重庆市(区县)2019届高三上学期期中2019年普通高等学校招生全国统一考试11月调研测试卷文科数学

b3 S2 16 .
（Ⅰ）求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{ 1 } 的前 bn
n
项和为 Tn
，求证： Tn

2 3
.
（19）（本小题满分 12 分）
在 ABC 中， a，b，c 分别是内角 A，B，C 所对的边， A ， c 2 ． 3 b3
（Ⅰ）求 sin C ； （Ⅱ）若 a 2 ，求 ABC 的面积．
.
（16）设函数 f (x) 1 x3 1 (1 3a)x2 (2a2 a)x 1，若 f (x) 在区间 (0，3) 内存在极值点，则 a 的取值范 32
围是
.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分 12 分）
11 月调研测试卷（文科数学）第 4页 共 7 页 4
2019 年普通高等学校招生全国统一考试 11 月调研测试卷 文科数学 参考答案
一、选择题
1～6 CBABCC 7～12 CBBABC
1 tan
（12）解析： 1

tan
2
tan tan

1

4 tan

tan
2

tan( 4

2n 1 ， bn

3 2n1
；
……6 分
（Ⅱ） Tn

1 3
(1

1 2n
)
1 1

2 (1 3
1 2n
)
2 3
.
2
……12 分
11 月调研测试卷（文科数学）第 5页 共 7 页 5
（19）（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）设 c 2t,b 3t ，则 cos 4t2 9t2 a2 ， a
范围是
（A） a ≥1
（B） a ≥ 1 e
（12）已知角
，

(0， 2
)
，且
1 1

tan tan
2
tan ，则
2
（A） 2
（B） 2 4
（C） a 1 （C） 2
2
（D） a 1 e
（D） 2 2
0
即 3a2
6a
1
0
，解得 0 a
1
23 3
．……12
分
（21）（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）
f
( x)

a(1
1 x2
)

2 x

ax2
2x x2

a
，其中

4
4a2 ，故
当 a ≥1时， f (x) 在 (0， ) 上单调递增，当 0 a 1时， f (x) 在 (0，1 1 a2 ) 上单增， a
（Ⅱ）
x[
，]
，
2x
[
，2 ]，
sin(2x

)
[
1 ，1] ，
f
(x) [2，5]
.……12
分
64
6 63
62
（18）（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由题知
2b1 4b1
(3
2
3d ) d
54 16
，解得 b1 d
3 2 ， an
2 ln
x1x2

a
2 a
a 2 a
1
2 ln1
0
．
……12 分
（22）（本小题满分 10 分）
解：（Ⅰ）

cos(

)

1

(
3 cos 1 sin ) 1 ，即
3 x 1 y 1，
6
2
2
22
2 cos 2 2 cos x2 y2 2 x ，即 (x 1)2 y2 1 ；……5 分
2019 年普通高等学校招生全国统一考试 11 月调研测试卷 文科数学
文科数学测试卷共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项：
1. 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证 号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦擦干净后，再选涂其它答案标号框。写在本试卷上无效。
（21）（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) a(x 1 ) 2 ln x ， a 0 . x
（Ⅰ）求 f (x) 的单调性； （Ⅱ）若 f (x) 存在两个极值点 x1，x2 ，证明： f (x1) f (x2 ) 0 .
请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做。第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在答题卡相应位置上．
11 月调研测试卷（文科数学）第 2页 共 7 页 2

（A）公差为 7 的等差数列
（B）公差为12 的等差数列
（C）公比为12 的等比数列
（D）公比为 81的等比数列
（9）
设
a

log
3 4
(
3 2
)，b

(
3 2
)
3
2，c

(
3 4
)
4 3
，则
a，b，c
的大小关系为
（A） a b c
（B） b c a
（C） c a b
（D） a c b
2 （Ⅰ）若


，求直线 l
和圆 C
的直角坐标方程；
6
（Ⅱ）若 | AB | 3 ，求 .
（23）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x 3 | 1 ． （Ⅰ）求不等式 f (x) ≥ x 的解集； （Ⅱ）若关于 x 的不等式 f (x) 2 | x 1|≤ a 无解，求实数 a 的取值范围．
所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
（22）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l : cos( ) 1（其
中 (0，) ）与圆 C : 2cos 交于 A，B 两点.
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要
求的．
（1） 已知全集U R ，集合 A {x | x2 x 2 ≤ 0} ， B {x | x 0} ，则 ( U A) B
（Ⅱ）| AB | 3 圆心 (1，0) 到直线 x cos y sin 1 的距离为 1 ，即 | cos 1| 1 ，
（A）{x | x 1}
（B）{x | 2 ≤ x 0} （C）{x | x 2}
（D）{x | x ≤ 1}
（2） 已知 i 为虚数单位，则 i 1 i i
（A） i
（B）1
（3） 已知 sin( ) 1 ，则 cos 2 23
（A） 7 9
7
（B）


（13）设向量 a (2，3) ， b (1，y) ，若 a // b ，则实数 y
.
（14）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ， a1 1 ， 2Sn (n 1)an ，则 an
.
（15）已知函数 f (x) 2x2 mx 3(0 ≤ m ≤ 4，0 ≤ x ≤1) 的最大值为 4 ，则 m 的值为
ur
r
ur r
已知向量 m (sin x， 3 cos x) ， n (sin x， sin x) ，函数 f (x) (m n)2 .
（Ⅰ）求函数 f (x) 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数
f
(x)
在区间 [
， ] 上的值域.
64
（18）（本小题满分 12 分）
已知数列{an}为等差数列，a1 1，前 n 项和为 Sn ，数列{bn}为等比数列，b1 1，公比为 2 ，且 b2S3 54 ，
) 2
tan
，由 42

(

，
)
，
42
(0，) 知 2 42


，
2
42
即 2 ，故选 C. 2
二、填空题
（13） 3 2
（14） n
（15） 2 2
（16） (0,1) (1,3)
（16）解析：f (x) x2 (1 3a)x 2a2 a (x a)(x 1 2a) ，故 0 a 3 或 0 2a 1 3 且 a 2a 1，
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（20）（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) 2 ax3 (2a 1)x2 4x 1， a 0 . 3
（Ⅰ）当 x [3，0] 时，求 f (x) 的最值；
（Ⅱ）若函数 f (x) 有三个零点，求 a 的取值范围.

（A）
4

（B）
3

（C）
2
2
（D）
3
（6） 执行如图所示的程序框图，当输出的值为1时，则输入 x 的值是
开始 输入 x
x 0 是 y 2 x2
否
y x2 2
输出 y 结束
11 月调研测试卷（文科数学）第 1页 共 7 页 1
（A） 1
（B）1或 3
（C） 3 或1
（D） 1或 3
解：（Ⅰ） f (x) 2ax2 2(2a 1)x 4 2(x 2)(ax 1) ，由 a 0 知， f (x) 在 (， 2] 内单增，
在[2，1] 内单减，在[ 1 ， ) 内单增，又 f (3) 4 ， f (2) 5 8 a ， f (0) 1，
9
（4） 已知 a R ，则“ a 1 ”是“ 1 1 ”的 a
（A）充分不必要条件
（C） i 1 （C） 1
9
（D） i 1 1
（D）
9
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
rr
rr rr
rr
（5） 已知非零向量 a，b 满足 | a b || a b | ，则 a 与 b 的夹角为
0 a 3且a 1．
三、解答题
（17）（本小题满分 12 分） ur r
解：（Ⅰ） m n (2sin x， 3 cos x sin x) ， f (x) 3 2sin 2 x 2 3 sin x cos x
4 cos 2x 3 sin 2x 4 2sin(2x ) ，故最小正周期为 ；……6 分 6
x 2y 2≥0
（7）
已知实数 x，y
满足

x

3y

3
≥
0
，则 z

x 2 y 的最大值为
x y 3 ≤ 0
（A） 2
（B） 3
14
（C）
3
（D） 5
（8） 已知{an}是公差为 3 的等差数列，{bn}是公差为 4 的等差数列，且 bn N * ，则{abn } 为
3 2 2t 3t

7t ，故由正弦定理得 sin C sin 3 ，
2t
7t
sin C 21 ； ……6 分 7
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 b 3 a 6 ， c 2 a 4 ， S 1 bc sin 6 3 .……12 分
7
7
7
7
2
37
（20）（本小题满分 12 分）
（10）已知函数
f
(x)

(2x

1 x3
)ex
（e
为自然对数的底数），则
f
(x)
的图像大致为
y
y
y
y
1 x
O1
1 O1 x1 xO1来自1 O1 x（A）
（B）
（C）
（D）
（11）已知命题 p : x 0 ， x tan x ，命题 q : x 0 使得 ax ln x ，若 p (q) 为真命题，则实数 a 的取值
a
a
3
故 f (x) 在[3，0] 上的最大值为 5 8 a ，最小值为1； ……6 分 3
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， f (x) 有三个零点，只需要 f (2) 0 且 f ( 1 ) 0 ， f (2) 5 8 a 0 显然成立，
a
3
f
(1) a

1 3a2

2 a
1
在 (1 1 a2 ，1 1 a2 ) 上单减，在 (1 1 a2 ， ) 上单增；……6 分
a
a
a
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
x1

x2

2 a
，
x1x2
1，
f
(x1)

f
( x2 )

a(x1

1) x1

2ln
x1

a(x2

1 x2
)

2ln
x2

a ( x1

x2 )
a(x1 x2 ) x1x2