高考数学大一轮复习第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示教师用书理(2021学年)

2018届高考数学大一轮复习第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示教师用书理
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第一节函数及其表示
☆☆☆2０1７考纲考题考情☆☆☆
自｜主｜排｜查
1.函数与映射的概念
定义建立在两个非空数集Ａ到B的一种确定的
对应关系f，使对于集合A中的任意一个数
x，在集合B中都有唯一确定的数ｆ(ｘ)和
它对应
建立在两个非空集合A到Ｂ的一种确定的
对应关系f,使对于集合A中的任意一个元
素ｘ,在集合B中都有唯一确定的元素y与
之对应
记法y=f(ｘ),x∈Ａf：Ａ→B
2.函数的三要素
函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成,对函数y=f(ｘ)，ｘ∈A,其中x叫做自变量,ｘ的取值范围A叫做定义域,与x的值对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x）|x∈A｝叫做值域。

3．函数的表示法
表示函数的常用方法：解析法、列表法、图象法。

4.分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.
微点提醒
1．由于映射中的两个集合是非空集合，函数中的两个集合是非空数集。

所以函数是特殊的映射。

2．判断两个函数是不是相等函数,关键是看定义域和对应关系是否相同．
3.求分段函数的函数值，要依据自变量所属的区间,选择相应的对应关系求解。

当自变量不确定时,需分类讨论。

4．判断函数图象的常用结论：与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点。

小｜题｜快｜练
一、走进教材
1．(必修1P17例1(1)改编)函数f（x)＝２x－１＋＼f（１,x－2）的定义域为( )
A．[0，２）Ｂ．（2，＋∞)
C.[0，2）∪(２,+∞）D．(－∞,２）∪(2，＋∞)
【解析】由题意得错误!解得x≥0且ｘ≠2。

故选C。

【答案】C
２.(必修1P23练习T２改编）若函数ｙ＝f(x)的定义域为M={ｘ|-２≤x≤2},值域为Ｎ={y|0≤y≤2},则函数y＝f(x）的图象可能是（ )
【解析】 A中函数定义域不是[－2，2],C中图象不表示函数,D中函数值域不是[0,２］。

故选Ｂ。

【答案】 B
二、双基查验
１．下列四组函数中,表示同一函数的是( ）
A．ｆ(ｘ)=｜x|,g（x）＝＼ｒ（x2)
Ｂ.f（x）＝lg x2，g(x)=2lg x
C．f(x）=错误!,g(x)=ｘ+１
D.f(x)＝错误!·错误!,g(x)=错误!
【解析】A中,ｇ（x)＝错误!=｜x｜，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数;B
中，两个函数的定义域不同,故不表示同一函数；Ｃ中，f(x)＝x2-１
x-1
＝ｘ＋1（x≠１)与g（x）
=x+1两个函数的定义域不同,故不表示同一函数；D中，f(ｘ)的定义域为[1，＋∞),ｇ（x)的定义域为(-∞，-１]∪[1,＋∞），所以不是同一函数。

故选A。

【答案】A
2．(2０16·全国卷Ⅱ）下列函数中,其定义域和值域分别与函数y＝10ｌg x的定义域和值域相同的是( )
A.y=xﻩB．ｙ=lgｘ
C．y＝2xﻩＤ.y＝１x
【解析】通性通法函数y＝10lｇx的定义域为(0,+∞）,又当ｘ〉0时,y＝10lg x=x，故函数的值域为(０,+∞)。

只有D选项符合。

故选D．
光速解法易知函数y＝10lg x中x〉0，排除选项A、Ｃ;又10lg x必为正值,排除选项Ｂ.故选D。

【答案】D
3．(２0１6·重庆模拟）设函数ｆ(x）满足f(x＋2）＝2f(x)+x,且当0≤x〈2时,f(x)＝[x］，［x]表示不超过ｘ的最大整数,则f(５．５)=( ）
A.8.5 ﻩＢ．1０.5
C．12.5 ﻩＤ.1４．5
【解析】由题意f(x+2)＝2f(x)＋x,得f（５。

5)=2f(３.５)+3．5＝2（2f(1．５)+1.5)+3.5＝4f(1．５)+6.5＝4×1＋6.5=10.5。

故选Ｂ.
【答案】 B
4．（２016·江苏高考)函数y＝＼r（3－2x－x2）的定义域是____＿＿__．
【解析】要使函数y=错误!有意义,则３－2x－ｘ2≥0，解得－3≤x≤1,则函数y＝错误!的定义域是［-3，1]．
【答案】 [－３,1]
5.设函数ｆ（x）＝错误!若f(２）=4,则ａ的取值范围为＿____＿＿_。

【解析】因为f(2）=4,所以2∈[ａ,+∞),所以a≤２,则a的取值范围为(-∞，2]。

【答案】(－∞,2］
错误!错误!
Ａ.(2，3) ﻩ B.(2,4]
C．（2，3)∪(3,４] D.（-1,3）∪（3,6］
(2)若函数f(ｘ2-1）的定义域为[０,3］,则函数f（x）的定义域为___＿____。

【解析】（1)由函数ｙ＝f(x）的表达式可知,函数的定义域应满足条件：4-|ｘ｜≥0，错误!〉0,解得－4≤x≤4，ｘ〉3或2〈ｘ〈3，即函数f(ｘ)的定义域为（2,3)∪(3,4]。

故选C。

(2)因为0≤x≤３,所以-１≤ｘ2－1≤8，所以ｆ(ｘ)的定义域为[-１,8］。

【答案】(1)Ｃ（2)[－1,8]
错误!
3．抽象函数:
(1)若已知函数f（ｘ)的定义域为[a,b］，其复合函数f(g（x))的定义域由不等式ａ≤g(x)≤b求出；
(2）若已知函数f（g(ｘ))的定义域为[a,b],则f(x）的定义域为ｇ(x)在ｘ∈［ａ，b］时的值域。

【变式训练】(1）（２０1６·沈阳模拟）已知函数y＝f(ｘ＋1）的定义域是［-２，3］，则ｙ=ｆ(２ｘ-1)的定义域是( )
A．［-３，7］ﻩＢ.［-1，4］
Ｃ．[-５,5] D.错误!
（２）（2017·包头模拟）函数f(x）＝错误!的定义域是____＿___。

【解析】（1)由x∈[-２,３]得ｘ＋1∈[-1,4],由2x－１∈[-１,4］，解得ｘ∈错误!。

故选Ｄ.
(2）要使该函数有意义,
需要错误!则有错误!
解得-3〈x〈0或2＜x〈3，
所以所求函数的定义域为(－３，０）∪（2,3）。

【答案】(１)Ｄ (2)（-3，0）∪(2,３)
(２)函数y=错误!的值域是＿__＿＿__＿;
(3)函数y=错误!的值域是_＿______;
(4)函数ｙ＝错误!的值域是__＿_____。

【解析】（1）ｙ＝4x值域为(０，＋∞），所以０≤16－4ｘ〈１6,所以0≤1６-4x〈错误! =4，故函数y＝1６－4x的值域是[０,4）。

(2)因为μ＝－x2－6x－5=-(ｘ＋３）２+4≤4,所以0≤μ≤４,故错误!∈［0,2］,所以y ＝＼r（－x２－6 x-5）的值域为［0，2].
(3）y=错误!＝错误!=3＋错误!。

因为错误!≠0，所以3+错误!≠3,所以函数y=错误!的值域为(－∞,3）∪(3,+∞)。

（４)当ｘ=0时，ｙ＝0。

当ｘ≠0时，y＝错误!=错误!,若x〉0,则x+错误!≥２，y∈错误!；若x<０,x+＼f（1，x）≤－2,y∈错误!。

即该函数的值域是错误!。

【答案】(1)[０，4) (2）[０,2]
（3）(－∞,3)∪(3,+∞） (４)错误!
反思归纳求函数值域的常用方法有：
（1)观察法；（２）配方法;（３）单调性法；(4）分离常数法;(５)换元法；(6)数形结合法;(7）不等式法等等,其中单调性法是最常见的方法.
【变式训练】(1)函数ｙ＝＼f(1,２＋x2)的值域是＿_____＿_；
（2）函数y=错误!-错误!的值域是_____＿__;
（3）函数ｙ＝＼f(x2-x＋1,x２＋x+１）的值域是＿_____＿_。

【解析】(1）根据函数y＝x2的值域及不等式的性质可以直接观察出函数的值域为｛y|
０〈y≤1
2 }.
(２)由错误!得ｘ≥1,y＝错误!－错误!＝错误!在［1，+∞）上单调递减。

又错误!+错误!≥错误!,因此0<y≤错误!。

所以函数ｙ=错误!-错误!的值域为(0,错误!].
(3）因为x2+x＋1＝错误!2＋错误!≠0恒成立,
所以函数的定义域为R，
原式可化为y(x2＋x＋１）＝x2－x＋１,
整理得(y-1）ｘ2+（ｙ+1)x+y-1＝0。

若y=１,即2x＝0,则x＝0；
若y≠1,因为x∈R,即有Δ≥0,所以(y+1)2-4（y-1）2≥0,解得错误!≤ｙ≤3且y≠1。

综上所述，函数的值域是｛ｙ|错误!≤y≤3｝.
【答案】（1）错误!（2）(0,错误!] (３）错误!
(x)=＿_＿______＿____。

(2)已知f错误!＝ｘ2＋错误!，则ｆ(x)＝＿____＿__。

【解析】（1)设f（x)=ax2＋bx＋c(ａ≠０),
由ｆ(０）=0,知c=0,f(ｘ)=aｘ２＋bx，
又由f(ｘ＋1）=f(ｘ）+x+1,
得a（ｘ＋１)2+b（x＋1）=ax２＋bｘ＋x+1,
即ａx2+(２ａ＋b)ｘ＋a＋b＝ax2＋(b+1)x+1,
所以错误!解得ａ=b=错误!。

所以f(ｘ）＝错误!x2+错误!x，x∈R。

(２）由于ｆ错误!=ｘ２＋错误!＝错误!２-2，
所以f(x）=ｘ2－2,x≥2或x≤-2,
故f（ｘ)的解析式是f(x)＝x2－2,ｘ≥2或x≤－2。

【答案】(1)＼f（1,2)x2+错误!ｘ，x∈R
(2)ｘ2-２,x∈(－∞，－２]∪［2，＋∞）
【母题变式】若将本典例(2)的条件改为“f(ｘ)的定义域为(0,+∞)，且f(ｘ）=２f 错误!·错误!－１”，如何求解？
【解析】在f(ｘ)＝2f错误!错误!-１中,
用1
x
代替x,得f错误!＝2f(x）错误!－１，
将f错误!=错误!-1代入f(x)＝２f错误!错误!-1中,
可求得f(x)＝错误!错误!＋错误!．
即函数f（x）的解析式为f(ｘ）＝错误!＋错误!,x∈（0，+∞）。

【答案】f(x)＝错误!＋错误!,x∈(0,+∞)
反思归纳函数解析式的求法
1.待定系数法：适合已知函数的类型(如一次函数、二次函数).
2．换元法：已知复合函数f(ｇ(x))的解析式，可用换元法,此时要注意新元的取值范围。

3.配凑法:由已知条件f(g(x）)＝F（x),可将F(ｘ）改写成关于g(x）的表达式,然后以x 替代g(x)，便得f(x)的解析式。

４.消去法：已知f(x）与f错误!或ｆ(-ｘ)之间的关系式，可根据已知条件将x换成错误!或－x构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出ｆ（x）。

【拓展变式】定义在R上的函数f(x）满足f（x＋1)=2f(x)。

若当0≤ｘ≤１时,f（x）＝ｘ（1-x），则当－1≤ｘ≤０时,f（x)＝_____＿＿_＿__＿＿__＿_＿_.
【解析】当0≤x≤1时,f(x）=x（１-ｘ）,
当-1≤x≤0时，0≤ｘ＋1≤1,
∴f（x+1）=（x＋1)[１－(x＋1）]=－x（x+１）,
而f(x)＝错误!ｆ(x+1)=-错误!ｘ2-错误!ｘ。

∴当－1≤x≤0时,f(x)＝-错误!x2-错误!ｘ.
【答案】－错误!x2-错误!ｘ
【典例4】（１）（2016·沈阳监测）已知函数f（ｘ)=错误!则ｆ(f（4)）的值为( )
A.－１
９
ﻩ B.-9
C。

错误! D.９
(２)已知f(x)＝错误!若f(a）=错误!，则a=__＿_____．
【解析】 (1）f(４）＝log错误!4=lｏg错误!错误!-2=－2，
所以f(ｆ(4））＝ｆ(-2）＝3-２=＼f(１,9)。

故选C。

（2)若a≥０，由f(a)＝错误!得,a错误!＝错误!,解得a=错误!;若a〈0，则|sinａ|＝错误!，a∈错误!，解得a=-错误!．综上可知,a=错误!或-错误!。

【答案】（1）C （2）错误!或-错误!
角度二:分段函数图象与性质的应用
【典例5】对任意实数a，ｂ定义运算“⊗”:a⊗b＝错误!设f（ｘ)=（ｘ2-１）⊗(4＋x）,若函数y＝f（ｘ)＋ｋ的图象与x轴恰有三个不同交点,则ｋ的取值范围是（) A．(－2,1）ﻩ B.[0,1]
C．[-2,0）ﻩＤ.［-2，1）
【解析】解不等式ｘ2－1－(４＋x)≥1，得x≤－2或x≥3。

所以ｆ(ｘ）＝错误!其图象如图实线所示，由图可知，当-1<－k≤2,ｙ=f(ｘ)与ｙ=k恰有三个交点，即当-2≤k<1时，函数y＝f（ｘ)+k的图象与ｘ轴恰有三个不同交点。

故选D.
【答案】D
反思归纳１.对于分段函数给定自变量求函数值时，应根据自变量的范围,利用相应的解析式直接求解；若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解,但应注意检验该值是否在相应的自变量取值范围之内。

2.由分段函数的函数值相同求自变量或参数的范围问题,一般画出分段函数的图象,观察在相应区间上函数图象与相应直线相交的交点横坐标的范围，列出函数满足的不等式,从而解出参数范围。

微考场新提升
1．下列函数中,与函数y=ｘ相等的是（ )
A．y＝（＼r（x))2ﻩＢ．y＝＼r(3，x3)
Ｃ.y=错误!ﻩＤ.y=错误!
解析 A中，ｙ=(错误!）2=x（x≥０)与函数y＝x（x∈R）对应关系相同，但定义域不同,故A错;C中,函数y=错误!＝|x|(x∈R)与函数y=x（x∈Ｒ)的对应关系不同,故C错;Ｄ中，函
数y＝＼f（x2,x)＝ｘ(x≠0)与函数y＝ｘ（x∈R）的定义域不同，故Ｄ错;B中，函数y＝3
ｘ3
＝x(x∈R)与函数y＝x(x∈R)对应关系相同,定义域也相同,故B正确。

故选B.
答案Ｂ
2.已知集合M＝{-1，1,2，4｝，N＝｛0,1，2},给出下列四个对应法则：①y=x2,②y=ｘ+１,
③y=２ｘ,④y＝log2｜x｜。

其中能构成从M到N的函数的是＿_______。

解析对于①,②，Ｍ中的2，4两元素在N中找不到元素与之对应，对于③，M中的-1,２,4在Ｎ中没有元素与之对应。

答案④
3.对于集合A={x|０≤x≤2}，B＝｛y|0≤y≤３},则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是( ）
解析对于B,C两图可以找到一个x与两个ｙ对应的情形,对于Ａ图,当x=2时,在B中找不到与之对应的元素。

故选D。

答案 D
4.设f，ｇ都是从A到A的映射(其中A=｛1,２,3}）,其对应关系如下表：
x１２3
ｆ312
g３21
则f(g(3)）等于(
A．1 ﻩＢ.２
C.3 D．不存在
解析由表格可知g（3)=1，∴ｆ(g（３)）=f（1)=3.故选C.
答案C
5.设函数f(x)=错误!若ｆ错误!＝４,则b=( ）
A.1 ﻩB。

错误!
Ｃ.错误!ﻩＤ．错误!
解析f错误!＝3×错误!-ｂ=错误!-ｂ，
当错误!-b≥1，即b≤错误!时,f错误!=2错误!－ｂ,
即2＼ｆ（5，2）－ｂ=4＝２2,得到错误!－b=2，即b＝错误!;
当错误!－b<1,即b＞错误!时，f错误!＝错误!－３b-b=错误!-４ｂ,
即15
2
－４b＝4,得到b=＼ｆ（7，8)<
３
２
,舍去。

综上,b＝错误!.故选D.
答案 D
微专题巧突破
函数的新定义问题
定义函数问题是指给出阅读材料,设计一个陌生的数学情境，定义一个新函数,并给出新函数所满足的条件或具备的性质;或者给出已知函数,再定义一个新概念(如不动点），把数学知识与方法迁移到这段阅读分析材料，考生需捕捉相关信息,通过归纳、探索,发现解题方法，然后解决问题。

处理此类题目的方法如下：
(1)联想背景：有些题目给出的新函数是以熟知的初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等)为背景定义的,可以通过阅读材料,分析有关信息，联想背景函数及其性质,进行类比,捕捉解题灵感，然后解决问题。

（２）紧扣定义:对于题目定义的新函数,通过仔细阅读,分析定义以及新函数所满足的条件，围绕定义与条件来确定解题的方向,然后准确作答.
（３)巧妙赋值：如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程，可采用赋值法,即令x,ｙ取特殊值,或为某一范围内的值,求得特殊函数值或函数解析式，再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题。

（4)构造函数:有些新定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成。

【典例】在平面直角坐标系中,两点P１(x１，ｙ1），P2（x２，y2)间的“L-距离”定义为||P1P2｜|＝|x1－x2|＋｜y1-ｙ２|，则平面内与x轴上两个不同的定点F１,F2的“Ｌ-距离"之和等于定值(大于||F１Ｆ２||)的点的轨迹可以是( )
【解析】设P（x,ｙ）,F1（-ｃ，0），F2(ｃ,０）,c〉0,则｜｜F1F2|｜=2c,依题意,得|｜ＰＦ
｜|＋|｜ＰF2|｜＝2d（ｄ为常数,且ｄ>c),所以｜ｘ+c｜＋｜y－0|＋｜x-ｃ|+|ｙ-0｜＝1
2d,即｜x＋ｃ|＋｜x-ｃ|＋２|y|＝2ｄ。

①当－c≤x≤c时,（x＋c)+ｃ-ｘ＋２|ｙ|＝2ｄ，即ｙ＝±(d-c）;
②当x<-ｃ时，-(x＋ｃ）+ｃ-x＋2｜y|=２ｄ，即ｘ±ｙ＋d＝0;
③当x〉c时，（ｘ＋c)＋x－c+２｜y｜＝2d,即x±y－d＝0.
画出以上三种情形的图象,可知选项Ａ正确。

【答案】 A
【变式训练】对于函数ｆ(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值,都有f(x）
=ｆ(2a-x），则称f(x)为准偶函数。

下列函数中是准偶函数的是( )
A.f（ｘ)=错误!ﻩ
B.f(x)＝x2
C.f(x)=taｎxﻩＤ．f（x）=cｏｓ(x+1）
【解析】由题意可得准偶函数的图象关于直线ｘ＝ａ(a≠0）对称,即准偶函数的图象存
在不是y轴的对称轴.选项A，Ｃ中函数的图象不存在对称轴，选项B中函数的图象的对称轴为
y轴，只有选项Ｄ中的函数满足题意。

故选D。

【答案】 D
以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

高尔基说过：“书是人类进步的阶梯。

”我希望各位朋友能借助这个阶梯不断进步。

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回归自我。

用学习来激活我们的想象力和思维,建立我们的信仰，从而保有我们纯粹的精神世界，抵御外部世界的袭扰。

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