四川省成都外国语学校2018-2019年九年级(上)期中数学试卷 解析版

2018-2019学年四川省成都外国语学校九年级（上）期中数学试
卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）如图所示的几何体的主视图正确的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,4)，那么sin α的值是(
)
A ．35
B ．
34
C ．
45
D ．
43
3．（3分）已知513b a =，则
a b
a b
-+的值是( ) A ．
2
3
B ．
3
2
C ．
94
D ．
49
4．（3分）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x ，则( ) A ．10.8(1)16.8x += B ．16.8(1)10.8x -=
C ．210.8(1)16.8x +=
D ．210.8[(1)(1)]16.8x x +++=
5．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，直线11(0)y k x k =≠与双曲线2
2(0)k y k x
=≠相交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为(1,2)，则点B 的坐标为( )
A ．(1,2)--
B ．(2,1)--
C ．(1,1)--
D ．(2,2)--
6．（3分）如果关于x 的一元二次方程22(3)390m x x m -++-=有一个解是0，那么m 的值是( ) A ．3
B ．3-
C ．3±
D ．0或3-
7．（3分）如图，在ABC ∆中，AC BC ⊥，30ABC ∠=︒，点D 是CB 延长线上的一点，且
BD BA =，则tan DAC ∠的值为( )
A ．23+
B ．23
C ．33+
D ．33
8．（3分）如图，菱形ABCD 的边长为1，直线l 过点C ，交AB 的延长线于M ，交AD 的延长线于N ，则
11
AM AN
+
的值为( )
A ．
12
B ．1
C ．
23
D ．
32
9．（3分）如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别是PB 、PC （靠近点)P 的三等分点，PEF ∆、PDC ∆、PAB ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ，若2AD =，23AB =60A ∠=︒，则123S S S ++的值为( )
A ．
103
B ．
92
C ．
133
D ．4
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，B 在反比例函数
(0k
y k x
=>．0)x >的图象上，纵坐标分别为1和3，则k 的值为( )
A ．
23
B ．3
C ．2
D ．3
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．（4分）Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，CD 为斜边AB 上的高，若4BC =，2
sin 3
A =，则BD 的长为 ．
12．（4分）如图所示，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上．已知胶片与屏幕平行，A 点为光源，与胶片BC 的距离为0.1米，胶片的高BC 为0.038米，若需要投影后的图象DE 高1.9米，则投影机光源离屏幕大约为 ．
13．（4分）如图，已知点A ，B 分别在反比例函数12y x =-和2k
y x
=的图象上，若点A 是线
段OB 的中点，则k 的值为 ．
14．（4分）如图，A 、B 、C 、D 是矩形的四个顶点，16AB cm =，6BC cm =，动点P 从点A 出发，以3/cm s 的速度向点B 运动，直到点B 为止；动点Q 同时从点C 出发，以2/cm s 的速度向点D 运动，当时间为 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分） 15．（6分）计算：21|21|82sin 45()2
---+︒+
16．（6分）解方程：(3)(1)65x x x ++=+．
17．（6分）已知O 是坐标原点，A 、B 的坐标分别为(3,1)、(2,1)- （1）画出OAB ∆绕点O 顺时针旋转90︒后得到的△11OA B ；
（2）在y 轴的左侧以O 为位似中心作OAB ∆的位似△22OA B （要求：新图与原图的相似比为2:1)．
18．（4分）一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果
AC BC
AB AC
=
，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．请
计算黄金比．
19．（4分）已知：如图，已知ABC DEF ∆∆∽，求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
20．（8分）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M 处出发，向前走3米到达A 处，测得树顶端E 的仰角为30︒，他又继续走下台阶到达C 处，测得树的顶端E 的仰角是60︒，再继续向前走到大树底D 处，测得食堂楼顶N 的仰角为45︒．已知A 点离地面的高度2AB =米，30BCA ∠=︒，且B 、C 、D 三点在同一直线上． （1）求树DE 的高度； （2）求食堂MN 的高度．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数1
2
y x =
的图象与反比例函数k
y x
=
的图象交于(,2)A a -，B 两点． （1）求反比例函数的表达式和点B 的坐标；
（2）P 是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点C ，连接PO ，若POC ∆的面积为3，求点P 的坐标．
22．（10分）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，连接DF ，过点E 作EH DF ⊥，垂足为H ，EH 的延长线交DC 于点G ． （1）猜想DG 与CF 的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点H 作//MN CD ，分别交AD ，BC 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为10，点P 是MN 上一点，求PDC ∆周长的最小值．
四、填空题（每小题4分，共20分）
23．（4分）已知关于x 的一元二次方程2640x x m -++=有两个实数根1x ，2x ，若1x ，2x 满足123||2x x =+，则m 的值为
24．（4分）已知角A 是锐角，且tan A ，cot A 是关于x 的一元二次方程22230x kx k ++-=的两个实数根，则k 的值为 ．
25．（4分）如图，由点(14,1)P ，(,0)A a ，(0B ，)(014)a a <<，确定的PAB ∆的面积为18，则a 的值为 ，如果14a >，则a 的值为
26．（4分）如图，在直角坐标系中，点(2,0)A ，点(0,1)B ，过点A 的直线l 垂直于线段AB ，点P 是直线l 上一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，把ACP ∆沿AP 翻折180︒，使点C 落在点D 处．若以A ，D ，P 为顶点的三角形与ABP ∆相似，则所有满足此条件的点P 的坐标为 ．
27．（4分）如图，正方形ABCD 中，以AD 为底边作等腰ADE ∆，将ADE ∆沿DE 折叠，点
A 落到点F 处，
连接EF 刚好经过点C ，再连接AF ，分别交DE 于点G ，交CD 于点H ，下列结论：①ABM DCN ∆≅∆；②30DAF ∠=︒；③AEF ∆是等腰直角三角形；④EC CF =；⑤HCF DCN S S ∆∆=，其中正确的有
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
28．（8分）某批发商以每件50元的价格购进800件T 恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T 恤一性清仓，清仓时单价为40元．设第
二个月单价降低x 元，这批T 恤总利润为y 元． （1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）若批发商希望通过销售这批T 恤获利9000元，则第二月的单价应是多少元？ 29．（10分）“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角AOB ∠置于直角坐标系中，
边OB 在x 轴上、边OA 与函数1
y x
=的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到MOB ∠，则1
3
MOB AOB ∠=∠．要明白帕普斯的方法，请
研究以下问题：
（1）设1(,)P a a 、1
(,)R b b
，求直线OM 对应的函数表达式（用含a ，b 的代数式表示）；
（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ．请说明Q 点在直线OM 上，并据此证明1
3
MOB AOB ∠=∠；
（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．
30．（12分）在矩形AOBC 中，6OB =，4OA =，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)k
y k x
=>的图象与AC 边交于点E ，连接OE ，OF ，EF ．
（1）若4
tan 9
BOF ∠=
，求F 点的坐标； （2）当点F 在BC 上移动时，OEF ∆与ECF ∆的面积差记为S ，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？
（3）是否存在这样的点F ，使得OEF ∆为直角三角形？若存在，求出此时点F 坐标；若不存在，请说明理由．
2018-2019学年四川省成都外国语学校九年级（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图所示的几何体的主视图正确的是()
A．B．C．D．
【解答】解：由图可知，主视图由一个矩形和三角形组成．
故选：D．
2．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,4)，那么sinα的值是( )
A．3
5
B．
3
4
C．
4
5
D．
4
3
【解答】解：作AB x
⊥轴于B，如图，Q点A的坐标为(3,4)，
3
OB
∴=，4
AB=，
22
345
OA
∴=+=，
在Rt AOB ∆中，4
sin 5
AB OA α==． 故选：C ．
3．（3分）已知513b a =，则
a b
a b
-+的值是( ) A ．
2
3
B ．
3
2
C ．
94
D ．
49
【解答】解：令a ，b 分别等于13和5， Q
513
b a =， 13a ∴=，5b =
∴
1354
1359
a b a b --==++； 故选：D ．
4．（3分）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x ，则( ) A ．10.8(1)16.8x += B ．16.8(1)10.8x -=
C ．210.8(1)16.8x +=
D ．210.8[(1)(1)]16.8x x +++=
【解答】解：设参观人次的平均年增长率为x ，由题意得：
210.8(1)16.8x +=， 故选：C ．
5．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，直线11(0)y k x k =≠与双曲线2
2(0)k y k x
=≠相交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为(1,2)，则点B 的坐标为( )
A ．(1,2)--
B ．(2,1)--
C ．(1,1)--
D ．(2,2)--
【解答】解：Q 点A 与B 关于原点对称，
B ∴点的坐标为(1,2)--．
故选：A ．
6．（3分）如果关于x 的一元二次方程22(3)390m x x m -++-=有一个解是0，那么m 的值是( ) A ．3
B ．3-
C ．3±
D ．0或3-
【解答】解：把0x =代入方程22(3)390m x x m -++-=中，得 290m -=，
解得3m =-或3，
当3m =时，原方程二次项系数30m -=，舍去， 故选：B ．
7．（3分）如图，在ABC ∆中，AC BC ⊥，30ABC ∠=︒，点D 是CB 延长线上的一点，且
BD BA =，则tan DAC ∠的值为( )
A ．23
B ．23
C ．33+
D ．33【解答】解：如图，Q 在ABC ∆中，AC BC ⊥，30ABC ∠=︒， 2AB AC ∴=，3tan30AC
BC AC =
︒
．
BD BA =Q ，
(23)DC BD BC AC ∴=+=，
(23)tan 23DC AC
DAC AC AC
+∴∠=
==+． 故选：A ．
8．（3分）如图，菱形ABCD 的边长为1，直线l 过点C ，交AB 的延长线于M ，交AD 的延长线于N ，则
11
AM AN
+
的值为( )
A ．
12
B ．1
C ．
23
D ．
32
【解答】解：Q 四边形ABCD 是菱形，
1AD DC AB B ∴====，//DC AB ，//BC AD ，
∴AD CM AN MN =，AB CN
AM MN
=
， ∴1AD AB CM CN CM CN
AN AM MN MN MN ++=+==， ∴
11
1AN AM +=， 即
111AM AN
+=， 故选：B ．
9．（3分）如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别是PB 、PC （靠近点)P 的三等分点，PEF ∆、PDC ∆、PAB ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ，若2AD =，23AB =，60A ∠=︒，则123S S S ++的值为( )
A
．
10
3
B．
9
2
C．
13
3
D．4
【解答】解：作DH AB
⊥于点H，如右图所示，
2
AD=
Q，23
AB=，60
A
∠=︒，
3
sin6023
2
DH AD
∴=︒=⨯=
g，
2336
ABCD
S AB DH
∴=⋅=⋅=
Y
，
23
3
PBC
S S S
∆
∴+==，
又E
Q、F分别是PB、PC（靠近点)P的三等分点，
∴
1
9
PEF
PBC
S
S
∆
∆
=，
11
3
93
PEF
S
∆
∴=⨯=，
即
1
1
3
S=，
123
110
3
33
S S S
∴++=+=，
故选：A．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，B在反比例函数(0
k
y k
x
=>．0)
x>的图象上，纵坐标分别为1和3，则k的值为() A
23
B3C．2D．3
【解答】解：如图，过A作AD x
⊥轴于D，过B作BE AD
⊥于E，则90
E ADO
∠=∠=︒，
又90BAO ∠=︒Q ，
90OAD AOD OAD BAE ∴∠+∠=∠+∠=︒， AOD BAE ∴∠=∠， ABE OAD ∴∆∆∽，
∴
AD OD
BE AE
=
， 设
(,1)A k ，(3
k
B ，3)，则OD k =，1AD =，2AE =，23BE k =，
∴
12
23
k
k =， 解得3k =±， 0k >Q ， 3k ∴=，
故选：B ．
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．（4分）Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，CD 为斜边AB 上的高，若4BC =，2
sin 3
A =，则BD 的长为
8
3
． 【解答】解：Q 在Rt ABC ∆中，4BC =，2sin 3
A =， 6A
B ∴=， 25A
C ∴=，
CD Q 是斜边AB 上的高线，
45
CD ∴=
，
228
3BD BC CD ∴=-=．
故答案为：8
3
．
12．（4分）如图所示，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上．已知胶片与屏幕平行，A 点为光源，与胶片BC 的距离为0.1米，胶片的高BC 为0.038米，若需要投影后的图象DE 高1.9米，则投影机光源离屏幕大约为 5m ．
【解答】解：如图所示，过A 作AG DE ⊥于G ，交BC 与F ，
因为//BC DE ，所以ABC ADE ∆∆∽，AG BC ⊥，0.1AF m =，设AG h =， 则：
AF BC AG DE =，即0.10.038
1.9
h =
， 解得，5h m =． 故答案为：5m ．
13．（4分）如图，已知点A ，B 分别在反比例函数12y x =-和2k y x
=的图象上，若点A 是线
段OB 的中点，则k 的值为 8- ．
【解答】解：设(,)A a b ，则(2,2)B a b ， Q 点A 在反比例函数12
y x
=-的图象上，
2ab ∴=-；
B Q 点在反比例函数2k
y x
=
的图象上， 2248k a b ab ∴===-g ．
故答案是：8-．
14．（4分）如图，A 、B 、C 、D 是矩形的四个顶点，16AB cm =，6BC cm =，动点P 从点A 出发，以3/cm s 的速度向点B 运动，直到点B 为止；动点Q 同时从点C 出发，以2/cm s 的速度向点D 运动，
当时间为 85s 或24
5
s 时，
点P 和点Q 之间的距离是10cm ．
【解答】解：设当时间为t 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ，
过点Q 作ON AB ⊥于点N ，
则2QC tcm =，(165)PN t cm =-， 故226(165)100t +-=， 解得：185t =
，224
5
t =， 即当时间为85s 或24
5s 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ，
故答案为：85s 或24
5
s ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分） 15．（6分）计算：21
21|82sin 45()2
--+︒+
【解答】解：原式2212224=-+
3=．
16．（6分）解方程：(3)(1)65x x x ++=+． 【解答】解：(3)(1)65x x x ++=+ 23365x x x x +++=+ 2220x x --=
△2(2)41(2)120=--⨯⨯-=> 212
13x ±∴=
=± 113x =+，213x =-．
17．（6分）已知O 是坐标原点，A 、B 的坐标分别为(3,1)、(2,1)- （1）画出OAB ∆绕点O 顺时针旋转90︒后得到的△11OA B ；
（2）在y 轴的左侧以O 为位似中心作OAB ∆的位似△22OA B （要求：新图与原图的相似比为2:1)．
【解答】解：（1）如图所示：△11OA B ，即为所求；
（2）如图所示：△22OA B ，即为所求．
18．（4分）一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果
AC BC
AB AC
=
，那么称线段
AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．请计算黄金比．
【解答】解：设1
AB=，AC x
=，则1
BC x
=-，
由
AC BC
AB AC
=，得2
AC AB CB
=
g，
则21(1)
x x
=⨯-
整理得；210
x x
+-=，
解得：
1
51
2
x
-
=，
2
51
2
x
--
=（不合题意，舍去）．
故黄金比为：
51
2
-
．
19．（4分）已知：如图，已知ABC DEF
∆∆
∽，求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【解答】解：如图，作AG BC
⊥，DH EF
⊥
ABC DEF
∆∆
Q∽，
B E
∴∠=∠，AGB DHE
∠=∠，
ABG DEH
∴∆∆
∽，
设ABC
∆和DEF
∆的相似比为k，则
BC AB AG
k
EF DE DH
===，
∴2
1
2
1
2
ABC
EDF
BC AG
S
k
S EF DH
∆
∆
==
g
g
，
所以相似三角形面积的比等于相似比的平方．
20．（8分）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30︒，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60︒，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为
45︒．已知A 点离地面的高度2AB =米，30BCA ∠=︒，且B 、C 、D 三点在同一直线上． （1）求树DE 的高度； （2）求食堂MN 的高度．
【解答】解：（1）如图，设DE x =，
2AB DF ==Q ，
2EF DE DF x ∴=-=-， 30EAF ∠=︒Q ，
3(2)tan 3
EF AF x EAF ∴=
-∠，
又3tan 3DE CD DCE =
==∠Q ，23tan 3
AB BC ACB ===∠，
3
23BD BC CD ∴=+=
由AF BD =3
3(2)23x -=， 解得：6x =，
∴树DE 的高度为6米；
（2）延长NM 交DB 延长线于点P ，则3AM BP ==，
由（1）知33623CD x ==⨯=，23BC =， 32323343PD BP BC CD ∴=++=++=+，
45NDP ∠=︒Q ，且2MP AB ==，
343NP PD ∴==+，
3432143NM NP MP ∴=-=+-=+，
∴食堂MN 的高度为143+米．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数12
y x =
的图象与反比例函数k y x =的图象交于(,2)A a -，B 两点． （1）求反比例函数的表达式和点B 的坐标；
（2）P 是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点C ，连接PO ，若POC ∆的面积为3，求点P 的坐标．
【解答】解：（1）把(,2)A a -代入12
y x =，可得4a =-，
(4,2)A ∴--，
把(4,2)A --代入k y x =，可得8k =， ∴反比例函数的表达式为8y x =
， Q 点B 与点A 关于原点对称，
(4,2)B ∴；
（2）如图所示，过P 作PE x ⊥轴于E ，交AB 于C ，
设8(,)P m m ，则1(,)2
C m m ， POC ∆Q 的面积为3，
∴118||322m m m
⨯-=， 解得27m =或2，
(27P ∴，47)7
或(2,4)．
22．（10分）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，连接DF ，过点E 作EH DF ⊥，垂足为H ，EH 的延长线交DC 于点G ．
（1）猜想DG 与CF 的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点H 作//MN CD ，分别交AD ，BC 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为10，点P 是MN 上一点，求PDC ∆周长的最小值．
【解答】解：（1）结论：2CF DG =．
理由：Q 四边形ABCD 是正方形，
AD BC CD AB ∴===，90ADC C ∠=∠=︒，
DE AE =Q ，
2AD CD DE ∴==，
EG DF ⊥Q ，
90DHG ∴∠=︒，
90CDF DGE ∴∠+∠=︒，90DGE DEG ∠+∠=︒，
CDF DEG ∴∠=∠，
DEG CDF ∴∆∆∽， ∴12
DG DE CF DC ==， 2CF DG ∴=．
（2）作点C 关于NM 的对称点K ，连接DK 交MN 于点P ，连接PC ，此时PDC ∆的周长最短．周长的最小值CD PD PC CD PD PK CD DK =++=++=+． 由题意：10CD AD ==，5ED AE ==，52DG =，552EG ，5DE DG DH EG
==g 225EH DH ∴==， 2DH EH HM DE
∴==g ， 221DM CN NK DH HM ∴===-=，
在Rt DCK ∆中，2222102226DK CD CK =++=，
PCD ∴∆的周长的最小值为10226+
四、填空题（每小题4分，共20分）
23．（4分）已知关于x 的一元二次方程2640x x m -++=有两个实数根1x ，2x ，若1x ，2x 满足123||2x x =+，则m 的值为 4
【解答】解：Q 关于x 的一元二次方程2640x x m -++=有两个实数根1x ，2x ，
∴△2(6)4(4)2040m m =--+=-…
， 解得：5m …，
m ∴的取值范围为5m …．
Q 关于x 的一元二次方程2640x x m -++=有两个实数根1x ，2x ， 126x x ∴+=①，124x x m =+g ②．
123||2x x =+Q ，
当20x …
时， 有1232x x =+③， 联立①③解得：12x =，24x =，
84m ∴=+，4m =；
当20x <时， 有1232x x =-+④，
联立①④解得：12x =-，28x =（不 合题意， 舍去） ． ∴符合条件的m 的值为 4 ．
故答案是： 4 ．
24．（4分）已知角A 是锐角，且tan A ，cot A 是关于x 的一元二次方程22230x kx k ++-=的两个实数根，则k 的值为 2- ．
【解答】解：tan A Q ，cot A 是关于x 的一元二次方程22230x kx k ++-=的两个实数根，且
角A 是锐角，
∴2tan cot 20tan cot 31A A k A A k +=->⎧⎨=-=⎩
g ， 解得：2k =-．
故答案为：2-．
25．（4分）如图，由点(14,1)P ，(,0)A a ，(0B ，)(014)a a <<，确定的PAB ∆的面积为18，则a 的值为 3或12 ，如果14a >，则a 的值为
【解答】解：当014a <<时，如图，作PD x ⊥轴于点D ，
(14,1)P Q ，(,0)A a ，(0,)B a ，
1PD ∴=，14OD =，OA a =，OB a =，
()()211114111418222
PAB OAB ADP OBPD S S S S a a a ∆∆∆∴=--=⨯+--⨯⨯-=梯形， 解得：13a =，212a =；
当1415a <…时，如图，作PD x ⊥轴于点D ，
18ABP PAD AOB OBPD S S S S ∆∆∆=+-=梯形，
211118(1)14(14)1222a a a ∴=+⨯+--g ， 解得2a =或13（都不符合题意）；
当15a >时，如图，作PD x ⊥轴于点D ，
(14,1)P Q ，(,0)A a ，(0,)B a ，
1PD ∴=，14OD =，OA a =，OB a =，
()()211114111418222
PAB OAB ADP OBPD S S S S a a a ∆∆∆∴=--=-⨯+-⨯⨯-=梯形， 解得：115341a +=
，215341a -=（舍去）； 153412
a +∴=． 故答案为：3或12，
15341+． 26．（4分）如图，在直角坐标系中，点(2,0)A ，点(0,1)B ，过点A 的直线l 垂直于线段AB ，点P 是直线l 上一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，把ACP ∆沿AP 翻折180︒，使点C 落在点D 处．若以A ，D ，P 为顶点的三角形与ABP ∆相似，则所有满足此条件的
点P 的坐标为 (4,4)P ，(0,4)p -，3(2P ，1)-，5(2
P ，1) ．
【解答】解：Q 点(2,0)A ，点(0,1)B ，
∴直线AB 的解析式为112y x =-+ Q 直线l 过点(4,0)A ，且l AB ⊥，
∴直线L 的解析式为；24y x =-，
90BAO PAC ∠+∠=︒，
PC x ⊥Q 轴，
90PAC APC ∴∠+∠=︒，
BAO APC ∴∠=∠，
AOB ACP ∠=∠Q ，
AOB PCA ∴∆∆∽，
∴
BO AO CA PC =， ∴12
BO AC AO PC ==， 设AC m =，则2PC m =，
PCA PDA ∆≅∆Q ，
AC AD ∴=，PC PD =，
∴12
AD AC PD PC ==， 如图1：当PAD PBA ∆∆∽时，
则
AD PD BA PA =， 则12
AD BA PD PA ==， 22125AB =+Q ，
25AP ∴=，
222(2)(25)m m ∴+=，
2m ∴=±， 当2m =时，4PC =，4OC =，P 点的坐标为(4,4)， 当2m =-时，如图2，
4PC =，0OC =，P 点的坐标为(0,4)-，
如图3，若PAD BPA ∆∆∽，
则12
PA AD BA PD ==， 152PA AB == 则2225(2)(
)m m +=， 12
m ∴=±， 当12m =时，1PC =，52OC =，P 点的坐标为5(2
，1)， 当12m =-时，如图4，1PC =，32OC =，P 点的坐标为3(2
，1)-；
故答案为：(4,4)P ，(0,4)P -，3(2P ，1)-，5(2
P ，1)．
27．（4分）如图，正方形ABCD 中，以AD 为底边作等腰ADE ∆，将ADE ∆沿DE 折叠，点
A 落到点F 处，
连接EF 刚好经过点C ，再连接AF ，分别交DE 于点G ，交CD 于点H ，下列结论：①ABM DCN ∆≅∆；②30DAF ∠=︒；③AEF ∆是等腰直角三角形；④EC CF =；⑤HCF DCN S S ∆∆=，其中正确的有 ①③⑤
【解答】解：如图，连接AC 、以D 为圆心DA 为半径画圆．
Q 四边形ABCD 是正方形，
DA DC AB BC ∴===，90ADC B DCB ∠=∠=∠=︒，45ACD DAC ∠=∠=︒ DEF ∆Q 是由DEA ∆翻折得到，
DA DF DC ∴==，EA EF =，AED DEF ∠=∠，
1452
AFC ADC ∴∠=∠=︒ 45EFA EAF ∴∠=∠=︒，
90AEF ∴∠=︒，
45DEF DEA ∴∠=∠=︒，
EA ED EF ==Q ，
67.5DAE ADE EDF EFD ∴∠=∠=∠=∠=︒， 22.5DAF DFA ∴∠=∠=︒，AEF ∆是等腰三角形，故③正确．②错误， ACD CDF ∠=∠Q ，
//AC DF ∴，
DFA FDC S S ∆∆∴=，
ADH CHF S S ∆∆∴=，
易证DAH CDN ∠=∠，AD DC =，90ADH DCN ∠=∠=︒， ADH DCN ∴∆≅∆，
ADH DCN S S ∆∆∴=，
HCF DCN S S ∆∆∴=，故⑤正确，
EA ED =Q ，
EAD EDA ∴∠=∠，
BAM CDN ∴∠=∠，
在ABM ∆和DCN ∆中，
BAM CDN AB CD
B DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ABM DCN ∴∆≅∆，故①正确，
在EAF ∆中，CAE CAF ∠=∠Q ，90AEC ∠=︒，作CK AF ⊥于K ， CE CK CF ∴=<，
CE CF ∴≠故④错误．
∴①③⑤正确，
故答案为①③⑤．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
28．（8分）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一性清仓，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元，这批T恤总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，则第二月的单价应是多少元？
【解答】解：（1）根据题意得：第二个月的单价为：80x
-，销量为：20010x
+，库存为：800200(20010)x
--+；
80200(80)(20010)40[800200(20010)]50800
y x x x
=⨯+-++--+-⨯．
2
102008000
x x
=-++；
（2）根据题意，得
80200(80)(20010)40[800200(20010)]508009000
x x x
⨯+-++--+-⨯=，
整理，得2201000
x x
-+=
解这个方程，得
1210
x x
==
当10
x=时，807050
x
-=>
答：第二个月的单价应是70元．
29．（10分）“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角
AOB ∠置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数1y x =的图象交于点P ，以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直
线相交于点M ，连接OM 得到MOB ∠，则13
MOB AOB ∠=∠．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
（1）设1(,)P a a 、1(,)R b b
，求直线OM 对应的函数表达式（用含a ，b 的代数式表示）； （2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ．请说明Q 点在直线OM
上，并据此证明13
MOB AOB ∠=∠； （3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．
【解答】解：（1）设直线OM 的函数关系式为y kx =，1(,)P a a 、1(,)R b b
．（1分） 则1(,)M b a
， 11k b a ab
∴=÷=．（2分） ∴直线OM 的函数关系式为1y x ab =
．（3分）
（2）Q Q 的坐标1(,)a b ，满足1y x ab
=， ∴点Q 在直线OM 上．
Q 四边形PQRM 是矩形，
12
SP SQ SR SM PR ∴====． SQR SRQ ∴∠=∠．
（5分） 2PR OP =Q ，
12
PS OP PR ∴==． POS PSO ∴∠=∠．
（6分）
PSQ ∠Q 是SQR ∆的一个外角，
2PSQ SQR ∴∠=∠．
2POS SQR ∴∠=∠．
（7分） //QR OB Q ，
MOB SQR ∴∠=∠．
（8分） 2POS MOB ∴∠=∠．
（9分） 13MOB AOB ∴∠=∠．（10分）
（3）①先做出钝角的一半，按照上述方法先将此钝角的一半（锐角）三等分，进而做出再做一个角与已做得的角相等即可得到钝角的三等分角．
②先作钝角的邻补角的三等分角，然后再以得到的三等分角作等边三角形可得钝角的三等分角，在钝角内作做出这个角即可．
30．（12分）在矩形AOBC 中，6OB =，4OA =，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的
反比例函数(0)k y k x
=>的图象与AC 边交于点E ，连接OE ，OF ，EF ． （1）若4tan 9
BOF ∠=，求F 点的坐标； （2）当点F 在BC 上移动时，OEF ∆与ECF ∆的面积差记为S ，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？
（3）是否存在这样的点F ，使得OEF ∆为直角三角形？若存在，求出此时点F 坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）6OB =Q ，4OA =，且C 在第一象限，
C ∴的坐标为(6,4)；
4tan 9BOF ∠=
Q ， 48693
BF ∴=⨯=， 8(6,)3
F ∴， 故答案为：8(6,)3
；
（2）解：E Q ，F 两点坐标分别为(4
k E ，4)，(6,)6k F ， 11(6)(4)2246
ECF k k S EC CF ∆∴==--g ， EOF AOE BOF ECF AOBC S S S S S ∆∆∆∆∴=---矩形，
112422
ECF k k S ∆=---， 24ECF k S ∆=--，
2124224(242)24
OEF ECF ECF S S S k S k k k ∆∆∆∴=-=--=---+， 2124k k =-
+， 21(12)624k =--+， 当12k =时，S 有最大值．
6S =最大值．
（3）存在，理由为：
设BF a =，由6OB =，得到(6,)F a ，代入反比例函数解析式得：6k a =； 由4OA =，得到46AE k a ==，即 1.5AE a =， 6 1.5EC AC AE a ∴=-=-，4CF BC BF a =-=-， 由EOF ∠为锐角，不可能为直角，
故分两种情况讨论：
①当90OEF ∠=︒时，可得90AEO FEC ∠+∠=︒， 又90AEO AOE ∠+∠=︒，且90OAE ECF ∠=∠=︒， AOE CEF ∴∆∆∽，
∴AO AE CE CF =，即4 1.56 1.54a a a =--， 整理得2952640a a -+=， 解得：1169a =
，24a =， 16(6,)9
F ∴； ②当90OFE ∠=︒时，同理：CEF BFO ∆∆∽， ∴CE CF BF OB =，即6 1.546a a a --=， 整理得213360a a -+=，
解得19a =，24a =均不合题意，
90OFE ∴∠≠︒， 综上所述，当16(6,
)9F 时，OEF ∆为直角三角形．。