北京市西城区高三年级抽样测试(理)

2010年北京市西城区高三年级抽样测试
数学试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项。

1．设全集U=R ，集合}02|{2
<-=x x x A ,}1|{>=x x b ，则集合A C U B= （ ）
A ．}10|{<<x x
B ．}10|{≤<x x
C ．}20|{<<x x
D ．}1|{≤x x
2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
（ ）
A ．x
e y =
B ．x y sin =
C ．3
x y -=
D ．x y 2
1log =
3．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）
A ．6
B ．8
C ．16
D ．24
4．若向量a ，b 满足1||||==b a ，且a ·b +b ·b =2
3
，则向量a ，b 的夹角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90° 5．关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是
（ ）
A ．若l ∥α，α β=m ，则l ∥m
B ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m
C ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β
D ．若l ∥α，m ⊥l ，则m ⊥α
6．执行下图所示的程序，输出的结果为48，对判断框中应填入的条件为 （ ）
A ．i ≥4
B ．4>i
C ．i ≥6
D ．6>i
7．已知10<<<b a ，设b x b 1log =，b
y a 1
log =，b z z log =，则 （ ）
A ．z x y <<
B ．x z y <<
C ．y z x <<
D ．z y x <<
8．若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双
曲线存在“F 点”，下列曲线中存在“F 点”的是
（ ）
A ．
115162
2=+y x
B ．
124
252
2=+y x C ．115
2
2
=-y x
D ．12
2
=-y x
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9．设i 是虚数单位，则=-3
1i
i。

10．5
2)3(x
x +
的展开式中的常数项为 。

11．若直线01=+-y x 与圆0122
2=-+-+a x y x 相切，则=a 。

12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，
B ，
C 的对边，若1=a ，2=b ，3
1
cos =
B ，则=A sin 。

13．将编号为1、2、3的三个小球，放入编号为1、2、3、4的四个盒子中 如果每个盒子中最多放一个球，那么不同的放球方法有 种；
如果4号盒子中至少放两个球，那么不同的放球方法有 种。

14．无穷等差数列}{n a 的各项均为整数，首项为1a 、公差为d ，n S 是其前n 项和，3、21、
15是其中的三项，给出下列命题；
①对任意满足条件的d ，存在1a ，使得99一定是数列}{n a 中的一项； ②对任意满足条件的d ，存在1a ，使得30一定是数列}{n a 中的一项； ③存在满足条件的数列}{n a ，使得对任意的n ∈N *，n a S S 42=成立。

其中正确命题为 。

（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤。

15．（本小题满分13分）
已知函数12cos 3)sin (cos )(-++=x x x x f .
（1）求)(x f 的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求)(x f 在区间]2
,0[π
上的最大值和最小值。

16．（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，M 、N 分别为PA 、BC 的中点， PD ⊥平面ABCD ，且PD=AD=2，CD=1 （1）证明：MN ∥平面PCD ； （2）证明：MC ⊥BD ；
（3）求二面角A —PB —D 的余弦值。

17．（本小题满分13分）
已知数列}{n a 的前n 项和)(*
2N n n S n ∈=，数列}{n b 为等比数列，且满足11a b =，
432b b =
（1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；
（2）求数列}{n n b a 的前n 项和。

18．（本小题满分13分）
设0>a ，函数x a x a x x f ln )1(2
1)(2
++-=
. （1）若曲线)(x f y =在))2(,2(f 处切线的斜率为-1，求a 的值； （2）求函数)(x f 的极值点。

19．（本小题满分14分）
已知抛物线x y C 4:2
=，直线b kx y l +=:与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点。

（1）当1=k ，且直线l 过抛物线C 的焦点时，求||AB 的值；
（2）当直线OA ，OB 的倾斜角之和为45°时，求k ，b 之间满足的关系式，并证明直
线l 过定点。

20．（本小题满分14分）
已知曲线1:=xy C ，过C 上一点),(111y x A 作斜率1k 的直线，交曲线C 于另一点
),(222y x A ，再过),(222y x A 作斜率为2k 的直线，交曲线C 于另一点),(333y x A ，…，
过),(n n n y x A 作斜率为n k 的直线，交曲线C 于另一点),(111+++n n n y x A …，其中11=x ，
)(41*
2
N x x x x k n
n n n ∈++-
= （1）求1+n x 与n x 的关系式；
（2）判断n x 与2的大小关系，并证明你的结论； （3）求证：2|2|...|2||2|21<-++-+-n x x x .。