2019-2020学年山东省泰安市数学高二下期末经典试题含解析

2019-2020学年山东省泰安市数学高二下期末经典试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将5名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有x 种不同的方案；若每项比赛至少要安排一人时，则共有y 种不同的方案，其中x y +的值为（ ） A ．543 B ．425 C ．393 D ．275
【答案】C 【解析】
分析：根据题意，易得5名同学中每人有3种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．第二种先分组再排列，问题得以解决．
详解：5名同学报名参加跳绳、接力，投篮三项比赛，每人限报一项，每人有3种报名方法，根据分步计数原理，x=53=243种，
当每项比赛至少要安排一人时，先分组有（11354322C C C A ⋅⋅+221
5312
2
C C C A ⋅⋅）=25种，再排列有3
3A =6种，所以y=25×6=150种， 所以x+y= 1． 故选：C ．
点睛：排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏． 2．已知函数log (8)a y ax =-(其中0a >，1a ≠)在区间[1,4]上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．1
(0,)2
C ．1(,1)2
D ．(1,2)
【答案】D 【解析】 【分析】
分类讨论a 的范围，根据真数的符号以及单调性，求出a 的范围． 【详解】
解：函数y ＝log a （8﹣ax ）（其中a ＞0，a ≠1）在区间[1，4]上单调递减， 当a ＞1时，由函数t ＝8﹣ax 在区间[1，4]上单调递减且t ＞0， 故8﹣4a ＞0，求得1＜a ＜1．
当0＜a ＜1时，由函数t ＝8﹣ax 在区间[1，4]上单调递减，
可得函数y ＝log a （8﹣ax ）在区间[1，4]上单调递增，这不符合条件． 综上，实数a 的取值范围为（1，1），
【点睛】
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，属于中档题．
3．空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对应如下表所示：AQI0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 300以上
空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某城市2018年12月全月的指AQI数变化统计图．
根据统计图判断，下列结论正确的是（）
A．整体上看，这个月的空气质量越来越差
B．整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量
C．从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差
D．从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得，AQI指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.
【详解】
从整体上看，这个月AQI数据越来越低，故空气质量越来越好；故A，B不正确；
从AQI数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C正确；
从AQI数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D不正确．
故选C．
本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型.
4．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（ ） A ．5种 B ．6种
C ．7种
D ．8种
【答案】B 【解析】
由分步计数原理得，可选方式有2×3＝6种．故选B ． 考点：分步乘法计数原理．
5．己知函数()f x =若3(1og )2
f a =,则a =( ) A ．
13
B ．
14 C ．
12
D ．2
【答案】D 【解析】
分析：首先将自变量代入函数解析式，利用指对式的运算性质，得到关于参数a 的等量关系式，即可求得结果.
详解：根据题意有3(log )f a ===
， 解得2a =，故选D.
点睛：该题考查的是已知函数值求自变量的问题，在求解的过程中，需要对指数式和对数式的运算性质了如指掌.
6．给出下列三个命题：(1)如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；(2)一个平面内的任意一条直线都与另一个平面不相交，则这两个平面平行；(3)一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
根据面面平行的位置关系的判定依次判断各个命题的正误，从而得到结果. 【详解】
（1）若一个平面内有无数条互相平行的直线平行于另一个平面，两个平面可能相交，则（1）错误； （2）平面内任意一条直线与另一个平面不相交，即任意一条直线均与另一个平面平行，则两个平面平行，（2）正确；
（3）若不共线的三点中的两点和另一个点分别位于平面的两侧，此时虽然三点到平面距离相等，但两平
面相交，（3）错误. 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查面面平行相关命题的辨析，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 7．复数22cos sin 33
z i ππ
=+在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B 【解析】 因2cos
0,sin 033ππ，故复数2cos sin 33
z i ππ=+对应的点在第二象限，应选答案B ． 8．函数()2
4ln x f x x
=的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
判断函数的奇偶性，排除B ，确定01x <<时函数值的正负，排除C ，再由x →+∞时函数值的变化趋势排除D ．从而得正确结论． 【详解】
因为()24ln x f x x =是偶函数，排除B ，当01x <<时，ln 0x <，()2
04ln x f x x
=
<，排除C ， 当x e =时()2
14
e
f e =>，排除D .
故选：A. 【点睛】
本题考查由解析式选图象，可能通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等排除一些选项，通过特殊的函数值、特殊点如与坐标轴的交点，函数值的正负等排除一些，再可通过函数值的变化趋势又排除一些，最多排除三次，剩下的最后一个选项就是正确选项． 9．设随机变量X 的分布列为P(X ＝i)＝a(13
)i
，i ＝1，2，3，则a 的值为( ) A ．1 B ．
9
13
C ．1113
D ．2713
【答案】D 【解析】 【分析】
根据分布列中所有概率和为1求a 的值. 【详解】 因为P(X ＝i)＝a(13
)i ，i ＝1，2，3，所以11127
()1392713a a ++=∴=，选D.
【点睛】
本题考查分布列的性质，考查基本求解能力.
10．某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响.现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为（ ） A ．0.5 B ．0.48
C ．0.4
D ．0.32
【答案】B 【解析】 【分析】
事件“第一次投进球”和“第二次投进球”是相互独立的，利用对立事件和相互独立事件可求“其中一名同学得2分”的概率. 【详解】
设“第一次投进球”为事件A ，“第二次投进球”为事件B ，则得2分的概率为
()()0.4p P AB P AB =+=⨯0.60.60.40.48+⨯=.故选B .
【点睛】
本题考查对立事件、相互独立事件，注意互斥事件、对立事件和独立事件三者之间的区别，互斥事件指不同时发生的事件，对立事件指不同时发生的事件且必有一个发生的两个事件，而独立事件指一个事件的发生与否与另一个事件没有关系.
11．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，则
U
A
（ ）
A ．∅
B ．{}1,3
C ．{}2,4,5
D ．{}1,2,3,4,5
【答案】C 【解析】 【分析】
根据补集的定义可得结果. 【详解】
因为全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，所以根据补集的定义得{}2,4,5U
A =，故选C.
【点睛】
若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．
12．曲线324y x x =-+在点(1
3)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．60°
C ．45°
D ．120°
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
324y x x =-+求导得：2'32y x =-
在点(1,3)处的切线斜率即为导数值1. 所以倾斜角为45°. 故选C.
二、填空题：本题共4小题
13．曲线21y x =-与坐标轴及2x =所围成封闭图形的面积是__________． 【答案】8
3
【解析】
分析：首先利用定积分表示曲边梯形的面积，然后计算定积分． 详解：曲线2
1y x =-与两坐标轴及2x =所围成的图形的面积为
21
2
2
3311
21118(1)(1)()().11333x dx x dx x x x x --------⎰⎰＝＝ 即答案为
8
3
． 点睛：本题考查了定积分的运用求曲边梯形的面积；正确利用定积分表示是关键． 14．已知角()0απα-＜＜的终边与单位圆交点的横坐标是
13，则cos 2πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值是 ．
【答案】3
【解析】
试题分析：由题意得1cos ,0,sin cos()sin 3323
παπαααα=
-<<∴=-∴+=-=
. 考点：三角函数的定义；同角三角函数的基本关系式；诱导公式.
15．已知'()f x 是函数f(x)的导函数，()()22ln 1(0)x
f x x f '=++⋅,则(1)f '=________.
【答案】ln 2 【解析】
分析：先求导，再求()0f '，再求()1f '. 详解：由题得2
()2ln 2(0),1x
f x f x =+
'+' 令x=0得0
2(0)2ln 2(0),(0)ln 201f f f '''=+
∴=-+， 所以1
2(1)2ln 2(2)211
f ln ln =+-=+'. 故答案为：ln2.
点睛：(1)本题主要考查求导和导数值的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力，属于基础题.(2)解答本题的关键是求(0)f '.
16．已知函数2
aln(2)()2
x x f x +-=在[1,)-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是______.
【答案】(,2]-∞- 【解析】 【分析】
2
ln(2)()2
+-=
x x f x a 在[1,)-+∞上是减函数的等价条件是1()022'=-≤+a f x x x 在[1,)-+∞恒成立，然后分离参数求最值即可. 【详解】
2
ln(2)()2+-=
x x a x f 在[1,)-+∞上是减函数， 1()022∴'=-≤+a f x x x 在[1,)-+∞恒成立，即2(2)≤+a x x ，
()2(2)=+g x x x 在[1,)-+∞的最小值为(1)2-=-g ， 2∴≤-a
【点睛】
本题主要考查利用导函数研究含参函数的单调性问题，把()f x 在[1,)-+∞上是减函数转化为()0f x '≤在
[1,)-+∞恒成立是解决本题的关键.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知动圆M 既与圆1C ：2240x y x ++=外切，又与圆2C ：224960x y x +--=内切，求动圆的圆心M 的轨迹方程.
【答案】22
13632x y +
= 【解析】 【分析】
化已知两圆方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，画出图形，利用椭圆定义求得动圆的圆心
M 的轨迹
方程． 【详解】
1C ：()2224x y ++=，2C ：()2
22100x y -+=，
设动圆圆心(),M x y ，半径为r ，
则112122212410MC r MC MC C C MC r ⎧=+⎪
⇒+=>=⎨
=-⎪⎩
，
∴M 是以1C 、2C 为焦点，长轴长为12的椭圆， ∴221236a a =⇒=，22232b a c =-=，
∴所求轨迹方程为22
13632
x y +
=.
【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，考查圆与圆的位置关系，本质考查椭圆定义求方程，考查数形结合思想和运算求解能力．
18．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所出次品数分别为1X ，2X ，且1X 和2X 的分布列为： 0 1 2
0 1 2
试比较两名工人谁的技术水平更高． 【答案】工人乙的技术水平更高 【解析】 【分析】
计算平均数与方差，即可得出结论． 【详解】
16130120.7101010EX =⨯
+⨯+⨯=，2532
0120.7101010
EX =⨯+⨯+⨯=． 12EX EX ∴=，说明两人出的次品数相同，可以认为他们技术水平相当，
又
()()()2
22
161300.710.720.70.81101010DX =-⨯
+-⨯+-⨯=， ()()()222
253200.710.720.70.61101010
DX =-⨯+-⨯+-⨯=．
12DX DX ∴>，∴工人乙的技术比较稳定.
∴可以认为工人乙的技术水平更高. 【点睛】
本题考查平均数与方差的实际意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
19．某育种基地对某个品种的种子进行试种观察，经过一个生长期培养后，随机抽取n 株作为样本进行研究．株高在35cm 及以下为不良，株高在35cm 到75cm 之间为正常，株高在75cm 及以上为优等．下面是这n 个样本株高指标的茎叶图和频率分布直方图，但是由于数据递送过程出现差错，造成图表损毁．请根据可见部分，解答下面的问题：
（1）求n 的值并在答题卡的附图中补全频率分布直方图；
（2）通过频率分布直方图估计这n 株株高的中位数（结果保留整数）；
（3）从育种基地内这种品种的种株中随机抽取2株，记X 表示抽到优等的株数，由样本的频率作为总体的概率，求随机变量X 的分布列（用最简分数表示）．
【答案】（1）20n =，补图见解析（2）估计这n 株株高的中位数为82（3）见解析 【解析】 【分析】
根据茎叶图和频率直方图，求出中位数，得离散型随机变量的分布列． 【详解】
解：（1）由第一组知
1
0.002520n
=，得20n =， 补全后的频率分布直方图如图
（2）设中位数为0x ，
前三组的频率之和为0.050.10.20.350.5++=<， 前四组的频率之和为0.050.10.20.450.80.5+++=>， ∴[)075,95x ∈，
∴()0750.02250.15x -⨯=，
得0245
823
x =≈， ∴估计这n 株株高的中位数为82.
（3）由题设知132,20X
B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 则()2
027********P X C ⎛⎫==⋅=
⎪⎝⎭
()1
271391
12020200
P X C ==⋅
⋅= ()2
22
131********
P X C ⎛⎫==⋅=
⎪⎝⎭
X 的分布列为 X
1
2
【点睛】
本题考查频率直方图及中位数，离散型随机变量的分布列，属于中档题. 20．设函数()f x 的导函数为'()f x .若不等式()'()f x f x ≥对任意实数x 恒成立，则称函数()f x 是“超导
函数”.
（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；
（2）若函数()g x 与()h x 都是“超导函数”，且其中一个在R 上单调递增，另一个在R 上单调递减，求证：函数()()()F x g x h x =是“超导函数”；
（3）若函数()y x ϕ=是“超导函数”且方程()'()x x ϕϕ=无实根，(1)e ϕ=（e 为自然对数的底数），判断方程ln (ln )x x
x x e
ϕ----=的实数根的个数并说明理由.
【答案】 (1)见解析. (2)见解析. (3)见解析. 【解析】
分析：（1）根据定义举任何常数都可以；（2）∵()()()F x g x h x =，∴()()()()()F x g x h x g x h x '=+''，
即证()F x -() 0F x '≥在R 上成立即可；（3）构造函数()()
x
x G x e
ϕ=
，因为()y x ϕ=是“超导函数”，
∴()()x x ϕϕ≥'对任意实数x 恒成立，而方程()()'x x ϕϕ=无实根，故()()()
0x
x x G x e
ϕϕ-''=
<恒成
立，所以()G x 在R 上单调递减， 故方程()()ln 1G x x G --=等价于ln 1x x --=，即1ln 0x x ++=， 设()H x 1ln x x =++，分析函数单调性结合零点定理即可得出结论. 详解：
（1）举例：函数()1f x =是“超导函数”，
因为()1f x =，()0f x '=，满足()()f x f x ≥'对任意实数x 恒成立，故()1f x =是“超导函数”. 注：答案不唯一，必须有证明过程才能给分，无证明过程的不给分. （2）∵()()()F x g x h x =，∴()()()()()F x g x h x g x h x '=+''， ∴()()()()()()()()F x F x g x h x g x h x g x h x -=--'''
()()()()()()g x g x h x h x g x h x ''⎡⎤⎡⎤=---'⎣⎦'⎦⎣
因为函数()g x 与()h x 都是“超导函数”，所以不等式()()g x g x ≥'与()()h x h x ≥'对任意实数x 都恒成立，故()()0g x g x -'≥，()()0h x h x -'≥，①
而()g x 与()h x 一个在R 上单调递增，另一个在R 上单调递减，故()()0g x h x ''≤，② 由①②得()()0F x F x -'≥对任意实数x 都恒成立，所以函数()()()F x g x h x =是“超导函数”. （3）∵()1e ϕ=，所以方程()ln ln x x
x x e
ϕ----=可化为
()
()
ln 1
ln 1x x
x x e
e
ϕϕ----=
，
设函数()()
x
x G x e
ϕ=
，x R ∈，则原方程即为()()ln 1G x x G --=，③
因为()y x ϕ=是“超导函数”， ∴()()x x ϕϕ≥'对任意实数x 恒成立， 而方程()()'x x ϕϕ=无实根，故()()()
0x
x x G x e
ϕϕ-''=
<恒成立，所以()G x 在R 上单调递减，
故方程③等价于ln 1x x --=，即1ln 0x x ++=， 设()H x 1ln x x =++，()0,x ∈+∞，则()1
10H x x
=+>'在()0,+∞上恒成立， 故()H x 在()0,+∞上单调递增，
而22
11
10H e e
⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，110H e e ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，且函数()H x 的图象在211,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续不断， 故()H x 1ln x x =++在211,e e ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上有且仅有一个零点，从而原方程有且仅有唯一实数根. 点睛：考查函数的新定义，首先要读懂新定义，将新定义的知识与所学导函数的知识相联系是解题关键，本题的难点在于能否将新定义的语言转化为自己所熟悉的函数语言进行等价研究问题是解题关键，属于压轴题.
21．电子商务公司对某市50000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额都在5000元到10000元之间，其频率分布直方图如下：
（1）求图中x 的值，并求出消费金额不低于8000元的购物者共多少人；
（2）若将频率视为概率，从购物者中随机抽取50人，记消费金额在7000元到9000元的人数为ξ，求ξ的数学期望和方差.
【答案】 (1) 0.004x =，14000人(2) ()37E ξ=，
()9.62D ξ= 【解析】 【分析】
()1由频率分布直方图计算出频率，然后用样本估计总体
()2计算出消费金额在7000到9000的概率，然后计算ξ的数学期望和方差
【详解】 （1）()10.0120.0560.0180.01010
0.00410
x -+++⨯=
=
消费金额不低于8000元的频率为()0.0180.010100.28+⨯=， 所以共500000.2814000⨯=人.
（2）从购物者中任意抽取1人，消费金额在7000到9000的概率为()0.0560.018100.74+⨯=， 所以()~50,0.74B ξ， ∴()500.7437E ξ=⨯= ∴()500.740.269.62D ξ=⨯⨯=. 【点睛】
本题结合频率分布直方图用样本估计总体，并计算相应值得数学期望和方差，只要运用公式即可得到结果，较为基础．
22．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表 商店名称 A B C D E 销售额x(千万元) 3 5 6 7 9 利润额y(百万元)
2
3
3
4
5
（1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性.
(2)用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．
(3)当销售额为4(千万元)时，估计利润额的大小.
其中()() (
)
11
11
222
ˆ
ˆ
ˆ
i i
i i i i
n n
i i
i i
n n
x x y y x y nxy
b
x x x nx
a y bx
==
==
⎧∑--∑-
⎪
==
⎪
⎨∑-∑-
⎪
⎪=-
⎩
【答案】（1）见解析（2）ˆ0.50.4
y x
=+（3）2.4(百万元)
【解析】
【分析】
（1）根据所给的这一组数据，得到5个点的坐标，把这几个点的坐标在直角坐标系中描出对于的点，即可得到散点图，可判断为正相关；
（2）根据这组数据，利用最小二乘法求得ˆ
ˆ,a b的值，即可求解回归直线的方程；
（3）利用作出的回归直线方程，把4
x=的值代入方程，估计出对应的y的值.
【详解】
（1）根据所给的这一组数据，得到5个点的坐标：(3,2),(5,3),(6.3),(7,4),(9,5)，把这几个点的坐标在直角坐标系中描出对应的点，得到如下的散点图：
（2）设回归直线的方程是：ˆ
ˆˆ
y bx a
=+，
由表格中的数据，可得6, 3.4
x y
==，
又由1
2
1
()()
3( 1.4)(1)(0.4)10.63 1.6
ˆ
9119
()
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
--
-⨯-+-⨯-+⨯+⨯
==
+++
-
∑
∑
101
202
==
11
ˆ 3.
22
0.4
46
a y x
=--⨯=
=，即ˆ0.50.4
y x
=+
∴y对销售额x的回归直线方程为ˆ0.50.4
y x
=+
（3）当销售额为4(千万元)时，利润额为：0.50.4
ˆ4
y=⨯+＝2.4(百万元).
【点睛】
本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中正确求得线性回归直线的方程的系数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.。