初三数学教案【二次函数的图像与性质】.doc

二次函数的图象与性质
【教学目标】
1、掌握二次函数的图象与性质并达到熟练应用；
2、熟悉二次函数解析式的各种形式和对应的求解方法；
3、理解二次函数与一元二次方程之间的关系且会应用。

【课型课时】
针对第一轮复习的中考学员，复习课，难度中等，时长20分钟。

【教学重点】
二次函数的图像与性质，二次函数解析式的确定。

一、二次函数的图象与性质
（-）二次函数的三种表达式
1、一般式：y = cix2 +Z?x+c（a,b,c为常数,a 0）
2、顶点式：y = d（兀一力r+Ma,h,k为常数,a^0）——二次函数图像的平移
3、-------------------------------------------------- 两点式：歹=。

（兀一兀］）（尤一兀2）（込兀1，兀2为常数』工0）------------------------ 交点与一元二次方
程的关系（不是每个二次函数都可以用两点式表示）
【例题1］如果函数）=（£-3）（5我+也+ 1是二次函数,则k—定是_________
分析：〉，=（£-3）疋一3"2+也+ 1是二次函数，则—3工0 , k2-3k+2 = 2，可解得"0。

【练习1】关于x的函数y =（加+ 1）x2 +（m-l）x + m ,当加=0时，它是__
函数；当加=T时，它是______ 函数。

【例题2］把二次函数y = -2x2 + 4x + 3化成y = d（x- /i）2 + k的形式_____
【练习2］函数y = 2X2-4X-1写成y = G（ v A）2 + k的形式___________ 抛
物线y = 2X2-4X-1的顶点坐标是 ________ 对称轴是___________ 。

（二）二次函数的图象与性质
【例题3】对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1,0） , （3,0）两点，則它的对称
轴为___________ O
分析：对于两点式：y = °（兀一再）（尤一兀2）（3,兀1，兀2为常数，a工0）对称轴为兀二兰学。

所以兀二罟=2
2 2
【例题4］已知二次函数y = x2- mx-\，当x<4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____________ 。

/ 、2 2
分析：先化成顶点式）u X— -牛-1 ,因为d>0 ,所以开口向上，函数图
\ Z丿 4
ni
象以对称轴X =-为界左减右增，因为当Y4时，函数值y随X的增大而减小，所以
m
—>4 ,即m>8o
2
【练习4-1］已知两点A（-5,yJ , B（3,y2）均在抛物线y = ax1 +Z?x + c（a 0）± ,
点C（xo，yo）是该抛物线的顶点，若> y2 > y（）,则x（）的取值范围是___ 。

【练习4-2］设A（-2,yJ , B（l,y2） , C（2,y（J是抛物线）=-（无+ l『+a上的
三点，则yi、y2、y3的大小关系为____________ 。

（三）二次函数图象与系数a. b、c的关系
【例题5】如图，已知二次函数的图象如图所示，下列4个结论:①abc < 0 ；② Z?Vd +
c ; ®46?+2Z?+ C>0 ; @b2-4ac>0o其中正确的结论有________________________ 。

分析:因为抛物线图象开口向上，所以a>0 ;因为抛物线图象
与y轴的交点在正半轴，所以c>Q;因为对称轴x = 2 , a>Q 所以一刍=2 , b<0 ,即b = -4a;
因为顶点在第四象限，
2a
4ac-b2 c z 4ac-h2 b ( b\ z x nn . n
所以------- <0 , ( ------------- = c +—x ------- =c + b );即c + bvO ;
4a 4Q 2 \ 2a)
综上，a>0 , h<0 , c>0 z h = -4a , c + /?<0
所以正确的结论有①②④
注：③ 4a + 2b + c = 4a + 〃 + /? + c = 4。

一4a + b + c = b + c v 0
【方法指导】判断a、b、c及b2-4ac
①确定a :看开口；
②确定c : y轴交点；
③确定a、b关系及b :看对称轴位置，左同右异定符号；
④确定戻-4ac :看x轴交点个数，决定，-4血的正负。

【练习5-1］已知二次函数y二处2+加+吃工0)的图象如图所示，给出以下结论: ①a + b + cvO；②G-b + cvO；③b + 2av0； @ abc > 0 o其中所有正确结论的序号^ O
【练习5-2］若整数x , y满足条件2X2-6X+/=0 ,则/ +齐5兀的最大值是
二、二次函数解析式的确定
(-)待定系数法(每年必考——压轴题第一问)
1、一般式：y = cix2+bx + c^^0)o若已知三个点坐标，则可设所求二次函数为y = ax1+加+ c(a H 0),将已知三点坐标代入即可求出a、b、c的值。

2、顶点式：)=G(X-/2)2 +k(a工0)。

若已知顶点坐标方程或对称轴与最大(小) 值，即可设所求二次函数为y = a(x-h)2+k^^O).将已知条件代入，求出待定系数
a ,最后将顶点式化为一般式。

3、两点式：y =。

(兀-兀［)(乳-兀2)心工0)。

若已知二次函数图象与x轴的两个交
点坐标(x p0)(x2,0)和第三点坐标或其他条件，则可设所求二次函数解析式为y = (x-x2)(a^0)
a ,最
#将已知的第三点或其他条件代入，求出待定系数
后将所求解析式化为一般式。

【例题7］已知抛物线y = x2+bx + c经过坐标原点，并与x轴交于A(2,0),则抛物线的表达式______________________ O
分析:把(0,0)代入可得出c的值，c = 0 ;再把A(2,0)代入y = F +加得b的值，b = -2 .即可得出抛物线的表达:y = + 一2兀。

【练习7】抛物线y-ax'+Zzx + c经过点(2,-4)与(-2,8)，则b= ____________ 。

(二)平移法
该方法仅适用于顶点式：y = a(x-h)2,故使用此方法之前应先将要平
移的解析式化为顶点式。

规律——左加右减(x ),上加下减(y )。

【例题8］将二次函数y = (x-2)2 +5的图象向右平移3个单位,再向上平移4个单位，则得到的函数解析式为_____________________
分析：向右平移3个单位，左加右减，(兀―2『=>(兀—2 —，
再向上平移4个单位，上加下减，y = (x-2)2+5=>y = (x-2-3)2+5 + 4
艮卩y = (x-5)2+9Wcy = x2-10x+34e
【练习8］将二次函数y = (x + 3)2 +8的图象向左平移7个单位，再向下平移3个单位，则得到的函数解析式为_________________ 。

三、二次函数与一元二次方程的关系
—元二次方程ax2+bx+c = 0的根就是二次函数y = or2+/?x + c(a^O)与x轴交点的横坐标。

1、二次函数y = ax2 +加+ c(aH0)与x轴有两个不同交点u>方程ox? +加+c = o有两个不等实根o △=戻一仏>0 ;
2、二次函数y = +bx + c(a H0)与x轴有一个交点o方程ax2 +bx-^-c = 0有
两个相等的实根o △=夕- 4购=0 ;
3、二次函数y = cuc2 4-4-c(a 0)与x轴无交点o方程ax2+bx^c = 0无实数根o -4ac<0o
【例题9］若二次函数y =也? + 2x +1的图象与x 轴只有一个交点，则常数k 的取 值范围为 _______________ O
分析：因为二次函数y = kr+2x^\的图象与x 轴只有一个交点，则方程 kx 2
+ 2兀+1 = 0有两个相等的实数根，即A = 22
-4k = 0，所以k = 1。

【练习9-1］若函数y =怂? + 2兀+1的图象与x 轴只有一个交点，则常数k 的取值 范围为 ________________ O
【练习9-2］若函数y =卅+ 2卄1的图象与x 轴没有交点,贝U 常数k 的取值范围 为 ________________ O 家庭作业 3、当-2<x<l 时，二次函数y =—(兀—加尸+ m 2 +1有最大值4 ,则实数m 的值为
4、 已知抛物线的顶点坐标是(2,1),且抛物线的图象(3,0)点，则这条抛物线的解析 式^ ____________________ O
5、 若彳各抛物线y =疋向右平移2个单位，再向上平移3个单位,则所得抛物线的 表达式为 _________________ C 6
、 二次函数y = ax 2
+bx+da, b, c 为常数，冃d H0)中的x 与y 的部分对应值 如下表： X -1 0 1 3 1、
致为(
A. 4个
下列结论：
(1 ) ac<0 ;
(2 )当无>1时，y的值随x值的增大而减小；
(3)3是方程仮2+(/?-1)兀+ c = 0的一个根；
(4)当TVxV3时，^2+(/rl) X + C>0O
正确的有_______________ O
7、若函数y = Z+8%+12的图象与x轴有一个交点，则常数k的取值范围为。