2020年中考数学专题复习和训练：规律探索型问题例析(无答案)

2020年中考数学专题复习和训练：
规律探索型问题例析
编写： 赵化中学 郑宗平
专题透析：
初中数学的规律探索问题是近年来各地数学中考的热点；规律探索型主要包含数式规律的探索和图形变换规律的探索；除了直接给出数式组和图形组，规律探索型还常以新定义和阅读理解的形式出现；自贡17、18、19年的数学中考试题均有规律探索的题，19年是以阅读解答题的形式出现的；解答这方面的题时，一定要通过观察、实验、归纳、类比等活动，探索所给的数式组或图形组内在的规律，从而找到破题的方向.下面我精选了一部分规律探索题进行解析，并分题组附有追踪练习，最后的综合提升练习供选练，例习题共有160余道.
典例精析：
题目一. 数式规律探索问题典例
例1.一列数L 、、、、123n a a a a ，
其中=-1a 1，=-211a 1a ，=-321a 1a ，……，-=-n n 1
1a 1a ； 求：⑴.2020a 的值；⑵.++++L 1232021a a a a 的值.
分析：
本题关键是先依次计算出L 、、、、123n a a a a 的值，从中发现循环规律，然后对应解答问题. 略解：
∵=-1a 1 ∴=
=-211a 112 ∴==-31a 2112
∴==--41a 112，…… . 从上面的解答可以看出L 、、、
、123n a a a a 的值依次按-1
1,,22为一个循环节循环的. ⑴.÷=L 202036731，所以2020a 的值对应的是“-1
1,,22”循环节的第一个数，故=-2020a 1.
⑵.÷=L 202136732；因为一个循环节的和为()-++=131222，余数为2对应的-1
1,2
两个
数。

所以()++++=⨯+-+=L 123202131
a a a a 6731100922
.
点评：
本题可以看作“数式循环规律”的题型，这类题关键经过计算得出循环的规律，得出循环节的组成，在根据问题与循环节的对应关系解答问题.
追踪练习：
1.观察下列等式：=======1234567
33,39,327,381,3243,3729,32187,L .解答下列
问题：+++++2342020
33333L 的末尾数字是 （ ） A.0 B.2 C.3 D.9
2.在一列数：L 123n a ,a ,a ,,a 中，==L 12a 7,a 1, ，从第三个数开始，每一个数都等于它前
两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2020个数是 （ ） A.1 B.3 C.7 D.9
3.如果从左到右，在每个小方格中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2019个格子的数为 （ ）
A.2
B.3-
C.0
D.1 4.
如图，将1,
排列，若规定()a,b 表示a 排b 列的数，则()3,2与()2020,2020表示的两个数的积为 （ ）
第1排
第2排
1 第3排 1
1
第4排
…… …… 第4
列
第3列
第
2列
第1列
D.1
5.观察图中正方形的四个顶点的锁标的数字规律，可知数字2020应标在 （ ）
A.第505个正方形的左上角
B.第505个正方形的右上角
C.第505个正方形的左下角
D.第506个正方形的右下角
6.若x 是不等于1的实数，我们把
11x -称为x 的差倒数，如2的差倒数是1112
=--，1-的差倒数为
()11112=--，现已知11
x 3
=-，2x 是1x 的差倒数，3x 是2x 的差倒数，4x 是3x 的差倒数，…，依次类推，则 2020x = .
第4个正方形
1312第3个正方形98第2个正方形7654第1个正方形3
210
7.已知：=
-1t
a t 1
，=-211a 1a ，=-321a 1a ，……，+=-n 1n 1a 1a ；则2020a = .（用
含t 的代数式表示）
例2.观察下列各式：
=-=⨯11111222；
+=-+-=⨯⨯111112112232233； ++=-+-+-=⨯⨯⨯1111111131122334223344
；…… 请按上述规律，写出第n 个式子的额计算（n 为正整数）： （写出最简计算结
果即可）
解析：由数式的规律可知：当=n 1时，结果为
=+11112 ；当=n 2时，结果为=+22123
；当=n 3时，结果为
=+33134 ；…… 所以第n 个式子的结果为：+n n 1；故应填：+n n 1
. 点评：
本题可以看作“数式递推规律”的题型；这类题首先观察给出的等式或式子；其次标序数，并把等式左右两边的每项用含序数的式子表示出来，得到关系式；再次分析对比结果与序数的对应变化关系进行解答.平时可以记住一些常用数字规律.
追踪练习：
1.观察下列关于x 的单项式，探究其规律：L 23456
x,3x ,5x ,7x ,9x ,11x ,；按照上述规律，第2020个单项式是 （ ） A.20202020x B.20194039x C.20204039x D.2020
4040x 2.先观察下列各式后，用n 来表示这一规律正确的是 （ ）
①.;223142-=⨯②. ;224243-=⨯③. ;225344-=⨯④.22
6445-=⨯L ； A.()22n n 14n --= B.()()22n 1n 4n 1+-=+
C.()()22n 2n 4n 1+-=+
D.()()22
n 2n 4n 1+-=-
3.观察以下数列的特点：--L 0,1,4,9,16,25,，则第11个数是 （ ） A.-121 B.-100 C.100 D.121
4.按照一定规律排列的n 个数：---L 2,4,8,16,32,64, ；若最后三个数的和为768，则n 为 （ ） A.9 B.10 C.
11 D.12
5.
L 2,
,
2,
4,
……
6.
若2的位置记为()1,2，
()2,1 （ ）
A.()5,4
B.()4,4
C.()4,5
D.()，
3,5 7.把所有正奇数从小到大排列,并按如下规律分组： ()1 ，(
)3,5,7，()9,11,13,15,17，
()19,21,23,25,27,29,31，……；现有()=m A i,j 表示正奇数m 是第i 组第j 个数（从左往
右数），如()=7A 2,3，则=2019A （ ）
A.()31,52
B. ()32,49
C. ()33,48
D. ()34,44 8.已知数列：L 0,3,8,15,24,35,，则第11个数为 ，第n 个数表示为 .
9.有一个多项式为-+-+-23451234
m m m m m 2345
L 按照这样的规律写下去，第2020项为
是 ；试写出第n
项为 .
10.
===L
.
=、a b 均
.
14.观察下列一组数：L 13579
,,,,,49162536
，它们是按一定规律排列的，那么这一组数据的第n
个数是 .
15. 观察下列一组数：--
-L 37911
,1,,,,2101726
，它们是按一定规律排列的，那么这一组数据的第11个数是 ，第n 个数是 .（n
为正整数）
16.观察右面数表：
根据数表所反映的规律,第n 行第n 列交叉点上的数应为 .
题目二. 图形规律探索问题典例 例1.如图，在平面直角坐标系中，()()()(),,---A 11B 11C 1
2D 12-，，，，，，把 一条长2020个单位长度的且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端 固定在A 点，并按A B C D L 的规律绕在四边形ABCD 上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 . 解析：
根据题意先算出矩形ABCD 周长为：()+⨯=23210个单位长，就是细绳绕1圈的单位长（就是距离的“循环节”），则÷=202010202圈，恰好整圈，所以 细线的另一端所在位置的点的坐标为()-1,2 .故应填：
()-1,2.
例2.如下面的图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△11AB C 的位置，点B O 、分别落在11B C 、处，点1B 在x 轴上；再将△11AB C 绕着点1B 顺时针旋转到△112A B C 的位置，点2C 在x 轴上；再将△112A B C 绕着点
2C 顺时针旋转到△222A B C 的位置,点2A 在x 轴上；…；依次进行下去.若点()5A 0B 04
⎛⎫
⎪，、，，则2020B 的坐标为 .
分析：
根据已知坐标并结合勾股定理可以求出⊿ABC ≌⊿ABO 三边的长，根据旋转可以计算出B 偶数序号点之间相差的距离单位数（恰好是△ABO 的周长），当然也可以算出B 奇数序号点之间相差的距离单位数（恰好是△ABO 的周长）；本题序号符合前者特征，所以根据B 偶数序号横纵坐标的坐标变化规律（△ABO 的周长就是一个距离的循环节）就可以推算出2020B 的横坐标.
略解：∵=
=5
AO ,BO 43
∴===13AB 3
∴++=++=112513
OA AB B C 41033
∴2B 的横坐标为10.
又 ==22B C BO 4 ∴2B 的坐标为()10,4
同样可以计算出()()46B 20,4,B 30,4,L （即横坐标是n
2
的10倍，纵坐标均为4） ∴2020B 的横坐标为÷⨯=202021010100
∴2020B 的坐标为()10100,4. 故应填：
()10100,4.
点评：
例1、例2可以看作“图形“循环”变换规律”的题型；这类题主要是先根据图形的循环变换分割出循环节，再次弄清每个循环节的各要素并计算出循环节以及各要素相关量，再次对应解答问题.这类可以穿插数学的多种知识，有的与函数和几何变换相结合题有一定的难度.
追踪练习：
1. 根据下图中箭头指向的规律，从2018到2019再到2020，箭头的方向是 （ ）
2.如图，动点P 从(),03出发，沿如图所示的方向（看图中的
编号）运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入 射角，当点P 第2020次碰到矩形的边时，点P 的坐标为 （ A.(),14 B.(),50 C.(),64 D.(),83
3.如图,将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连 续翻转8次，点P 依次落在点1234P ,P ,P ,P ,L ,则 点9P 的横坐标是 （ ）
A.5
B.6
C.7
D.9
A B C D
第一列…
1
234第二列 (2)
345第三
列…
3
4
56
第
四列
…
4567第四行
...第一行...第三行...第二行 (x)
4.如图，将正六边形ABCDEF 放置在平面直角坐标系内，()A 2,0-,点B 在原点，把正六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2020次翻转之后，点C 的坐标是
）
A.()4038,0
B.(
C.(
)
D.(4040,
5.一组图案“△□□※※※○○○○△□□※※※○○○○ ……”；按这种规律持续进行下第2020个图案是 ，全部2020个图案共有 个“△”.
6.如图，一段抛物线()()y x x 10x 1=--≤≤记为m ，
它与x 轴的交点为1O,A ,顶点为1P ;将1m 绕点1A 旋转180°得到2m ，交x 轴于点为2A ，顶点为2P ;将2m 绕点2A 旋转180°得到3m ，交x 轴于点为3A ，顶点为
3P ；……，如此进行下去，直至到12m ，顶点为12P ，
则顶点12P 的坐标为 .
例3.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形12OA A 的直角边OA 在y 轴的正半轴上，且
==112OA A A 1,以2OA 作第二个等腰直角三角形23OA A ，以3OA 作第二个等腰直角三角形
34OA A ，……，依此规律，得到等腰直角三角形20192020
OA A ，则2020A 的坐标 .
解析：
根据题意和等腰直角三角形的性质可知：
=1OA 1 ,=2OA =
2
3OA ,=3
4
OA
,
=
2018
2019OA ,=2019
2020
OA ,……
例3也可以看作“图形“循环”变换规律”的题型.但和例1、例2不一样的是每个循环节
“长度”不是一个“恒值”，而是在每个循环节个要素内按规律递增或递减，是递变的，这也是这种题的难点.就本题而言8个点位在象限夹角平分线位置上和和坐标轴位置上循环，但点的坐标是
按幂次递增的. 追踪练习：
1.一组正方形如图所示的方式放置，其中顶点B ；在y 轴上，顶点L 1122343C ,E ,E ,C ,E ,E ,C , 在x 轴上，已知正方形1111A B C D 的边长为1，∠=o
11B C O 60,,11B C ∥22B C ∥33B C ,……则正方形2020202020202020A B C D 的边长为 ）
A.⎛⎫ ⎪⎝⎭
2019
12 B.⎛⎫
⎪
⎝⎭
2020
12
C.⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
2019
3 D.⎫
⎪⎪
⎝⎭
2020
3
2.如图，在Rt △ABC 中，,ACB 90AC 2BC 2∠===o ;作内接正方形111A B D C ,在Rt △11
AA B 中，作内接正方形2221A B D A ;在在Rt △22AA B 中，作内接正方形3332A B D A ;…… 依此作下去，
则第n 个正方形n n n n 1A B D A -的边长是 （ ）
A.-n 1
13 B.n 1
3
C.--n 1n 123
D.n n 23
3.已知反比例函数1y x
=
的图象，当x 取1,2,3,,n L 时，对 应在反比例函数图象上的点分别为123n M ,M ,M ,,M L ，则 S △112P M M + S △223P M M + … + S △n 1n 1n P M M --= .
4.正方形11122213332A B C O A B C C A B C C L 、、、按如图的方式放置. 点
123A A A L 、、、和点123C C C L 、、、分别在直线y x 1=+和x 轴上，则点6B 的坐标是 ，n B 的坐标是 .
5.如图，已知六边形ABCDEF 是正六边形，曲线1234567FK K K K K K 叫 “正六边形的渐开线”，其¼¼¼¼¼¼11223344556FK K K K K K K K K K K 、、、、、的圆心依次按A B C D E F 、、、、、循环，分别记为12345l l l l l 、、、、、， 6l 、L . 当AB 1=时，2019l = .
6.如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB 变换成三角形11OA B ，第二次将三角
7
K 3211
形11OA B 变换成三角形22OA B ，第三次将三角形22OA B 变换成三角形33OA B ；…… ；已知：
()()()()()()()();,.123123A 13A 23A 43A 83B 20B 40B 80B 160，，，，，，，，，，，，，
⑴.找出规律，照此变换成三角形44OA B 则4A 的坐标是 ，4B 的坐标是 ；
⑵.根据规律，照此变换成三角形20202020OA B ，则2020A 的坐标是 ，2020B 的坐标是 ；（用幂的形式表示）
⑶.根据规律，照此变换n 次，变换成三角形n n OA B ，则n A 的坐标是 ，n B 的坐标是 .（用幂的形式表示）
例4.下列图形是由同样大小的棋子按一定规律组成的，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子。

…，则第⑧个图形中棋子的颗数为 （ ） A.141 B.106 C.169 D.150 分析：
本题的图从②个图开始可以看作是由图①的一个 棋子为中心依次向外以五边形的形式向外扩张， 棋子依次是5的整数倍关系.所以第⑥个图形中 棋子的颗数也就容易计算了.
解：
∵第①个图形中棋子的个数为：=+⨯1150 1=1+5×0； 第②个图形中棋子的个数为：()+⨯+=15016 ； 第③个图形中棋子的个数为：()+⨯++=1501216；…
∴第n 个图形中棋子的个数为：()()
-+⨯++++-=+L 5n n 115012n 112
；
则第⑧个图形中棋子的颗数为:⨯⨯+=587
11412
故应选A ．
例5. 下列是正方形网格的一组图，每个小正方形的边长均为1. ⑴.第9个图形有多少个边长为1的小正方形？
⑵.第n 个图形有多少个边长为1的小正方形？（用含n 的式子表示） ⑶.第6个图形总共有多少个正方形？（不限边长）
解析：
⑴.第1个正方形需要4个小正方形，即=2
42；第2个正方形需要9个小正方形，=2
93；第3个正方形需要16个小正方形，=2
164；….第9个正方形需要小正方形的个数为：（()+==2
2
9110100个.
⑵.根据⑴分析的规律可知第n 个图形有()+2
n 1 个边长为1的小正方形 ⑶.第1个图形正方形的总个数是2
2
51412=+=+个正方形；
第2个图形正方形的总个数是222
14149123=++=++个正方形；
第3个图形正方形的总个数是2
2
2
2
30149161234=+++=+++个正方形； ……
所以第6个图形正方形的总格数为：++++++==L 2
2
2
2
2
2
2
1234567140. 点评：
例4、例5可以看作“图形“累加”变换规律”的题型；解答这种题的程序是：标序号 → 数个数 → 找规律 → 验证 → 求结果.这种图形有：基础图形累加、基础图形递变累加、图形个数局部累加、图形个数分区域累加等类型.这种类型的图形变换规律的题在近年来各地的数学中考比较常见.
追踪练习：
1.如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数 依次为2,4,6,,2n,L L ；请你探究出前n 行的点数和所满足的规律. 若前n 行点数和为930，则n = （ ）
A.29
B.30
C.31
D.32
2.如右图，是一组按某种规律摆放成的图案，则图5中三角形的个数是 （ ）
A.8
B.9
C.16
D.17
3.下列图形都是由同样大小上网矩形按一定规律组成的，其中第⑴个图形的面积为22cm ，第⑵个图形的面积为28cm ，第⑶个图形的面积为218cm ，…，第⑽图形的面积为 （ ）
A.2196cm
B.2200cm
C.2216cm
D.2256cm
x
1234567891011121314151617
图③
图②
图①第3
个图形
第2
个图形
第1
个图形
图4图3
图
2图
1(4)
(3)
(2)
(1)
4.如图所示，下列图形是由相同的“⊙”图案按一定的规律摆成的，按此规律摆下去第n 个图形中有120个⊙图案，则n 的值为 （ ）
A.28
B.29
C.30
D.31
5.如图所示,下列由火柴棒拼出的一系列图形中,第100个图形中火柴棒的根数是 （ ）
A.400
B.304
C.301
D.300
6.下面右面组图是用棋子摆成的“上”字:如果按照以上规律继续摆下去,那么通过观察,可以发现:第20个“上”字需用(枚棋子个数 （ ）
A.62
B.80
C.78
D.82
7.如图,一枚棋子放在七角棋盘的第0号角,现依逆时针方向移动这枚棋子,如第1步从第0号角移动到第1号角,第2步从第1号角移动到第2号角,第3步从第2号角移动到第3号角,…,若这枚棋子像这样不停地移动,当棋子经过第2020步移动后,
）
A.0
B.3
C.5
D.6
8.如下图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（也包括两个顶点）有()>n n 1 点，则第12个图形共有 点，第n 个图形共有 点，
9.如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形的地面砖组成，第2个、第3个图案可以看作是第1个图案经过平移得到的，那么第4个图案中白色六边形地面砖 块，设第n 个图案中有白色地面砖m 块，则m 与n 的函数关系式是 .
10.（自贡中考）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有 个○.
11.如图所示，用火柴棍拼成一样有三角形组成的图形，如果图形中含有2，3或4个三角形，分别需要 根火柴棍，如果图形中含有n 个三角形，需要
根火柴棍.
12.如图①是一张长方形餐桌，四周可坐6人，2张这样的桌子按图②方式拼接，四周可坐10人．
现将若干张这样的餐桌按图③方式拼接起来：
⑴.三张餐桌按题中的拼接方式，四周可坐 ________ 人；
⑵.n 张餐桌按上面的方式拼接，四周可坐 ________ 人（用含n 的代数式表示）．若用餐人数为26人，则这样的餐桌需要________ 张．
13.有若干张每条边都是2的平行四边形纸片，从中取出一些纸片按如图所示的顺序拼接起来（排在第一位的是平行四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个的的梯形：
⑴.在下列横线上依次写出纸片数之和n=1,2,3， … ，8时，对应组成的大平行四边形或梯形的周长依次为 ；
⑵.用含n 的代数式表示组成的大平行四边形或梯形的周长 。

14.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
⑴.分别写出第6、7两个图形各有多少颗黑色棋子？ ⑵.写出第n 个图形黑色棋子的颗数？
③②①第3个‘上’
字第2个‘上’字第1个‘上’
字第3个
第2个第1个第1个第2个第3个
第4个图③
图①图②=n 5=n 4=n 3=n 2第4个第3个第2个第1个
⑶.是否存在某个图形有2020颗黑色棋子？若存在，求出是第几个图形；若不存在，请说明理由．
巩固提升练习：
1.小明在做数学题时，发现下面有趣的结果： -=321；
+--=87654；
++---=1514131211109；
+++----=242322212019181716 ； ……
根据以上规律可知第10行左起第1个数是 （ ） A ．100 B ．121 C ．120 D ．82
2.观察下列的有序数对：(),,,,,,,,11131579234⎛
⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭L ，根据你发现的规律，第2020 个
有序数对是 （ ） A.⎛⎫-
⎪⎝⎭14041,2020 B.⎛⎫- ⎪⎝⎭14041,2020 C.⎛⎫- ⎪⎝⎭14039,2020 D.⎛
⎫- ⎪⎝⎭
14039,2020
3.一组数据为：,,,,--234
x 2x 4x 8x L ，观察其规律，推断其n 个数据表示为
（ ）
A.-n 1n
2
x B.()--n 1n
2x C.n n 2x D.()-n
n 2x
4.对于点(),x y 的一次操作变换()(),,1p x y x y x y =+-，且规定()()(),,n 1n 1p x y P P x y -=（n 为大于1的整数）；如()(),,1p 1231=-，()()()(),,(.),2111p 12P 12P 3124==-=，(),3p 12= ((,))(,)(,)122P p 12p 2462==-，则(,)2019p 11-=
（ ）
A.(),100902-
B.(),101002-
C.(),100902
D.()
101002， 5.质点P 从距原点1个单位的M 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM 的中点1M 处，第二次从1M 跳到1OM 的中点2M 处，第三次从点2M 跳到2OM 的中点3M 处，如此不断跳动下去，则第n 次跳动后，该质点到原点O 的距离为
（ ）
A.n 12
B.n 112-
C.n 1
12+⎛⎫ ⎪⎝⎭
D.n 1
2
6.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，……；按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为 （ ）
A.12个
B.14个
C.16个
D.18个
7.用火柴棒按如图所示的方式搭图形，按照这样的规律搭下去，第⑩个图形的火柴棒的根数为
（ ）
A.42根
B.52根
C.62根
D.72根
8.如图是蜘蛛结网过程示意图,一只蜘蛛先以O 为起点结六条线OA ,OB ,
OC ,OD ,OE ,OF 后,
再从线OA 上某点开始按逆时针方向依次在OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OF ,OA ,OB ,……上结网,若将各线上的结点依次记:1,2,3,4,5
， L 6,7,8,,那么第200个结点在 （ ）
A.线
OA 上 B.线OB 上 C.线OC 上
D.线OD 上 9.探索规律:用火柴摆出的一系列三角形图案如图所示,
按这种方式摆下去,当每边上摆20根火柴时,共需火柴的根数为 （ ）
A.1200
B.1000
C.630
D.171
10.将图
1正方形作如下操作:第1次:分别连接各边中点如图2,得到5个正方形;第2次:将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3,得到9个正方形…,以此类推
,根据以上操作,若要得到2021个正方形,则需要操作的次数是 （ ）
A.504
B.505
C.506
D.507
11.如图所示,下列由火柴棒拼出的一系列图形中,第100个图形中火柴棒的根数是 （ ） A.400 B.304 C.301 D.300
12.下图是用棋子摆成的“H”字,按这样的规律摆下去,摆成第20个“H”字需要棋子.的枚数为 （ ）
A.110
B.102
C.100
D.97
13.下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律排列组成,其中第1个图形一共有2个五角星,第2
个图形一共有8个五角星,第3个图形一共有18个五角星,…,则第10
个图形中五角星
①
②③2
1
①②③③
②①D
的个数为
）
A.100
B.162
C.196
D.200
14.如图，将⊿ABC 沿着过BC 的中点D 的直线折叠，使点B 落在AC 边上的1B 处，称为第一次操作。

折痕DE 到AC 的距离为1h ；还原纸片后，再将⊿BDE 沿过BD 的中点1D 的直线折叠，使点B 落在DE 边上的2B 处,称为第二次操作，折痕11D E 到AC 的距离为2h ；按上述方法不断操作下去……经过n 此操作后得到折痕--n 1n 1D E ，到AC 的距离为n h ；若=1h 1， 则n h 的值为 （ ）
A.-+n 11
12 B.+n 1
12
C.--n 1122
D.-n
122
15.下列图形都是由同样大小的小圆按一定规律所组成的，其中第①个图形共有4个小圆圈，第②个图形中共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，……，按此规律排列，则⑦个图形中小圆圈的个数为
（ ）
A.64
B.77
C.80
D.85
16.小刚用棋子摆放图形来研究输的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数是3,6,9,12,L 称三角形数，类似的，图2中4,8,12,16,L 称正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是 （ ）
A.2016
B.2018
C.2020
D.2022
17.如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是
A.=+y 2n 1
B.
=+n
y 2n C.+=+n 1
y 2
n
D.=++n
y 2n 1
18.如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：=
+y x 13
与直线2l ;=y 交于点1A ,过点1A
作x 轴的垂线，垂足为1B ;过点1B 作2l 的平行线交1l 于点2A ;过点2A 作x 轴的垂线，垂足为2B ;
过点2B 作2l 的平行线交1l 于点3A ; 过点3A 作x 轴的垂线，垂足为3B ,……按此规律，则点n A 的坐标为 （ ）
A.⎛⎫
⎪⎝⎭n
32 B.⎛⎫+ ⎪⎝⎭n
112
C.-⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
n 1
31
22
D.-n 312
19.如图。

过点()0A 0,1作y 轴的垂线交直线l ;=
y x 3
于点1A ,过点1A 作直线l 的垂线交y 轴于点2A ;过点2A 作直线l 的垂线交直线l 于点3A ,……；这样一次下去，得到⊿012A A A ,⊿
123A A A ,⊿234A A A ,……；其面积分贝记为L 123S ,S ,S ,,则S 为
（ ）
A.⎛ ⎝⎭
100
2 B.(100
C.1994
D.395
2
20.如图，将矩形ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2020次；若=AB 4。

=AD 3 ,则顶点A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为
（ ）
A ．2020π
B ．2040π
C ．3030π
D ．3032π
21.下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨
图3图2图11
11284963图④
图③图②图①
个图形中菱形的个数为 （ ）
A ．73
B ．81
C ．91
D ．109
22.观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a 的值为 （ ）
A ．23
B ．75
C ．77
D ．139
23.我们把分子为1的分数叫做理想分数，如,,,111
234
L 任何一个理想分数都可以写成两个不同
理想分数的，如=+,=+,=+,111111111
23634124520
L 根据对上述式子的观察，请你思考：如果理
想分数111
n a b
=+（n 是不小于2的正整数），那么a b += (用含n 的式子表示).
24.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据9162536
5122132
L ，，，，中得到巴尔末公式，从而打开了光
谱奥妙的大门，请你按这种规律写出第七个数据是________，第n 个数据可以表示为 ________ . 25.科学发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列 ── 著名的裴波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,L 细观察以上数列，则它的第11个数应该是 .
26..研究下列等式：,,,222132135313574+=++=+++=L L 可以发现，从1开始,n 个连续奇数相加的和等于 .
27.222213142;24193;351163;461255;⨯+==⨯+==⨯+==⨯+==L L 请将你找出的规律用公式表示出来 .
28.大于1的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和：,3323537911=+=++， ,3413151719=+++L L ，若3m “分裂”后，其中有一个奇数是2021，则m 的值 .
29.按下列规律排列数对：()()()124578L ，
、，、，、第5个数对是 . 30.根据数据排列规律填空：2013,4102,3014,5103,4015,,.
31.观察下列数据：---L 5101726
2,
,,,,2345
他们是按一定规律排列的的，按此规律，第11个数据是 .
32.按一定规律排列的一列数：1,1,1,2□，L 91113
,,,111317
，请你仔细观察，按此规律方框内的数字应为 .
33.观察下列式子：⨯+=2
1312 ；⨯+=2
7918；⨯+=2
2527126；⨯+=2
7981180，……。

可猜想第2020个式子为 ， 第n 个式子可表示为 . 34.观察规律，巧算填空：
①.222222212345997998999-+-+-+-+L = ；
②.1234567892001620172018201920202021+--++--++-++--+L = ；
③.1111111261220201620172017201820182019
--------
⨯⨯⨯L = . 35.观察下列各式：
=-=-=-⨯⨯⨯L 211211211
,,,131324243535
；请利用你所得结论，化简代数式()
++++⨯⨯⨯+L 2222132835n n 2（≥n 3 且为整数），其结果为 __________ ． 36.在求++++++++2345678
133333333的值时，张红发现：从第二个人加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：=++++++++2
3
4
5
6
7
8
S 133333333①.然后将①
2
3
4
5
6
7
8
9
37.根据-+=-2
x 1x 1x 1, -++=-x 1x x 1x 1,-++
+=-x 1x x x 1x 1,
……则可以得出+++
++++L 2019201820173
2
2
222221 = .
38.操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己的顺序数的倒数
加1.如：第1位同学报⎛⎫+ ⎪⎝⎭
1
11，第2位同学报⎛⎫
+ ⎪⎝⎭112，第3位同学报⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
113，…这样得到的100个数的积为 .
39..公元3世纪，≈+
r
a 2a
得到近似值，它的算法是：≈+=13122
图④
图③
图②
-
≈+=
⨯
1
317
2
3
212
2
2
，……，依次算法，
的近似值越来越精确，
取得近似值
577
408
时，近似公式中的a是，r是 .
40.如图所示的3个大三角形中各有3个小三角形，每个大三角形中的4个数都有规律，则中间
的大三角形中的数。

41.一组数据为,,,,
2468
3579
x x x x
y y y y
--L L，观察其规律，推断其9个数据为，推断其n
个数据为 .
42.一组按规律排列的式子：()
,,,,
25811
234
b b b b
ab0
a a a a
--≠
L，其中第7个式子是，第n
个式子（n为正整数）为 .
43.若,,,
=-=-=-
123
12
111
a1a1a1
m a a
L；则2020
a的值为（用含m的式子表示），
44.对于正数x，如果规定()1
f x
1x
=
+
，例如：()11
f4
145
==
+
，
114
f
1
45
1
4
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭+
;根据上面
的规定计算()()()()111
f2019f2018f2f1f f f
220182019
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++++++
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L的值为，
()()()()111
f2020f2019f2f1f f f
220192020
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++++++
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L的值为 .
45.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下右图：
⑷..()()()()
-+⨯-⨯+⨯
-
⨯+⨯-⨯+
432234
34326324322 = .
46.
如图是由数字组成的三角形，除最顶端的
1以外，以下出现的
数字都按一定的规律排列．根据它的规律，则最下排数字中x的
值是______ ，y的值是_______ ．
47．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺的木棍，
如果每天截取它的一半，永远也取不完；如图所示．由图易得++++
L
23n
1111
222
2
= .
48.下列图案使用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成的，图案①需8根火柴棒，图案②需15
根火柴棒，……，图案⑦需根火柴棒.
49.下图是由相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案①需4根小棒，图案②需10根小
棒……，按此规律摆下去，第n个图案需要小棒根（用含n的代数式表示）.
1
11
11
2
11
33
L L
44
6
11
L()
+=+
1
a b a b
L()
+=+++
33223
a b a3a b3ab b
L()
+=++++
4432234
a b a4a b6a b4ab b
L()
+=++
222
a b a2ab b
L L
☆
☆
☆☆
☆
☆
y
x
16
32
46
56
61
61
16
16
14
10
5
4
5
5
2
2
2
1
11
1
23
1
22
1
2
50.如图，依次连接一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去，则第二个正方形的面积是 _________ ；第六个正方形的面积是 _________ ．
51. 如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为 .
52.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有 个涂有阴影的小正方形(用含有n 的代数式表示)．
53.如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…则第n 个图案中有 根小棒．
54.如图、某体育馆用大小相同的正方形木块铺地面（木块之间既不重叠，也无缝隙）；第1次铺2块，如图1；第2次把第1次铺的完全围起来，如图2；第3次把第2次铺的完全围起来，如图3；…，依此方法，第n 次铺完后，用字母n 表示第n 次所使用的木块数 .
55.下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：图⑵比图⑴多出2个“树枝”，
图⑶比图⑵多出5个“树枝”，图⑷比图⑶多出10个“树枝”，照此规律，图⑺比图⑹多出 个“树枝”．
56. 观察图中排列规律：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形共有 ★，第n 个图形共有
★. 57.根据图形规律填空：
⑴.观察下列组图中的图形与等式的关系，并填空（答案写在横线上）：
⑵.观察下图再根据⑴中的规律结论，计算下面图中黑球的个数，用含有n 的代数式填空：
()()++++-+-++++=L L
1352n
12n 1531
.
第3个第2个第1个第3个第2个第1个图1
(5)(4)(3)(2)(1)第4个图形第3个图形第2个图形第1个图形1+3+5+7+···（2n -1)= .
1+3+5+7= .
1+3+5=32
1+3=22⇒
⇒⇒⇒第n 行
第n+2行
第n+1行第n 行
58.如图的每个图案是用若干个盆花组成的形如菱形的图案，每条边（包括两个顶点）有()n n 1>）盆花，每个图案花盆的总数为S ;按此规律推断：当n 10=时，S = .
59.下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子： 观察图形的变化规律，写出第n 个小 房子用了 块石子.
60.如图，由若干盆花摆成图案，每个点表示一盆花，几何图形的每条边上（包括两个顶点）都摆有()≥n n 3盆花，每个图案中花盆总数为S ，按照图中的规律可以推断S 与()≥n n 3的关系是 _________ ．
61.下列各图均是用有一定规律的点组成的图案，用S 表示第n 个图案中点的总数，则=S _________ （用含n 的式子表示）．
62.如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n 个图形需要围棋子的枚数为 _______ ． 63.如图中的每个图形都是由若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有()≥n n 2个棋子，每个图案的棋子总数为S ，按图的排列规律推断，S 与n 之间的关系可用式子 _________ 表示．
64.如图①，图②，图③，图④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律;第5个“广”字中的棋子个数是 ______ ;第n 个“广”字需要 枚棋子.
65.观察图中的棋子，按照这样的规律摆下去，第4个图形中的棋子个数为 ，用含n 的代数式表示第n 个图形的棋子个数 .
66.如图，给出四个点阵，S 表示每个点阵中点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，;猜想第n 个点阵中的点的个数S =______；若已知点阵中点的个数为37，这个点阵是第 个.
67.小李用为期 子排成下列一组有规律的图案，其中第2个图案有1枚棋子，第2个团有3枚棋子，第3个图案有4枚矮子。

第4个团有6枚棋子。

……，那么第9个团的棋子数是 枚.
n=5,S=20n=4,S=12n=3,S=6n=3,S=28;n=2.S=19;n=1,S=11;n=3
n=2
n=1
①②③④第1个图第2个图第3个图第1个第2个第3个第4个n=5,S=25;n=4,S=16;n=3.S=9;n=2,S=4;(5)(4)(3)(2)(1)n 2s 4==n 3s 8==n 4s 12==。