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg 2＝0.30,31.2＝3.74,31.4＝ 4.66)．
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第四章 指数函数与对数函数
(1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度 是多少km/min?
(2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？ (3) 若 雄 鸟 的 飞 行 速 度 为 2.5 km/min ， 同 类 雌 鸟 的 飞 行 速 度 为 1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ [分析] (1)将x0，x代入解析式求速度． (2)利用候鸟休息的速度为0解题． (3)利用对数运算，两式相减构成耗氧量的商．
A．a(1＋n%)13
B．a(1＋n%)12
C．a(1＋n%)11
D．a(1－n%)12
[解析] 2008年的产值为a万元，2009年的产值为a＋a·n%＝a(1＋
n%)，2010年的产值为a(1＋n%)＋a(1＋n%)·n%＝a(1＋n%)2，…，2020
年的产值为a(1＋n%)12.
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第四章 指数函数与对数函数
(1)求出游速 v 与其耗氧量单位数 Q 之间的函数解析式； (2)求当一条鲑鱼的游速不高于 2.5 m/s 时，其耗氧量至多需要多少个 单位．
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第四章 指数函数与对数函数
[解析]
(1)由题意可得10.＝5＝k·lko·lgo3g1130020017＋0000b＋，b，
解得 k＝21，b＝0，
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第四章 指数函数与对数函数
[归纳提升] 指数型函数问题的类型及解法 (1)指数型函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关 人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来 表示． (2)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立 数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学 问题，④得出结论．