拉普拉斯变换
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n
1 L(e ) = , p−a
at
a L (sin at ) = 2 , 2 p +a
p L(cos at ) = 2 p + a2
2)线性性质 2)线性性质
L(α f + β g ) = α L( f ) + β L( g )
3) 微分性质 若 F ( p ) = L[ f ( t )], 则
e
−t
例 设 y = y (t ) ，求解常微分方程的初值 问题:
y ' → pF ( p ) − y (0) = pF ( p)
1 → p +1
y ' ' → p F ( p ) − py (0 ) − y ' (0 ) = p F ( p ) − 1
2
2
于是原方程变为
1 p F ( p ) − 1 + 2 pF ( p ) − 3F ( p ) = p +1
l nπ at sin = l nπ a
1 U n ( p) = Fn ( p ) 2 2 2 a nπ 2 p + l2 nπ at l sin = L L( f n ( t )) l nπ a nπ at l 利用卷积性质 = L sin ∗ fn (t ) l nπ a
U ( x, p) = 1 3 1 2 1 1 p x + x + − 3− . 3 2 3p p 1+ p 3 p p
L( t n ) = n! , n = 0,1, L n +1 p
解常微分方程得
取拉普拉斯逆变换， 对 p 取拉普拉斯逆变换，得
1 3 2 1 2 2 u ( x , y ) = x y + x f ' ( t )] = pF ( p ) − f ( 0 ) ,
L[ f ''( t )] = p2F ( p) − p f ( 0) − f '( 0) ,
L[ f
( n)
( t )] = p F ( p ) − p f ( 0) − p ( n−1) L− f ( 0) .
n n−1
( n − 2)
L f n ( t ) Fn ( p ) . →
则原方程变为
a 2 n2π 2 vn ( t ) = f n ( t ) vn '' ( t ) + 2 l v ( 0 ) = 0, v ' ( 0 ) = 0. n n
a 2 n2π 2 p2U n ( p ) + U n ( p ) = Fn ( p) 2 l
e − pt , t ∈ ( 0, ∞ ) , 拉普拉斯变换的积分核为
L : f ( t ) → F ( p ) = ∫ f ( t ) e − pt dt .
0
∞
其中 f ( t ) 在 [0, +∞ ) 上有定义, 且积分
∫
∞
0
f ( t ) e − pt dt .
的某个区域内收敛。 在复参数 p 的某个区域内收敛。 记作： 记作： F ( p ) = L[ f ( t )]
拉普拉斯变换 傅立叶变换要求函数 f 在 ( −∞ , ∞ )有定义并且绝对 可积。很多常见函数，如常函数，多项式， 可积。很多常见函数，如常函数，多项式，三角 函数等都不满足条件。 函数等都不满足条件。以时间 t 为自变量的函数 也无意义。 在区间 ( −∞ ,0) 也无意义。这些都限制了傅立叶变 换的应用。为此引入拉普拉斯 变换。 换的应用。为此引入拉普拉斯 (Laplace) 变换。
若 F ( p ) 是 f ( t ) 的拉普拉斯变换，则 f ( t ) 称为 F ( p ) 的拉普拉斯逆变换，记作：
f ( t ) = L−1[ F ( p )]
基本性质： 基本性质： 1)基本变换: 1)基本变换: 基本变换
n! L( t ) = n+1 , n = 0,1, 2L , p
从而
vn ( t ) = L (U n ( p)) l nπ at sin = L L ∗ fn (t ) l nπ a l nπ at sin = ∗ fn (t ) nπ a l
−1
−1
y ' '+2 y '−3 y = e − t y |t =0 = 0, y ' |t =0 = 1 解 对 t 进行拉普拉斯变换, 设 y(t ) → F ( p ) , 则
L f ( t − s ) = e − ps F ( p )
8) 卷积性质 L ( f ∗ g ) = L ( f ) L ( g )
其中
( f ∗ g ) ( t ) = ∫0 f ( s ) g ( t − s )ds
t
应用： 应用：拉普拉斯变换既适用于常微分方程 (如 P38 ), 如 也适用于偏微分方程。 也适用于偏微分方程。 解常微分方程的初值问题: 例 解常微分方程的初值问题:
1 Un ( p) = F ( p) 2 2 2 n a nπ 2 p + 2 l
对 p 进行拉普拉斯逆变换, 考虑到 进行拉普拉斯逆变换,
a L 2 = sin at , 从而 2 p +a
−1
1 −1 L a 2 n2π 2 p2 + l2
nπ a l −1 l L = a 2 n2π 2 nπ a p2 + l2
f ' ( 0) −
4) 积分性质
t f ( s ) ds = 1 F ( p ) L ∫ 0 p
5) 对拉普拉斯变换求导
F
6) 位移性质 7) 延迟性质
(n)
( p ) = L[( − t ) f ( t )]
n
L e at f ( t ) = F ( p − a )
2
由上式得:
3 1 1 1 1 1 F ( p) = − − 8 p −1 4 p +1 8 p + 3
对 F ( p ) 进行拉普拉斯逆变换, 得
3 t 1 − t 1 −3t y (t ) = e − e − e 8 4 8
dU 2 x x 2 = + 3. dx p p
p , 而 u | x =1 = cos y 变为 U ( x, p) |x=1 = 2 1+ p
2 naπ vn ''( t ) + vn ( t ) = fn ( t ) , n = 1,2,... l v 0 = v '(0) = 0 n( ) n
进行进行拉普拉斯变换, 解：对 t 进行进行拉普拉斯变换 设
L vn ( t ) U n ( p ) , →
1 L(e ) = , p−a
at
a L (sin at ) = 2 , 2 p +a
p L(cos at ) = 2 p + a2
2)线性性质 2)线性性质
L(α f + β g ) = α L( f ) + β L( g )
3) 微分性质 若 F ( p ) = L[ f ( t )], 则
e
−t
例 设 y = y (t ) ，求解常微分方程的初值 问题:
y ' → pF ( p ) − y (0) = pF ( p)
1 → p +1
y ' ' → p F ( p ) − py (0 ) − y ' (0 ) = p F ( p ) − 1
2
2
于是原方程变为
1 p F ( p ) − 1 + 2 pF ( p ) − 3F ( p ) = p +1
l nπ at sin = l nπ a
1 U n ( p) = Fn ( p ) 2 2 2 a nπ 2 p + l2 nπ at l sin = L L( f n ( t )) l nπ a nπ at l 利用卷积性质 = L sin ∗ fn (t ) l nπ a
U ( x, p) = 1 3 1 2 1 1 p x + x + − 3− . 3 2 3p p 1+ p 3 p p
L( t n ) = n! , n = 0,1, L n +1 p
解常微分方程得
取拉普拉斯逆变换， 对 p 取拉普拉斯逆变换，得
1 3 2 1 2 2 u ( x , y ) = x y + x f ' ( t )] = pF ( p ) − f ( 0 ) ,
L[ f ''( t )] = p2F ( p) − p f ( 0) − f '( 0) ,
L[ f
( n)
( t )] = p F ( p ) − p f ( 0) − p ( n−1) L− f ( 0) .
n n−1
( n − 2)
L f n ( t ) Fn ( p ) . →
则原方程变为
a 2 n2π 2 vn ( t ) = f n ( t ) vn '' ( t ) + 2 l v ( 0 ) = 0, v ' ( 0 ) = 0. n n
a 2 n2π 2 p2U n ( p ) + U n ( p ) = Fn ( p) 2 l
e − pt , t ∈ ( 0, ∞ ) , 拉普拉斯变换的积分核为
L : f ( t ) → F ( p ) = ∫ f ( t ) e − pt dt .
0
∞
其中 f ( t ) 在 [0, +∞ ) 上有定义, 且积分
∫
∞
0
f ( t ) e − pt dt .
的某个区域内收敛。 在复参数 p 的某个区域内收敛。 记作： 记作： F ( p ) = L[ f ( t )]
拉普拉斯变换 傅立叶变换要求函数 f 在 ( −∞ , ∞ )有定义并且绝对 可积。很多常见函数，如常函数，多项式， 可积。很多常见函数，如常函数，多项式，三角 函数等都不满足条件。 函数等都不满足条件。以时间 t 为自变量的函数 也无意义。 在区间 ( −∞ ,0) 也无意义。这些都限制了傅立叶变 换的应用。为此引入拉普拉斯 变换。 换的应用。为此引入拉普拉斯 (Laplace) 变换。
若 F ( p ) 是 f ( t ) 的拉普拉斯变换，则 f ( t ) 称为 F ( p ) 的拉普拉斯逆变换，记作：
f ( t ) = L−1[ F ( p )]
基本性质： 基本性质： 1)基本变换: 1)基本变换: 基本变换
n! L( t ) = n+1 , n = 0,1, 2L , p
从而
vn ( t ) = L (U n ( p)) l nπ at sin = L L ∗ fn (t ) l nπ a l nπ at sin = ∗ fn (t ) nπ a l
−1
−1
y ' '+2 y '−3 y = e − t y |t =0 = 0, y ' |t =0 = 1 解 对 t 进行拉普拉斯变换, 设 y(t ) → F ( p ) , 则
L f ( t − s ) = e − ps F ( p )
8) 卷积性质 L ( f ∗ g ) = L ( f ) L ( g )
其中
( f ∗ g ) ( t ) = ∫0 f ( s ) g ( t − s )ds
t
应用： 应用：拉普拉斯变换既适用于常微分方程 (如 P38 ), 如 也适用于偏微分方程。 也适用于偏微分方程。 解常微分方程的初值问题: 例 解常微分方程的初值问题:
1 Un ( p) = F ( p) 2 2 2 n a nπ 2 p + 2 l
对 p 进行拉普拉斯逆变换, 考虑到 进行拉普拉斯逆变换,
a L 2 = sin at , 从而 2 p +a
−1
1 −1 L a 2 n2π 2 p2 + l2
nπ a l −1 l L = a 2 n2π 2 nπ a p2 + l2
f ' ( 0) −
4) 积分性质
t f ( s ) ds = 1 F ( p ) L ∫ 0 p
5) 对拉普拉斯变换求导
F
6) 位移性质 7) 延迟性质
(n)
( p ) = L[( − t ) f ( t )]
n
L e at f ( t ) = F ( p − a )
2
由上式得:
3 1 1 1 1 1 F ( p) = − − 8 p −1 4 p +1 8 p + 3
对 F ( p ) 进行拉普拉斯逆变换, 得
3 t 1 − t 1 −3t y (t ) = e − e − e 8 4 8
dU 2 x x 2 = + 3. dx p p
p , 而 u | x =1 = cos y 变为 U ( x, p) |x=1 = 2 1+ p
2 naπ vn ''( t ) + vn ( t ) = fn ( t ) , n = 1,2,... l v 0 = v '(0) = 0 n( ) n
进行进行拉普拉斯变换, 解：对 t 进行进行拉普拉斯变换 设
L vn ( t ) U n ( p ) , →