2020年一般高等学校招生全国统一考试模拟卷(文科数学含答案详解)

2020年一般高等学校招生全国统一考试模拟卷（1）
文科数学
本试题卷共6页，23题（含选
考题）。

全卷总分值150分。

考试历
时120分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小
题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1
．
已
知
集
合(){}
,2M x y x y =+=，
(){},2N x y x y =-=，那么集合
M N =（ ）
A ．{}0,2
B ．()2,0
C ．
(){}0,2
D ．(){}
2,
0 【答案】D 【解析】解方程组2
2
x y x y +=-=⎧⎨
⎩，得
2
0x y =⎧⎨=⎩
．故(){}2,0M N =．选D ．
2．设复数12i z =+（i 是虚数单位），那么在复平面内，复数2
z 对应的点的坐标为（ ）
A ．()3,4-
B ．()5,4
C ．
【答案】A 【
解
析】
()2
212i 12i 144i 34i
z z =+⇒=+=-+=-+，因此复数2
z 对应的点为()3,4-，应选
A ．
3．元朝闻名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如下图，即最终输出的0x =，那么一开始输入的x 的值为（ ）
A ．
34
B ．
78
C ．
【答案】C
【解析】1i =， （1）21,2x x i =-=， （2）
()221143,3x x x i =--=-=，
（3）
()243187,4x x x i =--=-=，
（4）
()28711615,5x x x i =--=-=，
因此输出16150x -=，得15
16
x =，应选C ．
4．已知
()cos 2cos 2ααπ⎛⎫
+=π- ⎪⎝⎭，那么
tan 4απ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．4-
B ．4
C ．1
3
-
D ．13 【答案】C 【解析】因为
()cos 2cos 2ααπ⎛⎫
+=π- ⎪⎝⎭
，因此
sin 2cos tan 2ααα-=-⇒=，
因此
1tan 1tan 41tan 3αααπ-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭
，应选C ．
5．已知双曲线
22
22
1x y
a b -=()0,0a b >>的一个核心为(
F -的方程为（ ）
A ．2
213x y -= B ．2
2
13
y x -= C ．22
1
3y x -=
D ．2
2
13
x y -= 【答案】B
【解析】令22
220x y a b
-=，解得
b
y x a =±，故双曲线的渐近线方程为
b
y x a
=±．
由题意得2
222 b
a c c a
b ===+⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
，解得22
1
3
a b ==⎧⎨⎩，∴该双曲线的方程为2
2
13
y x -=．选B ．
6．某家具厂的原材料费支出x 与销售量
y （单位：万元）之间有如下数
据，依照表中提供的全数数据，用最小二乘法得出
y 与x 的线性回归方程为
ˆ8ˆy
x b =+，那么ˆb 为（ ） A ．5 B ．15
C ．12
【答案】C
【解析】由题意可得：
24568
55x ++++=
=，
2535605575
525
y ++++=
=，
回归方程过样本中心点，那么：
ˆ5285b
=⨯+，1ˆ2b ∴=．此题选择C 选项．
7．已知
()201720162018201721
f x x x x =++
++，以下程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）
开始
i =1,n =2018结束
i ≤2017？
是
否
输入x 0
S =2018
输出S
S =Sx 0
S =S+n
i =i +1
A ．2018n i =-
B ．2017n i =-
C ．2018n i =+
D ．
2017n i =+ 【答案】A
【解析】不妨设01x =，要计算
()120182017201621f =+++
++，
第一201812018S =⨯=，下一个应该加2017，再接着是加2016，故应填2018n i =-．
8．设π
02
x <<，那么“2cos x x <”
是“cos x x ＜”的（ ）
A ．充分而没必要要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】作图cos y x =，2y x =，
y x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，可得2
cos x x <解
集为,
2m π⎛⎫ ⎪⎝⎭，cos x x <解集为,2n π⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为,
2m π⎛⎫ ⎪⎝
⎭,2n π⎛⎫
⊂ ⎪⎝⎭
，因此选A ． 9．如图为正方体
1111ABCD A BC D -，动点
M 从1B 点起身，在正方体表
面上沿逆时针方向运动一周
后，再回到1B 的运动进程中，点M 与平面11A DC 的距离维持不变，运动的路程
x 与11l MA MC MD =++之间知足函
数关系()l f x =
，那么此函数图象大致
是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】取线段1B A 中点为N ，
计算得：
1112
6232
N B l NA NC ND l =++=+
<+==．同理，当N 为线段
AC或
1
CB
的中点时，计算得
1
11
2
N B
l NA NC ND l
=++=<+
，符合C项的图象特点．应选C．
10．已知双曲线E：
22
22
1
x y
a b
-=
(0,0)
a b
>>的右极点为A，右核心为
F，B为双曲线在第二象限上的一点，B
关于坐标原点O的对称点为C，直线CA
与直线BF的交点M恰好为线段BF的
中点，那么双曲线的离心率为（）
A．
1
2
B．
1
5
C．2 D．3
【答案】D
【解析】不妨设
2
,
b
B c
a
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
，由
此可得(),0
A a，
2
,
b
C c
a
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，(),0
F c，
2
0,
2
b
M
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，由于A，C，M三点共线，
故
22
2
b b
a a
a a c
=
--
，化简得3
c a
=，故离心
率3
e=．
11．已知点()
4,3
A和点()
1,2
B，
点O为坐标原点，那么
()
OA tOB t
+∈R的最小值为（
）
A．B．5
C．3 D
【答案】D
【解析】由题意可得：()
4,3
OA=，
()
1,2
OB=，那么：
()()()
4,31,24,32
OA tOB t t t
+=+=++=
，
结合二次函数的性质可得，当
2
t=-时，
min
OA tOB
+==
．
此题选择D选项．
12．已知椭圆
()
22
111
22
11
:10
x y
C a b
a b
+=＞＞与双曲线
()
22
222
22
22
:10,0
x y
C a b
a b
-=＞＞有相同
的核心
12
,F F，假设点P是
1
C与
2
C在第
一象限内的交点，且
122
2
F F PF
=，设
1
C与
2
C的离心率别离为
1
e，
2
e，那么
21
e e
-的取值范围是（）
A．
1
,
3
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭B．
1
,
3
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
C．
1
,
2
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭
【答案】D
【解析】设
12
2
F F c
=，令
1
PF t=，由题意可得：
2
2
t c a
-=，
1
2
t c a
+=，
据此可得：
12
a a c
-=，那么：
12
11
1
e e
-=，2
2
1
e
e
e
=
+
，
那么：
2
2221222222
1
1111
e e e e e e e e e -=-==
++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由21e >可得：2
1
01e <
<， 结合二次函数的性质可得：
()2
22
11
0,1e e ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 那么：211
2
e e ->
，即21e e -的取值范围是1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
．此题选择D 选项．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部份。

第(13)~(21)题为必考题，每一个试题考生都必需作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生依照要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，
每题5分。

13．已知平面向量a 与b 的夹角为
3
π
，且1=b ，223+=a b ，那么=a __________．
【答案】2 【解析】
223+=a b ，2
212∴+=a b ，即
224412+⋅+=a a b b ，
2
241cos 604112
∴+⨯⨯︒+⨯=a a ，化简得：2
280+-=a a ，2∴=a ．
14．假设是1P ，2P ，…，10P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，10x ，是抛物
线C 的核心，假设121010x x x +++=，
那么1210PF P F P F ++
+=
_________．
【答案】20
【解析】由抛物线方程2
4y x =，可得2p =．
则
1
2101222
p p
PF P F P F x x +++=+
++++
，
故答案为：20．
15．假设x ，y 知足约束条件
20
40 2x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩
≥≤≥，那么
1y x +的取值范围为__________．
【答案】2,23⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
【解析】画出不等式组表示的可
行域（如图阴影部份所示）．
1
y
x +表示可行域内的点()
,M
x y
与点()1,0P
-连线的斜率． 由40
2x y y +-=⎧⎨=⎩
，解得2 2x y =⎧⎨=⎩，
故得()2,2B
；
由20
2
x y y ++=⎧⎨
=⎩，解得0 2x y =⎧⎨=⎩，
故得()0,2A
．
因此可得2PA k =，2
3
PB k =
， 结合图形可得1
y
x +的取值范围
为2,23⎡⎤⎢
⎥⎣⎦．答案：2,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． 16．在三棱椎P ABC -中，底面
ABC 是等边三角形，侧面PAB 是直角
三角形，且2PA PB ==，PA AC ⊥，那么该三棱椎外接球的表面积为________．
【答案】12π
【解析】由于PA PB =，
CA CB =，PA AC ⊥，那么PB CB ⊥，
因此取PC 中点O ，那么有
OP OC OA OB ===，即O 为三棱锥P ABC -外接球球心，又由
2PA PB ==，
得AC AB ==因
此
PC =
=2
412S =π⨯
=π．
三、解答题：解许诺写出文字
说明、证明进程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 知足
2n n S a n =-()*n ∈N ．
（1）证明：{}1n a +是等比数列； （2）求13521
...n a a a a +++++()*
n ∈N ．
【答案】（1）证明观点析；（2）
23235
3
n n +--．
【解析】（1）由1121S a =-得：
11a =，···········1分
因为
()()()
11221n n n n S S a n a n ---=----()2n ≥，
因此121n n a a -=+，···········3分 从而由()1121n n a a -+=+得
11
21
n n a a -+=+()2n ≥，·
··········5分 因此{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．···········6分
（2）由（1）得21n n a =-，·
··········8分 因此
()
()
321135212221n n a a a a n +++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+(
)()1
214114
n n +-=
-+-
23235
3
n n +--=．···········12分
18．“双十二”是继“双十一”以后的又一个网购狂欢节，为了刺激“双十二”的消费，某电子商务公司决定对“双十一”的网购者发放电子优惠券．为此，公司从“双十一”的网购消费者顶用随机抽样的方式抽取了100人，将其购物金额（单位：万元）依照[)0.1,0.2，[
)0.2,0.3，，[]
0.9,1分组，取得如下频率散布直方图：
依照调查，该电子商务公司制定了发放电子优惠券的方法如下：
（1）求购物者取得电子优惠券金额的平均数；
（2）从这100名购物金额很多于0．8万元的人中任取2人，求这两人的购物金额在～万元的概率．
【答案】（1）64（元）；（2）10
21
．
【解析】（1）购物者取得50元优惠券的概率为：
()1.52 2.50.10.6++⨯=，·
···1分 购物者取得100元优惠券的概率为：()1.50.50.10.2+⨯=，···········2分
购物者取得200元优惠券的概率为：()0.50.20.10.07+⨯=，···········3分
∴取得优惠券金额的平均数为：
500.61000.22000.0764
⨯+⨯+⨯=（元）．····6分
（2）这100名购物者购物金额很多于万元的共有7人，不妨记为A ，B ，
C ，
D ，
E ，
F ，
G ，其中购物金额
在～万元有5人（为A ，B ，C ，D ，
E ），利用画树状图或列表的方法易知
从购物金额很多于0．8万元7人被选2人，有21种可能；这两人来自于购物金额在0．8～0．9万元的5人，共有10种可能，
因此，相应的概率为
10
21
．···········12分 19．如图，在直三棱柱
111ABC A B C -中，,D E 别离是棱,BC AB 的中点，点F 在1CC 棱上，且
AB AC =，13AA =，2BC CF ==．
（1）求证：1C E ∥平面ADF ； （2）当2AB =时，求三棱锥
1A DEF -的体积．
【答案】（1）观点析；（2）3
12
．
【解析】（1）连接CE 交AD 于点P ，连接PF ，
由D ，E 别离是棱BC ，AB 中点，故点P 为ABC ∆的重心，···········2分
∴在1CC E △中，有
12
3
CP CF CE CC ==， ∴1PF EC ∥，·
·········4分 又1EC ⊄平面ADF ，∴1C E ∥平面ADF ，···········6分
（2）取1AA 上一点H 使
12AH HA =，
∵12CF FC =且直三棱柱
111ABC A B C -，
∴HF AC ∥，∵,D E 为中点， ∴DE AC ∥，DE HF ∥，HF ∥平面1A DE ，·
··········8分 ∴
1111A DEF F A DE H A DE D A HE V V V V ----===，
···········9分
而111
1122
EHA S ∆=
⨯⨯=， 点D 到平面11AA B B 的距离等于
32
， ∴
111133
32212
D A H
E A DE
F V V --=⨯⨯==，
∴三棱锥1A DEF -的体积为
312
．···········12分 20．已知椭圆
22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的两个核心
与短轴的一个端点连线组成等边三角形，且椭圆C 的短轴长为23．
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）是不是存在过点()0,2P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，
N ，且知足2OM ON ⋅=（O 为坐标原
点）假设存在，求出直线l 的方程；假设不存在，请说明理由．
【答案】(1)22
143
x y +=；(2)答案
观点析．
【解析】（1
）由题意得：
22222 b a c a b c ===+⎧⎪
⎨⎪⎩
，·
··········2分
解得2
a b ⎧==⎪⎨
⎪⎩C 的标准
方程是22
143
x y +=···········4分 （2）当直线l
的斜率不存在时，
(M
，(0,N
3OM ON ⋅=-，不符合题
意···········5分
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，()11,M x y ，
()22,N x y
由2
2
1 432x y
y kx +
==+⎧⎪⎨⎪⎩
消y 整理得：()2
2
341640k x
kx +++=，
()()2
21616340k k ∆=-+>，
解得12k <-或1
2
k >，···········6分
122
1634k
x x k +=-
+，
122
4
34x x k =
+，···········7分
∴1212OM ON x x y y ⋅=+=
()()2
12
12124k x x
k x x ++++
(
)222
2
22
413216124343434k k k k k k +-=
-
+=
+++，···········9分
∵2OM ON ⋅=，∴
2
2
1612234k k
-=+，···········10分
解得2
k =±
，知足0∆>，···········11分
因此存在符合题意的直线，其方
程为2y x =+．·
··········12分 21．已知函数
()2ln f x x ax x =-+，a ∈R ．
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）已知0a >，假设函数()0f x ≤恒成立，
试确信a 的取值范围． 【答案】（1）答案观点析；（2）
[)1,+∞．
【解析】（1）由
()2ln f x x ax x =-+，得：
()221
ax x f x x
-++'=
，0x >，······1分
当0a ≤时，()0f x '>在
()0,+∞上恒成立，函数()f x 在
()0,+∞上单调递增；·
········3分 当0a >时，令()'0f x =，那么
2
210ax x -++=
，得1x =
，2x =
∵121
02x x a
=-<，∴120x x <<，
∴令()0f x '>得()20,x x ∈，令
()0f x '<得()2,x x ∈+∞，
∴()f x
在⎛ ⎝⎭
上单
调递增，在⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
上单调递减．········6分
（2）由（1）可知，当0a >时，函数()f x 在()20,x 上单调递增，在
()2,x +∞上单调递减，
∴()()2max f x f x =，即需
()20f x ≤，即
2222ln 0x ax x -+≤，·
··········8分 又由()20f x '=得2
2
212
x ax +=，
代入上面的不等式得
222ln 1x x +≤，···········9分
由函数()2ln h x x x =+在
()0,+∞上单调递增，()11h =，因此
201x <≤，·······10分
∴
2
1
1x ≥，∴2222221111122x a x x x ⎛⎫
+=
=+ ⎪⎝⎭
≥， 因此a 的取值范围是
[)1,a ∈+∞．·
··········12分 请考生在2二、23题中任选一
题作答,假设是多做,那么按所做的第一题计分。

22．【选修4－4：坐标系与参
数方程】
在平面直角坐标系xOy 中，以原
点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度成立极坐标系，已知曲线
1C ：221x y +=，直线l ：
()cos sin 4ρθθ-=．
（1）将曲线1C 上所有点的横坐标、纵坐标别离伸长为原先的2
取得曲线2C ，请写出直线l ，和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）假设直线1l 通过点()1,2P
且
1l l ∥，1l 与曲线2C 交于点,M N ，求
PM PN ⋅的值．
【答案】（1）4x y -=，
22
143
x y ''+=；（2）2． 【解析】（1）因为l ：
()cos sin 4ρθθ-=，因此l 的直角坐标方程为4x y -=；·········2分
设曲线2C 上任一点坐标为
(),x y ''
，那么2 x x
y '=⎧⎪⎨
'=⎪⎩
，因此2x x y ⎧
⎪⎪⎨'
==⎪⎪⎩
， 代入1C
方程得：
2
212x '⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此2C 的方程为22
143
x y ''+=．···········5分 （2）直线l ：4x y -=倾斜角为
4
π
，由题意可知， 直线1l
的参数方程为
1 22
x y t ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数），·
(7)
分
联立直线1l 和曲线2C
的方程得，
2
7702
t ++=．设方程的两根为12,t t ，那么122t t =，由直线参数t 的几
何意义可知，
122PM PN t t ⋅==．···········10分
23．【选修4-5：不等式选讲】
已知函数()211f x x x =-++． （1）解不等式()3f x ≤； （2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，假设t M ∈，证明：
23
13t t t
++≥．
【答案】(1){|11}x x -≤≤；（2）观点析．
【解析】(1)依题意，得
()31121 2132x x f x x x x x ⎧
⎪--⎪
⎪
=-<<⎨⎪
⎪
⎪⎩
≤≥，··········
·2分
于是得()1
3 33x f x x -⎧=⎨-⎩
≤≤≤或
11 223x x ⎧-<<-⎪⎨
⎪⎩≤或1 233
x x ⎧
⎪⎨⎪⎩≥
≤，··········4分 解得11x -≤≤，即不等式
()3f x ≤的解集为
{|11}x x -≤≤．·
··········5分 （2）
()()1212221g x f x x x x x =++=-++--
≥，
当且仅当()()21220x x -+≤时，取等号，∴[
)3,M =+∞，···········7分
由
()()
2322
3133331t t t t t t t t t t
-+-+--+-==
，···········8分
∵t M ∈，∴30t -≥，210t +>，
∴
()()
2310t t t
-+≥，∴
23
13t t t
++≥．···········10分。