黑龙江省绥化市三校度高二上学期期末联考 数学理科试题

绥化市三校2014-2015学年度第一学期期末联考
高二数学理科试题
试卷说明：
1、本试卷满分150分，答题时间120分钟。

2、请将答案直接填涂在答题卡上，考试结束只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 满分60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.)
1．复数z ＝－3＋i
2＋i
的共轭复数是( )
A ．－1＋i
B ．－1－i
C ．2＋i
D ．2－i 2．已知命题p ：∃x 0∈C ，x 20＋1<0，则 ( ) A ．¬p ：∀x ∈C ，x 2＋1≤0 B ．¬p ：∀x ∈C ，x 2＋1<0 C ．¬p ：∀x ∈C ，x 2＋1≥0
D ．¬p ：∀x ∈C ，x 2＋1>0
3．某单位有职工75人，其中青年职工35人，中年职工25人，老年职工15人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本容量为15，则样本中的青年职工人数为 ( )
A ．7
B ．15
C ．25
D ．35 4．已知一个家庭有两个小孩，则两个孩子都是女孩的概率为( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．23
5．双曲线x 2
－y 2
m
＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )
A ．m >1
2 B ．m ≥1 C ．m >1 D ．m >2
6．下列命题中，假命题．．．
是( ) A ．若命题p 和q 满足p ∨q 为真，p ∧q 为假，，则命题p 与q 必一真一假 B ．互为逆否命题的两个命题真假相同
C ．“事件A 与B 互斥”是“事件A 与B 对立”的必要不充分条件
D ．若f (x ) =2x ，则f ′(x )＝x ·2x －
1
7．阅读右面的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是( )
A ．5 049
B ．5 050
C ．5 051
D ．5 052
8．用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 的值，当x ＝3时，v 3的值为( ) A ．789 B ．262 C ．86 D ．27
9．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。

现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：x 216＋y 2
9
＝1，点A 、B 是它的两个焦
点，当静止的小球放在A 点处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的路程可能是( )
A ．2(4－7)
B ．2(4＋7)
C ．16
D ．以上均有可能 10．函数y ＝x 3－3x ＋k 有三个不同的零点，则k 的取值范围是( )
A ． (2，＋∞)
B ．(－2，2)
C ．(－∞，－,2)
D ．[－2，2] 11．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (3)＝0，则不等式f (x )g (x )>0的解集是( )
A ．(－∞，－3)∪(0,3)
B ．(－3,0)∪(0,3)
C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D ． (－3,0)∪(3，＋∞) 12．已知函数若对任意，恒成立，则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13、抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件为出现奇数点，事件为出现2点，已知，则出现奇数点或2点的概率为________．
14、方程),(01622
2
R b a b ax x ∈=+--，若，则方程没有实根的概率为 15、已知{}{}
A b A a b ax x R x
B A ∈∈=+-∈==,,0,3,2,12
，则的概率是
16、已知圆1)sin 2()cos 2(:221=-+-θθy x C 与圆，在下列说法中：
①对于任意的，圆与圆始终有四条公切线； ②对于任意的，圆与圆始终相切；
③分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4．
④直线)(0)52()2(3)3(2:R m m y m x m l ∈=+-+++与圆一定相交于两个不同的点；其中正确命题的序号为_________________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17（本小题满分10分)
数列{a n }满足(n ∈N *)，且，
(I)计算a 2、a 3、a 4，并推测a n 的表达式；
(II) 请用数学归纳法证明你在(I)中的猜想。

18（本小题满分12分）
某校为了了解学生的数学学习情况，以5%的比例随机抽取20位学生,根据他们的期中考试数学成绩作出频率分布直方图如右图所示,其中成绩分组区间是：、、、、，
(I) 求图中的值，并根据频率分布直方图估计该校成绩落在[50,60)中的学生人数； (II) 从样本中成绩在[50,70)的学生中人任选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率。

19（本小题满分12分）
已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (2，－4)，
(I)求抛物线C 的方程，并求其准线l 的方程；
(II)若点B (0,2)，求过点B 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l 的方程。

20（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝1
3
x 3－ax 2＋bx ，其中a 、b 是实数，
(I)已知a ∈{0,1,2}，b ∈{0,1,2}，求事件A ：“f (x )是R 上的单调增函数”发生的概率； (II)若f (x )是R 上的奇函数，且b ＝－4, 求f (x )的单调区间与极值。

21（本小题满分12分）
已知椭圆E 与双曲线焦点相同，且过点， (I) 求椭圆E 的方程；
(II) 直线AB 和直线CD 均过原点且互相垂直，若四点都在椭圆E 上，求四边形ACBD 面积S 的取值范围。

22（本小题满分12分）
已知函数f (x )=(a ＋1)ln x ＋x 2－x ，
(I)当时，求曲线在点处的切线方程； (II) 讨论函数的单调性；
(III) 设,如果对任意,均有1212()()3f x f x x x ->-，求的取值范围。

高二数学理科试题答案
一、选择题：1-5 BCAAC 6-10 DABDB 11-12 DC
二、填空题
17．解(I) a2＝; a3＝; a4＝,由此猜想a n＝(n∈N*) …5分
(II)证明：①当n＝1时，a1＝0，结论成立，
②假设n＝k(k≥1,且k∈N*)时结论成立,即a k＝,当n＝k＋1时,a k＋1＝
11(1)1
1
21
2
k
k
k
a k
k
+-
==
-
-+
-
∴当n＝k＋1时结论成立，由①②，对于一切的正整数n∈N*，a n＝成立…………10分18．解：(I)由题可知组距为10，(2a＋2a＋3a＋6a＋7a)×10＝1，解得a＝0.005 …………3分
该校总人数为400，由图,知落在[50,60)的频率为2a×10＝0.1，由此估计该范围内的人数为40 …6分
(II)记[50,60)范围内的有2人，[60,70)范围内的有3人，从5人选2人共有10种情况，且每种情况等可能出现，
其中2人成绩都在[60,70)范围内的有3种情况，因此所求概率为
3
10………12分
19．解：(I)由题，抛物线C的方程为y2＝8x，其准线l方程为x＝－2；…………4分
(II)由题，①当直线l的斜率不存在时，y轴符合题意，其方程为x＝0；
②如果直线l的斜率为0，y＝2符合题意；
③如果直线l的斜率存在且不为0，则设直线l的方程为y＝kx＋2，由得ky2－8y＋16＝0，
由Δ＝64－64k＝0得k＝1，故直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0，
因此，直线l的方程为x＝0或y＝2或x－y＋2＝0。

（用其他方法解答的请酌情给分）…………12分
20．解：(I) 当a∈{0,1,2}，b∈{0,1,2}时，等可能发生的基本事件(a，b)共有9个，
事件A即f′(x)＝x2－2ax＋b≥0恒成立，即a2≤b,包含5个基本事件,即事件A发生的概率为; ……6分
(II) f(x)＝1
3x
3－4x，f′(x)＝x2－4，由f′(x)＝0可知x＝±2，列表如下：
f (x )在x ＝－2处取得极大值；f (x )在x ＝2处取得极小值。

…………12分 21．(I)由题可设椭圆E ： (a>b>0)，其中2222
4254,
19a b a b -=+=，解得， 即椭圆E 的方程为； …………4分
(II)由题，分两类讨论：①若为椭圆E 的顶点，则S=， …………6分 ②112233441(,),(,),(,),(,),(0),A x y B x y C x y D x y AB y kx k CD y x k
=≠=-
设直线:则直线:
22
22
1(59)45,||95x y k x AB y kx
⎧+=⎪+==⎨⎪=⎩
由得故有同理,，
S=1||||2AB CD =
0)k =≠ ，S ，
由①②，四边形ACBD 面积S 的取值范围是（用其他方法解答的请酌情给分） ……12分 22．解：(I)由题，时，，故所求切线方程为3x －y －3＝0； ………4分
(II) f (x )定义域为， f ′(x )＝212121a x x a x x x
+-+++-=
，18(1)87a a ∆=-+=--， ①时，f (x )在上为增函数；
②时，f (x )
增区间为)+∞
，减区间为;
③时，f (x )增区间为，减区间为; …8分
(III) 由(II)，时， f (x )在上为增函数，不妨设，则有1212()()3()f x f x x x ->-，即
1122()3()3f x x f x x ->-恒成立。