【江苏省南京市、盐城市】2017届高三年级第二次模拟考试数学(理)试卷-答案

江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学(理)试卷
(2)设, 在ABD ∆中,π
,6,34
ABC AD BD ∠=
==.
由
=πsin sin 4
AD BD a ,
解得sin a 8分 因为BD AD <，所以π
(0,)4
a ∈，
所以cos 4a =. 10分
因此πππsin sin()sin cos
cos sin =)4
44244ADC a a a ∠=+=++= 12分 所以ADC ∆
的面积113
sin 62(1222
S AD DC ADC =
⨯⨯⋅∠=⨯⨯=+ 14分 16.(本小题满分14分)
证明：(1)因为AD ⊥平面,PAB AP ⊂平面PAB ,所以AD AP ⊥ 2分 又因为,,AP AB AB AD A AB ⊥=⊂I 平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,
所以AP ⊥平面ABCD . 4分 因为CD ⊂平面ABCD ,
所以CD AP ⊥. 6分 (2)因为,CD AP CD PD ⊥⊥,且,PD AP P PD =⊂I 平面,PAD AP ⊂平面PAD ,
所以CD ⊥平面PAD .① 8分 因为AD ⊥平面PAB ,AB ⊂平面PAB , 所以AB AD ⊥.
又因为,,AP AB AP AD A AP ⊥=⊂I 平面PAD ,AD ⊂平面PAD .
所以AB ⊥平面PAD .② 10分 由①②得CD AB ∥, 12分 因为CD ⊄平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,
所以CD ∥平面PAB . 14分 17.(本小题满分14分)
解：(1)因为矩形纸板ABCD 的面积为3600,故当90a =时，40b =, 从而包装盒的侧面积
22(902)2(402)=8260,(0,20)S x x x x x x x =⨯-+⨯--+∈, 3分 因为22654225
8260=8()42
S x x x =-+--+
, 故当654x =
时，侧面积最大，最大值为4225
2
平方厘米. 6分 (2)包装盒的体积
2(2)(2)[2()4],(0,)2
b
V a x b x x x ab a b x x x =--=-++∈, 8分
22222[2()4](4)(36002404)=42403600V x ab a b x x x ab x x x x x x x =-++≤-+=++-+
当且仅当60a b ==时等号成立. 10分 设32()42403600,(0,30)f x x x x =-+∈. 则()12(10)(30)f x x x '=--.
于是当010x <<时,()0f x '>,所以()f x 在(0,10)上单调递增；
当1030x <<时,()0f x '<,所以()f x 在(10,30)上单调递减.
因此当=10x 时,()f x 由最大值(10)=16000f . 12分 此时60,10a b x ===.
答：当60,10a b x ===时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米. 14分 18.(本小题满分16分)
解：(1)因为椭圆
22
2
=18x y b +经过点(,2)b c ,所以2224=18b c b +. 因为222
28c c e a ==,所以22
2
8182b b b -+
=. 因为2
2
2
a b c =+,所以22
2
8182b b b
-+=. 2分 整理得22
12320b b -+=,解得2=4b 或2=8b （舍）.
所以椭圆C 的方程为22
184
x y +=. 4分 (2)设1122(,),(,)A x y B x y ,因为(1,0)T ,则直线l 的方程为(1)y k x =-.
联立直线l 与椭圆方程22(1),18
4y k x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪
⎩
消去y ,得2222(21)4280k x k x k +-+-=,所以2
1222
1224,21
2821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
6分 因为MN l ∥,所以直线MN 方程为y kx =,
联立直线MN 与椭圆方程22,
18
4y kx x y =⎧⎪
⎨+=⎪
⎩
消去y ,得22(21)=8k x +,解得22
821
x k =
+.
因为MN l ∥,所以
1222
(1)(1)
()M N x x AM BT MN x x --=-g g . 8分
因为12121227(1)(1)=[()1]21
x x x x x x k ----++=
+g ,
所以21222
2(1)(1)7217()213232
M N x x AM BT k MN x x k --+===-+g g g . 10分 (3)在(1)y k x =-中,令0x =,则y k =-,所以(0,)P k -. 从而25
AP TB =u u u r
u u r ,所以22(1)5x x -=-,即1222
55
x x +
=. 12分 由(2)知,2
1222
1224,21
2821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
由2
122124,2122,
55k x x k x x ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩
解得221222
42162,3(21)3(21)k k x x k k -+-==++. 14分 因为21222821
k x x k -=+,所以2222224216228=
3(21)3(21)21k k k k k k -+--⨯+++, 整理得42508334=0k k --,解得2=2k 或217
50
k =-
（舍）. 又因为0k >,
所以k 16分 19.(本小题满分16分)
解：(1)当a e =时,()1x f x e ex =--,
①()()()21,()2x x h x f x g x e x h x e '=-=--=-. 由()0h x '>得ln 2x >,由()0h x '<得ln 2x <.
所以函数()h x 的单调递增区间为(ln 2,)+∞,单调递减区间为(,ln 2)-∞. 3分 ②()x f x e e '=-.
当1x <时,()0f x '<,所以()f x 在区间(,1)-∞上单调递减； 当1x >时,()0f x '>,所以()f x 在区间(1,)+∞上单调递增.
1*当1m ≤时,()f x 在(,]m -∞上单调递减,值域为[1,]m e em --+∞,
()(2)g x e x =-在(,)m +∞上单调递减,值域为[,(2)]e m -∞-, 因为()F x 的值域为R ,所以1(2)m e em e m --≤-, 即10m e em --≤.(*)
由①可知当0m <时,()21(0)0m h m e m h =-->=,故(*)不成立.
因为()h m 在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,1)上单调递增,且(0)0,(1)30h h e ==-<,
所以01m <≤时,()0h m ≤恒成立,因此01m <≤. 6分 2*当1m >时,()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,]m 上单调递增, 所以函数()=1x f x e ex --在(,]m -∞上的值域为[(1),]f +∞,即[1,)-+∞. ()(2)g x e x =-在(,)m +∞上单调递减,值域为[,(2)]e m -∞-,
因为()F x 的值域为R ,所以1(2)e m -≤-,即112
m e <≤
-. 综上1*,2*可知,实数m 的取值范围是1
[0,]2
e -. 9分 (1)()x
f x e a '=-.
若0a ≤时,()0f x '>,此时()f x 在在R 上单调递增. 由12()=()f x f x 可得12=x x 与12||1x x -≥相矛盾,
所以0a >,且()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减,在[ln ,)a -∞上单调递增. 11分 若12,(,ln ]x x a ∈-∞,则由12()=()f x f x 可得12=x x ,与12||1x x -≥相矛盾, 同样不能有12,[ln ,)x x a ∈+∞,
不妨设1202x x ≤≤≤,则有120ln 2x a x ≤<<≤.
因为()f x 在1(,ln )x a 上单调递减,在2(ln ,)a x 上单调递增,且12()=()f x f x , 所以当12x x x ≤≤时,12()()=()f x f x f x ≤. 由1202x x ≤≤≤,且12||1x x -≥,可得121[,]x x ∈,
故12(1)()=()f f x f x ≤. 14分 又()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减,且10ln x a ≤≤,所以1()=(0)f x f , 所以(1)(0)f f ≤,同理(1)(2)f f ≤.
即2
10,122,e a e a e a --≤⎧⎨--≤--⎩
解得211e a e e -≤≤--,
所以211e a e e -≤≤--. 16分 20.(本小题满分16分)
(1)因为{}n a 是公差为2的等差数列.
所以11=2(1),1n n S a a n a n n
+-=+-. 2分
从而11122(1)(2)(1)22
n
c a n a n n a n n +++++=-+-=+,即1n c =. 4分
(2)由1(1)n n n S n b a n
++=-,
得1(1)n n n n n b na S ++=-,121(1)(2)(1)n n n n n b n a S +++++=+-,
两式相减,并化简得211=(2)n n n n a a n b nb +++-+-. 6分 从而12121(2)[(1)]2
2
n n n n n n n n a a S a a n c a n b n
++++++++=-=--+
21(1)2
n n n a a n b +++=++
1(2)(1)2
n n n n b nb n b ++-=++
11(2)()2
n n n b b +=++
因此11()2
n n n c b b +=+. 9分
因为对一切*n ∈N ,有n n b c λ≤≤,所以11=()2
n n n n c b b λλ+≤+≤,
故==n n b c λλ,. 11分 所以1(1)=n n S n a n
λ++-,①
121
(2)=()2n n n S n a a n
λ++++-②
②-①,得211()=2
n n a a λ++-,即21=2n n a a λ++-
故1=2(2)n n a a λλ+-≥. 14分 又2212=1
n S a a a λ-=-,则1=2(1)n n a a λλ+-≥,
所以数列{}n a 是等差数列. 16分 21.【选做题】在A B C D 、、、四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.
A .选修41-：几何证明选讲
解：(1)因为BC 是圆O 的切线,故由切割线定理得2=BC BM BA ⋅. 2分 设AM t =,因为8,4AB BC ==,
所以24=8(8)t -,解得=6t ,即线段AM 的长度为6.. 4分 (2)因为四边形AMNC 为圆的内接四边形,所以A MNB ∠=∠. 6分 又B B ∠=∠,所以MNB BCA ∆∆:. 8分 所以
=
BN MN
BA CA
.
因为2AB AC =,所以2BN MN =. 10分 B .选修42-：矩阵与变换 解：（方法一）在直线:70l ax y +-=取点(0,7),(1,7)A B a -. 因为30003003,17717(7)1b b b a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
, 4分 所以(0,7),(1,7)A B a -在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点(0,7),(3,(7)1)A b B b a ''--. 由题意知,A B ''在直线:9910l x y '+-=上,
所以7910,
27(7)1910b b a -=⎧⎨
+---=⎩
. 8分
解得2,13a b ==. 10分 （方法二）设在直线l 上任意一点取点(,)P x y ,点P 在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点(,)Q x y '''.
因为30017x b y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,所以=3,
.x x y x by '⎧⎨'=-+⎩
4分 又因为点(,)Q x y '''在直线l '上,所以9910x y ''+-=
即27()910x x by +-+-=,也即26910x by +-=,
又点(,)P x y 在直线l 上,所以有70ax y +-=. 8分
所以
2691
17
b a -==
-,解得2,13a b ==. 10分 C .选修44-：坐标系于参数方程 解：（方法一）在直线l 的参数方程式为普通方程得434x y -=.
将曲线C 的参数方程式为普通方程得24y x =. 4分
联立方程组2434,4,x y y x -=⎧⎨=⎩解得4,4,x y =⎧⎨=⎩或1,
41,
x y ⎧
=⎪⎨⎪=-⎩
所以1
(4,4),(,1)4
A B -. 8分
所以25
4
AB . 10分
（方法二）设将曲线C 的参数方程式为普通方程得24y x =. 2分 直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得24
3()4(1)55
t t =+,即2415250t t --=, 所以12121515
,44
t t t t +=
=-. 6分
所以221212121525
||()4()2544
AB t t t t t t =-=+-=+=. 10分
D .选修45-：不等式选讲
证明：4224222222222222464()()4()4=(2)()a a b b ab a b a b ab a b a b a b ab a b ++-+=+-+++-=-. 5分 因为a b ≠,所以4()0a b ->,
所以42242264()a a b b ab a b ++>+. 10分 【必做题】第22题、第22题,每小题10分,共20分.
22.（本小题满10分）
解：因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱,所以1AA ⊥平面ABCD . 又AE ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以11,AA AE AA AD ⊥⊥.
在菱形ABCD 中π
=
3
ABC ∠,则ABC ∆是等边三角形. 因为E 是BC 中点,所以BC AE ⊥. 因为BC AD ∥,所以AE AD ⊥. 以1,,AE AD AA u u u r u u u r u u u r
为正交基底建立空间执教坐标系,
则131(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2),(3,0,0),(
,,1)2
A C D A E F
(1)31
(0,2,0),(,,1)2AD EF ==-u u u r u u u r 所以1AD EF ⋅=u u u r u u u r .
从而2
cos ,||||
AD EF AD EF AD EF <>==u u u r u u u r
u u u r u u u r g u u u r u u u r g .
故异面直线,EF AD 所成的余弦值为
2
. 4分 (2)设(,,)M x y z ,由于点M 在线段1A D 上,且11A M
A D
λ=, 则11A M A D λ=u u u u r u u u u r
,即(,,2)2(0,2,2)x y z -=-.
则(0,2,22),(3,21,22)M CM λλλλ-=---u u u u r
. 6分
设平面AEF 的法向量为000(,,)n x y z =.
因为31(3,0,0),(1)22
AE AF ==u u u r u u u r g ,
由0,0n AE n AF ==u u u r u u u r g g 得0001
=0,02
x y z +=.
取02y =,则01z =-,
则平面AEF 的一个法向量为(0,2,1)n =-. 8分
由于CM ∥平面AEF ,则0n CM =u u u u r g ,即2(21)(22)0λλ---=,解得2
=3
λ. 10分
23.（本小题满10分）
解：(1)由题意知22223223A p A ==,即2p 的值为23
. 3分
(2)先排第n 行,则最大数在第n 行的概率为
2
(1)12
n n n n =++； 5分 去掉第n 行已经排好的n 个数, 则余下的
(1)(1)
22
n n n n n +--=个数中最大数在第1n -行的概率为
11(1)2
n n n n -=-； 故121
2222213(1)3(1)n n
n p n n n n n -+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==++⨯⨯⋅⋅⋅⨯+. 7分 由于0
1
2
1
2
1
2
2
12(11)n
n
n
n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C +=+=+++⋅⋅⋅+≥++>+=,
故21112(1)(1)n
n n n C n n +++>++,即211
(1)n n n C p n ++>+. 10
分。