频率响应法习题及解答

第五章 频率响应法习题及解答
5-1 设系统开环传递函数为
1
)(+=
Ts K
s G 今测得其频率响应，当ω=1rad/s 时，幅频2/12)(=j G ，相频︒-=45)(j ϕ。

试问放大系数K 及时间常数T 各为多少? 解：已知系统开环传递函数()1
K
G s Ts =+ 则频率特性：()1
K
G j Tj ωω=
+
幅频特性：
()G j ω=
相频特性：()arctan T ϕωω=-
当1/rad s ω=时，()
G j =
=()arctan 45j T ϕ=-=-
则有12K =,1T =。

5-2 设单位反馈系统的开环传递函数为
1
1)(+=
s s G 当闭环系统作用有以下输入信号时，试求系统的稳态输出。

(1) t t r sin )(= (2))2cos(2)(t t r =
(3) )2cos(2sin )(t t t r -=
解：系统闭环传递函数为：1()2
s s φ=+ 频率特性：22
12()244j j j ω
φωωωω
-=
=++++ 幅频特性：
()j φω=
相频特性：()arctan()2
ω
ϕω=-
（1） 当()sin r t t =时，则1ω=，11R =
则
1()0.45j ωφω==
=，1(1)arctan()26.52j ϕ=-=-
[]1()(1)sin (1)0.45sin(26.5)s C t R j t j t φϕ=⋅+=-
（2） 当()2cos(2)r t t =时，则2ω=，22R =
则
1(2)0.35j ωφ==
=，2(2)arctan()452j ϕ=-=-
[]2()(2)cos 2(2)0.7cos(245)s C t R j t j t φϕ=⋅+=-
（3） 当()sin 2cos 2r t t t =-时，
[][]12()(1)sin (1)(2)cos 2(2)s C t R j t j R j t j φϕφϕ=+-+
0.45sin(26.5)0.7cos(245)t t =---
5-3 若系统单位阶跃响应为
t t e e t h 948.08.11)(--+-=
0≥t
试求系统的频率特性。

解 s
s R s s s s s s s C 1)(,)
9)(4(36
98.048.11)(=
++=+++-=
则
)
9)(4(36
)()()(++=Φ=s s s s R s C 频率特性为 )
9)(4(36
)(++=
Φωωωj j j
5-4 试求图5-50所示网络的频率特性，并画出其对数频率特性曲线。

（a)依图：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
+==+=++=
+
+
=21211112
12111111
22
1
)1(11)
()
(R R C R R T C R R
R R K s T s K sC
R sC R R R s U s U r c ττ ω
ωτωωωωω111
21212121)
1()()()(jT j K C R R j R R C R R j R j U j U j G r c a ++=+++==
(b)依图：⎩⎨
⎧+==++=
+
++
=
C R R T C
R s T s sC
R R sC
R s U s U r c )(1
1
1
1)
()
(212
2222212ττ ω
ω
τωωωωω2221211)(11)()()(jT j C R R j C R j j U j U j G r c b ++=
+++==
5-5 已知某些部件的对数幅频特性曲线如图5-51所示，试写出它们的传递函数)(s G ，并
计算出各环节参数值。

解：()a .1
()1
K G s s
ω=
+
由20lg 20K =，10K =，110ω=
则10
()0.11
G s s =
+
()b .1
()10.11s
G s s ω=
+=+
()c .1
0.1()0.0511
Ks s
G s s s ω=
=++ ()d .2
2
50
()(0.011)(1)K G s s
s s s ω
=
=
++
()e .1
2
100
()(1001)(0.011)
(
1)(1)
K
G s s
s
s s s s ωω=
=++++
()f .1
2
100
()(1)(0.11)
(
1)(
1)
K
G s s
s
s s ωω==++++
()g .2
2
2222
31.6644()2189644n n n K G s s s s s ωξωω⨯==++++
其中n ω，ξ
由r ωω=
，r M =
得0.147ξ=，644n ω=
()h .2
2
2222
10 3.55()20.852 3.55n n n K G s s s s s ωξωω⨯==++++ 0.12ξ= 3.55n ω=
()i 2
2222210050()(2)(3050)
n n n K G s s s s s s s ωξωω⨯==++++由20lg 2 4.85ξ-=
，r ωω=得n ω，ξ 0.2980.3ξ=≈，50n ω=。

5-6 试证明惯性环节的幅相频率特性曲线为一个半圆。

证明:惯性环节1
()1
G s Ts =
+ 其频率特性为
22
22
221111()111X j T Y T G j X jY T T
j T T X Y T ωωωωωωωω⎧
=⎪-⎪+===+⇒⇒=-⎨-++⎪=⎪+⎩ 22
11X Y X
=
+⇒ 22
0X Y X +-=⇒
2211()24X Y -+= 幅相曲线是圆
5-7 概略画出下列传递函数的幅相频率特性曲线 (1) )
1()(+=
Ts s K
s G
(2) )
1()(2
+=
Ts s K
s G (3) )
1()(3
+=
Ts s K
s G 解
(1)()()(1)K G s G j s Ts ω=
⇒=
+， 1()90G j tg T ωω-∠=--
取特殊点： 0ω=时，()G j ω=∞，()90G j ω∠=-
ω=∞时，()0G j ω=，()180G j ω∠=-
描点画图可得幅频特性曲线如图所示.
(2) 2
()()(1)K G s G j s Ts ω=
⇒=+，1
()180G j tg T ωω-∠=-- 取特殊点： 0ω=时，()G j ω=∞，()180G j ω∠=-
ω=∞时，()0G j ω=，()270G j ω∠=-
其幅频特性曲线为:
(3) 3()()(1)K G s G j s Ts ω=
⇒=+，1
()270G j tg T ωω-∠=-- 取特殊点： 0ω=时，()G j ω=∞，()270G j ω∠=-
ω=∞时，()0G j ω=，()360G j ω∠=-
其幅频特性曲线为:
5-8 画出下列传递函数的对数频率特性曲线(幅频特性作渐近线)
(1) )
18)(12(2
)(++=
s s s G
(2) )
16)(1(50
)(2
2+++=
s s s s s G
(3))
1.0()
2.0(10)(2
++=
s s s s G
(4))254)(1()
1.0(8)(22+++++=
s s s s s s s G
(5))
1(10
)(-=
s s s G
解(1)
(2)22
50
()(1)(61)
G s s s s s =
+++
(3) 2220(
1)
10(0.2)0.2()(0.1)(1)0.1
s
s G s s s s s ++==
++
（4）222
2
0.8(1)
8(0.1)250.1()(1)(425)4(1)1525s
s G s s s s s s s s s s s ++==++++⎡⎤⎛⎫++++⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
10
(5)()(1)
G s s s =-
5-9 若系统开环传递函数为
)()(0s G s K
s G v
=
式中)(0s G 为)(s G 中除比例、积分两种环节外的部分，试证明
v K /11=ω
1ω为|)(|lg 201ωj G 时的频率值，如图5-52所示。

证 依题意，G(s)近似对数频率曲线最左端直线(或其延长线)对应的传递函数为
v s
K 。

题意即要证明v s
K
的对数幅频曲线与0db 交点处的频率值ω11
=K v 。

因此，令
0)
(lg
20=v
j K ω，可得
K
v ω1
1=, 故 ωω111v v
K K =∴=,
，证毕。

5-10 负反馈系统开环幅相频率特性图如图5-53所示。

假设系统开环传递函数K=500，在［s ］右半平面内开环极点数P=0。

试确定使系统稳定时K 值的范
解：由奈氏判据可知，若系统开环稳定（0p =），ω由0→∞变化时，开环幅相频率特性曲线不包围(1,0)j -点，则闭环系统稳定。

设()()G j K P ωω=⋅
()180G j ω∠=- 时，ω由小到大分别为1ω，2ω，3ω，ω∞
当500K =时，1()50G j ω=，2()20G j ω=+，3()0.05G j ω=，()0G j ω∞= 要使系统开环幅相频率特性曲线不包围(1,0)j -点，应有
1()1G j ω<或3()1G j ω<且2()1G j ω>
解得：当10K <或2510000K <<时，系统稳定。

5-11 图5-54为三个最小相位系统的对数幅频特性曲线。

(1) 试写出对应的传递函数。

(2) 概略地画出对应的对数相频特性曲线和幅相频率特性曲线
解: (a) 依图可写出：G s K s
s
()()(
)
=
++ωω1
2
11
其中参数：
db L K 40)(lg 20==ω，
100=K
则： G s s s ()()()
=
++100
111
112
ωω
(b) 依图可写出 G s K s
s s
()(
)
(
)
=
++ωω1
22
11
K C ==ωωω02
1
(c) G s K s
s
s
()(
)(
)
=
⋅++ωω2
3
11
2001
11
lg ,
K K ωω==
5-12
设系统开环频率特性曲线如图5-55(1)～(10)所示，试用奈氏判据判别对应闭环系
统的稳定性。

已知对应开环传递函数分别为
(1))
1)(1)(1()(321+++=
s T s T s T K
s G
(2) )
1)(1()(21++=
s T s T s K
s G
(3) )1()(2
+=
Ts s K
s G (4) )(,
)
1()
1()(21221T T s T s s T K s G >++=
(5)3
)(s K s G =
(6) 3
21)
1)(1()(s s T s T K s G ++=
(7) )
1)(1)(1)(1()
1)(1()(432165++++++=
s T s T s T s T s s T s T K s G
(8) )1(,1)(1>-=
K s T K
s G
(9) )1(,1
)(1<-=K s T K
s G
(10) )
1()(-=
Ts s K
s G
解 题5-12计算结果列表
5-13 设控制系统的开环传递函数为
(1) )
12.0(100
)(+=
s s s G
(2) )5.0)(2)(12.0(50
)(+++=
s s s s G
(3) )18.0)(15.0)(11.0()
1(100)(++++=
s s s s s s G
(4) )125.0)(11.0(10
)(++=
s s s s G
(5) )1)(12.0(10
)(-+=
s s s s G
试用奈氏判据或对数判据，判别对应闭环系统的稳定性，并确定稳定系统的相裕量和幅裕量。

解 (1) G s s s ()(.)
=
+100
021=
+100
5
1s ()
画Bode 图得：⎪⎩⎪⎨
⎧∞
==⨯=g C ωω36
.221005
γωωω=+∠=--==
=∞
-1801809002126100010
G j tg h G C g ()..()
（2）G s s s s ()(.)()(.)
=
+++50021205=+++50
512
121()()()s s s
画Bode 图判定稳定性：Z=P-2N=0-2×(-1)=2 系统不稳定。

由Bode 图得：6>c ω
令：
c
c
c j G ωωωω22
550
1)(⋅⋅≈
= 解得
3.6=c ω
令：
011
1
18022
5
)(-=--=∠---g g
g
g tg tg
tg
j G ωωωω 解得 ωg =37.
391
.050
1
)2(1)2(
1)5
(
)
(1
4.2922
5
180)(1802
2
2
11
1
00=+++=
=-=---=∠+=---g g
g
g C C
C
G h tg tg tg j G ωωωωωωωωγ
（3）
100(1)100(1)
()
(0.11)(0.51)(0.81)(1)(1)(1)
102 1.25
s s
G s
s s s
s s s s s
++
==
++++++
令
100
()1
102 1.25
c
c c c
c
G j
ω
ω
ωωω
ω
⋅
=≈
⋅⋅⋅
得13.6
c
ω=
令1111
()90180
1.25210
g g g
g g
G j tg tg tg tg
ωωω
ωω
----
∠=-+---=-
得5
g
ω≈
1111 180()1809044.3
1.25210
c c c
c
G j tg tg tg tg
ωωω
γωω
----=+∠=-+---=-
1
0.121842
()
g
h dB
Gω
====-
系统不稳定。

(4) G s s s s ()(.)(.)
=
++10
0110251=
++101014
1s s s ()()
画Bode 图得：⎩⎨
⎧==⎪⎩⎪⎨
⎧=⨯==⨯=1
0325
.6104325
.61040
h g C γωω 系统临界稳定。

(5)
()(1)(1)5
G s s s =
+-
令()1c G j ω=得c ω为15 之间，即
10
1c c
ωω≈ ： 3.16c ω=
180()18090arctan
180arctan 49.85
c
c c G j ωγωω=+∠=---+=-
幅相曲线与负实轴无交点h =∞
5-14设系统开环对数相频特性曲线如图5-56所示，c ω为系统开环对数幅频特性
0|)(|lg 20=c j G ω时的频率，在第一个转折频率之前的频率范围，都有0)(>ωL ，试判别
闭环系统的稳定性。

解：()a 由0,1p υ==在原曲线上增补ω从00+
变化时对应得相角变化90-
在20lg ()()0G j H j ωω>的范围内01N N +-
=≠= 故系统不稳定
()b 0,4p υ==在曲线上增补ω从00+ 变化时对应得相角变化360-
在20lg ()()0G j H j ωω>范围内11N N +
-
=== 故系统稳定。

5-15 设单位反馈系统的开环传递函数
(1) 2
1
)(s
as s G +=
试确定使相裕量等于45°时的a 值。

(2) 3
)
101.0()(+=
s K
s G 试确定使相角裕度等于45°时的K 值。

解：（1）由180arctan()18045c a γω=+-= ：1c a ω=
又()1c c G j ω=
=
解得：c ω=
0.84a ==
（2）由1803arctan 45100c
ωγ=-= ：100c ω=
3
22
()1[(0.01)1]
c c K
G j ωω=
=+
得：K =
5-16已知单位反馈系统的开环对数频率特性(数据列表如下)，试画出系统闭环对数频率特性曲线。

解：根据表格中的开环对数频率特性数据，查Nichols 图线得出比环对数频率特性相应数值，然后描图作出,M α曲线。

解：由0.10.2ω= ，2倍频程()6L dB ω∆=-，须有一个积分环节
1020ω= ，2倍频程()12L dB ω∆=-，须有一个惯性环节 30ω=时，()345180G j ω∠=->- ，须有延迟环节 故()(1)s Ke G s s Ts τ-=+，()(1)
j Ke G j j Tj ωτ
ωωω-=+
21
20lg ()120lg K T L K T T
ωωωωω⎧
<
⎪⎪=⎨
⎪>
⎪⎩
由20lg
34K
ω
=，当0.1ω=时，有5K =
30ω=时，2
520lg
34T ω=-，0.28T =
因此5()(0.281)
s
e G s s s τ-=+
()57.390arctan()G j T ωωτω∠=-⨯--
由30ω=时，()345G j ω∠=-
得0.1τ=故0.15()(0.281)
s
e G s s s =+
5-18一单位系统的开环对数渐近线曲线如图5-57所示。

试 (1) 写出系统开环传递函数； (2) 判别闭环系统的稳定性； (3) 确定系统阶跃响应的性能指标s t %,σ；
(4) 将幅频特性曲线向右平移10倍频程，
求时域指标%σ和s t 。

解：（1）由系统的对数幅频特性曲线，
可设开环传函(
1)0.2()(1)(1)0.14
s
K G s s s s +=++ 又
1c ω=
，则5()110
c K
G j ω=
=
=，2K = 故2(
1)
2(51)0.2()(101)(0.251)(1)(1)0.14
s
s G s s s
s s s s ++==
++++ （2） 由于180()18090arctan10arctan0.25arctan5c c c G j γωωωω=+∠=---+
70.40=>
所以闭环系统稳定 （3）0
11%0.160.410.160.410.184618.46%sin sin 70.4σγ⎛⎫⎛⎫
=+-=+-== ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
2
1120.1510.251 6.6sin sin s c
t s π
ωγγ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=
+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
(4 )将幅频特性曲线右移10倍频程,γ不变,c ω增大10倍
因此%18.64%σ=0.66s t s =
5-19 已知二个系统的开环对数幅频特性曲线如图5-58中曲线(1)和(2)所示。

试分析闭环系统的稳态性能和瞬态性能。

解(1)由系统的对数幅频特性曲线,设两系统的开环传函分别为
11110()11142001000s K G s s s s s ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，21214()11100400s K G s s s s ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
1ω=时,20lg ()40G j ω=则1100K =，2100K =
由
解得:140c ω=
1
1
1
1
118090arctan arctan arctan arctan 68.11042001000c c c c ωωωωγ=-+---=
1
1%0.160.4(1)0.1919%sin σγ=+-== 21111120.1510.2510.17sin sin s c t s πωγγ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
解得: 225c ω=
2
2
2
2180180arctan arctan arctan 63.34100400c c c ωωωγ=-+--=
2
1%0.160.4(1)0.20920.9%sin σγ=+-== 22221120.1510.2510.26sin sin s c t s πωγγ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦。