北师大版高中数学高一必修4课时跟踪检测(十九)平面向量的坐标

课时跟踪检测（十九） 平面向量的坐标
层级一 学业水平达标
1．已知向量a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，则2a ＋b ＝ ( )
A ．(7,8)
B ．(3,5)
C ．(9,8)
D ．(7,4)
解析：选A 2a ＋b ＝2(4,3)＋(－1,2)＝(8－1,6＋2)＝(7,8)．
2．若a ＝(6,6)，b ＝(5,7)，c ＝(2,4)，则下列命题成立的是 ( )
A ．a －c 与b 共线
B ．b ＋c 与a 共线
C ．a 与b －c 共线
D ．a ＋b 与c 共线
解析：选C ∵b ＝(5,7)，c ＝(2,4)，
∴b －c ＝(3,3)，∴b －c ＝12
a ，∴a 与
b －
c 共线． 3．已知a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8,16)，则a ＝ ( )
A ．(－3,4)
B ．(5，－12)
C ．(1，－4)
D ．(－4,8) 解析：选A 联立⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝(2，－8)， ①
a －
b ＝(－8，16). ②
①＋②得2a ＝(2，－8)＋(－8,16)＝(－6,8)，
∴a ＝(－3,4)．
4．已知向量a ＝(－1,1)，b ＝(3，m )，若a ∥(a ＋b )．则m ＝ ( )
A ．2
B ．－2
C ．－3
D ．3 解析：选C 因为a ＋b ＝(2，m ＋1)，
所以－(m ＋1)＝2，
解得m ＝－3.
5．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC ＝2AD ，则顶点
D
的坐标为
( )
A.⎝⎛⎭
⎫2，72 B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)
解析：选A 设点D (m ，n )，则由题意得(4,3)＝2(m ，n －2)＝(2m,2n －4)，故⎩
⎪⎨⎪⎧ 2m ＝4，
2n －4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝2，n ＝72
， 即点D ⎝⎛⎭⎫2，72，故选A.
6．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，则AB ＋2BC ＝________.
解析：∵A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)， ∴AB ＝(2,3)，BC ＝(－3,3)． ∴AB ＋2BC ＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝________.
解析：∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)，(a ＋λb )∥c ，
∴1＋λ3＝24，∴λ＝12
. 答案：12 8．已知AB ＝(6,1)，BC ＝(x ，y )，CD ＝(－2，－3)，BC ∥DA ，则x ＋2y 的值为________．
解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋CD
＝(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3)
＝(x ＋4，y －2)， ∴DA ＝－AD ＝－(x ＋4，y －2)
＝(－x －4，－y ＋2)． ∵BC ∥DA ，
∴x (－y ＋2)－(－x －4)y ＝0，
即x ＋2y ＝0.
答案：0
9．已知a ＝AB ，B 点坐标为(1,0)，b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，且a ＝3b －2c ，求点A 的坐标．
解：∵b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，
∴3b －2c ＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，
即a ＝(－7,10)＝AB .
又B (1,0)，设A 点坐标为(x ，y )， 则AB ＝(1－x,0－y )＝(－7,10)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝－7，0－y ＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝8，
y ＝－10，
即A 点坐标为(8，－10)．
10．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当实数k 为何值时，(ka ＋b )∥(a －3b )？这两个向量的方向
是相同还是相反？
解：∵a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，
∴ka ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)．
由题意得(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，
解得k ＝－13
. 此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13
(a －3b )， ∴当k ＝－13
时，(ka ＋b )∥(a －3b )，并且它们的方向相反． 层级二 应试能力达标
1．若AB ＝(1,1)，AD ＝(0,1)，BC ＋CD ＝(a ，b )，则a ＋b ＝ ( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
解析：选A BC ＋CD ＝BD ＝AD －AB ＝(0,1)－(1,1)＝(－1,0)，故a ＝－1，b ＝0，a ＋b ＝－1.
2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ，则实数λ的值为 ( )
A ．－23
B. 32
C. 23 D ．－32
解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得AB ＝(3,1)，
∵a ∥AB ，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23
，故选C. 3．已知M (－2,7)，N (10，－2)，点P 是线段MN 上的点，且PN ＝－2PM ，则P 点的坐
标为( )
A ．(－14,16)
B ．(22，－11)
C ．(6,1)
D ．(2,4)
解析：选D 设P (x ，y )，则PN ＝(10－x ，－2－y )，
PM ＝(－2－x,7－y )， 由PN ＝－2PM 得⎩⎪⎨⎪⎧ 10－x ＝4＋2x ，－2－y ＝－14＋2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝4.
4．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12
ax 与线段AB 交于C ，且AC ＝2PN ，则实数a 等于( ) A ．2
B ．1 C.45 D.53 解析：选A 设
C (x 0，y 0)，则y 0＝12
ax 0， ∴AC ＝⎝⎛⎭⎫x 0－7，12ax 0－1，CB ＝⎝
⎛⎭⎫1－x 0，4－12ax 0， ∵AC ＝2CB ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－7＝2(1－x 0)，
12ax 0－1＝2⎝⎛⎭⎫4－12ax 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，a ＝2.
5．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.
解析：a ＋b ＝(2－1，－1＋m )＝(1，m －1)，由(a ＋b )∥c ，
得1×2－(m －1)×(－1)＝0，即m ＝－1.
答案：－1
6．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝
(1,5)，则BC ＝________. 解析：PQ －PA ＝AQ ＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，因为点Q 是AC 的中点，所以AQ ＝QC ，所以PC ＝PQ ＋QC ＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)，因为BP ＝2PC ，所以BC ＝BP ＋PC ＝3PC ＝3(－2,7)＝(－6,21)．
答案：(－6,21)
7．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，回答下列问题：
(1)求3a ＋b －2c ；
(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；
(3)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .
解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)
＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)
＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．
(2)∵a ＝mb ＋nc ，
∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．
∴－m ＋4n ＝3且2m ＋n ＝2，解得m ＝59，n ＝89
. (3)∵(a ＋kc )∥(2b －a )，
又a ＋kc ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，
∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.
∴k ＝－1613
.
8．已知向量AB ＝(4,3)，AD ＝(－3，－1)，点A (－1，－2)．
(1)求线段BD 的中点M 的坐标．
(2)若点P (2，y )满足PB ＝λBD (λ∈R)，求λ与y 的值．
解：(1)设B (x 1，y 1)，
因为AB ＝(4,3)，A (－1，－2)，
所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝3，
y 1＝1，
所以B (3,1)．
同理可得D (－4，－3)，
设BD 的中点M (x 2，y 2)，
则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32
＝－1， 所以M ⎝⎛⎭
⎫－12，－1. (2)由PB ＝(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )， BD ＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)， 又PB ＝λBD (λ∈R)，
所以(1,1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝－7λ，
1－y ＝－4λ，所以⎩⎨⎧ λ＝－17，y ＝37.。